условие калибровки Лоренца

Калибровочная фиксация электромагнитного потенциала

В электромагнетизме калибровочное условие Лоренца или калибровка Лоренца (в честь Людвига Лоренца ) представляет собой частичную калибровочную фиксацию электромагнитного векторного потенциала , требуя Название часто путают с Хендриком Лоренцом , который дал свое имя многим концепциям в этой области. ^[1] Условие является инвариантом Лоренца . Калибровочное условие Лоренца не полностью определяет калибровку: можно все еще сделать калибровочное преобразование, где — четырехградиент , а — любая гармоническая скалярная функция: то есть скалярная функция, подчиняющаяся уравнению безмассового скалярного поля . ${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0.}$ ${\displaystyle A^{\mu }\mapsto A^{\mu }+\partial ^{\mu }f,}$ ${\displaystyle \partial ^{\mu }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }f=0,}$

Калибровочное условие Лоренца используется для устранения избыточной компоненты спина 0 в уравнениях Максвелла, когда они используются для описания безмассового квантового поля спина 1. Оно также используется для массивных полей спина 1, где концепция калибровочных преобразований вообще не применима.

Описание

В электромагнетизме условие Лоренца обычно используется при расчетах зависящих от времени электромагнитных полей через запаздывающие потенциалы . ^[2] Условие имеет вид , где — четырехпотенциал , запятая обозначает частное дифференцирование , а повторяющийся индекс указывает на то, что используется соглашение Эйнштейна о суммировании . Преимущество условия в том, что оно инвариантно по Лоренцу . Оно все еще оставляет существенные калибровочные степени свободы. $${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }\equiv A^{\mu }{}_{,\mu }=0,}$$ ${\displaystyle A^{\mu }}$

В обычных векторных обозначениях и единицах СИ условие имеет вид , где — магнитный векторный потенциал , а — электрический потенциал ; ^{[3] [4]} см. также фиксация калибровки . $${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0,}$$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \varphi }$

В гауссовых единицах условие ^{[5] [6]} $${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.}$$

Быстрое обоснование калибровки Лоренца можно найти с помощью уравнений Максвелла и соотношения между магнитным векторным потенциалом и магнитным полем: $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {A} )}{\partial t}}}$$

Поэтому, $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=0.}$$

Поскольку ротор равен нулю, это означает, что существует скалярная функция, такая что ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle -\nabla \varphi =\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.}$$

Это дает хорошо известное уравнение для электрического поля: $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.}$$

Этот результат можно включить в уравнение Ампера–Максвелла , $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\mathbf {J} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)&=\\\Rightarrow \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {A} &=\mu _{0}\mathbf {J} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial (\nabla \varphi )}{\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}.\\\end{aligned}}}$$

Это оставляет $${\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\mathbf {J} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\mathbf {A} .}$$

Чтобы иметь лоренц-инвариантность, производные по времени и пространственные производные должны рассматриваться одинаково (т.е. одного порядка). Поэтому удобно выбрать калибровочное условие Лоренца, которое делает левую часть нулевой и дает результат $${\displaystyle \Box \mathbf {A} =\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right]\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} .}$$

Аналогичная процедура с акцентом на электрический скалярный потенциал и выбором того же калибра даст $${\displaystyle \Box \varphi =\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right]\varphi ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho .}$$

Это более простые и симметричные формы неоднородных уравнений Максвелла .

Здесь — скорость света в вакууме, а — оператор Даламбера с метрической сигнатурой (+ − − −) . Эти уравнения справедливы не только в условиях вакуума, но и в поляризованных средах, ^[7] если и — плотность источника и плотность циркуляции, соответственно, полей электромагнитной индукции и вычисляются, как обычно, из и по уравнениям $${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}}$$ ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$ ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$$

Явные решения для и – единственные, если все величины достаточно быстро исчезают на бесконечности – известны как запаздывающие потенциалы . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

История

Первоначально опубликованная в 1867 году, работа Лоренца не была хорошо принята Джеймсом Клерком Максвеллом . Максвелл исключил кулоновскую электростатическую силу из своего вывода уравнения электромагнитной волны , поскольку он работал в том, что в настоящее время называется калибровкой Кулона . Таким образом, калибровка Лоренца противоречила первоначальному выводу Максвелла уравнения электромагнитной волны, вводя эффект запаздывания в кулоновскую силу и помещая его внутрь уравнения электромагнитной волны вместе с изменяющимся во времени электрическим полем , которое было введено в статье Лоренца «О тождестве колебаний света с электрическими токами». Работа Лоренца была первым использованием симметрии для упрощения уравнений Максвелла после того, как сам Максвелл опубликовал свою статью 1865 года. В 1888 году запаздывающие потенциалы стали общеупотребительными после экспериментов Генриха Рудольфа Герца с электромагнитными волнами . В 1895 году дальнейшее развитие теории запаздывающих потенциалов произошло после интерпретации данных для электронов Дж. Дж. Томсоном (после чего исследование электрических явлений перешло от зависящих от времени распределений электрического заряда и электрического тока к движущимся точечным зарядам ). ^[2]

Смотрите также

• Крепление датчика

Ссылки

1. Джексон, Дж. Д.; Окун , Л. Б. (2001), «Исторические корни калибровочной инвариантности», Reviews of Modern Physics , 73 (3): 663–680, arXiv : hep-ph/0012061 , Bibcode : 2001RvMP...73..663J, doi : 10.1103/RevModPhys.73.663, S2CID  8285663
2. McDonald, Kirk T. (1997), "Соотношение между выражениями для зависящих от времени электромагнитных полей, данными Jefimenko и Panofsky и Phillips" (PDF) , American Journal of Physics , 65 (11): 1074–1076, Bibcode :1997AmJPh..65.1074M, CiteSeerX 10.1.1.299.9838 , doi :10.1119/1.18723, S2CID  13703110, архивировано из оригинала (PDF) 2022-05-19 
3. Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). John Wiley & Sons. стр. 240. ISBN 978-0-471-30932-1.
4. Келлер, Оле (2012-02-02). Квантовая теория ближнеполевой электродинамики. Springer Science & Business Media. стр. 19. Bibcode :2011qtnf.book.....K. ISBN 9783642174100.
5. Gbur, Gregory J. (2011). Математические методы для оптической физики и техники . Cambridge University Press. стр. 59. Bibcode :2011mmop.book.....G. ISBN 978-0-521-51610-5.
6. Гейтлер, Вальтер (1954). Квантовая теория излучения. Courier Corporation. стр. 3. ISBN 9780486645582.
7. Например, см. Черемисин, М.В.; Окунь, Л.Б. (2003). «Представление Римана-Зильберштейна полного набора уравнений Максвелла». arXiv : hep-th/0310036 .

Внешние ссылки и дополнительная литература

Общий

• Вайсштейн, ЭВ «Лоренц Калибр». Вольфрамовые исследования .

Дальнейшее чтение

• Лоренц, Л. (1867). «О тождестве колебаний света с электрическими токами». Философский журнал . Серия 4. 34 (230): 287–301.
• ван Блейдел, Дж. (1991). «Лоренц или Лоренц?». Журнал IEEE «Антенны и распространение» . 33 (2): 69. doi :10.1109/MAP.1991.5672647. S2CID  21922455.
  • См. также Bladel, J. (1991). "Lorenz или Lorentz? [Приложение]". Журнал IEEE Antennas and Propagation . 33 (4): 56. Bibcode : 1991IAPM...33...56B. doi : 10.1109/MAP.1991.5672657.
• Беккер, Р. (1982). Электромагнитные поля и взаимодействия . Dover Publications . Глава 3.
• О'Рахилли, А. (1938). Электромагнетизм . Лонгманс, Грин и Ко . Глава 6.

История

• Nevels, R.; Shin, Chang-Seok (2001). «Лоренц, Лоренц и датчик». Журнал IEEE Antennas and Propagation . 43 (3): 70–71. Bibcode : 2001IAPM...43...70N. doi : 10.1109/74.934904.
• Уиттекер, ET (1989). История теорий эфира и электричества . Т. 1–2. Dover Publications . стр. 268.