Состояние датчика Лоренца

Датчик фиксации электромагнитного потенциала

В электромагнетизме калибровочное условие Лоренца или калибровка Лоренца (по имени Людвига Лоренца ) представляет собой частичную калибровочную фиксацию электромагнитного векторного потенциала путем требования . Имя часто путают с Хендриком Лоренцем , который дал свое имя многим концепциям в этой области. ^[1] Условие является лоренц-инвариантным . Калибровочное условие Лоренца не определяет калибровку полностью: все же можно произвести калибровочное преобразование где – четырехградиент и – любая гармоническая скалярная функция: то есть скалярная функция, подчиняющаяся уравнению безмассового скалярного поля . ${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0.}$ ${\displaystyle A^{\mu }\mapsto A^{\mu }+\partial ^{\mu }f,}$ ${\displaystyle \partial ^{\mu }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }f=0,}$

Калибровочное условие Лоренца используется для устранения избыточной компоненты со спином 0 в уравнениях Максвелла, когда они используются для описания безмассового квантового поля со спином 1. Он также используется для массивных полей со спином 1, где концепция калибровочных преобразований вообще не применима.

Описание

В электромагнетизме условие Лоренца обычно используется при расчетах зависящих от времени электромагнитных полей через запаздывающие потенциалы . ^[2] Условие

$${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }\equiv A^{\mu }{}_{,\mu }=0,}$$

четырехпотенциалчастное дифференцированиесоглашение Эйнштейна о суммировании . лоренц-инвариантно ${\displaystyle A^{\mu }}$

В обычных векторных обозначениях и единицах СИ условие имеет вид

$${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0,}$$

векторный магнитный потенциалэлектрический потенциал^{[3] [4]}крепление манометра ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \varphi }$

В гауссовых единицах условие ^{[5] [6]}

$${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.}$$

Быстрое обоснование калибровки Лоренца можно найти, используя уравнения Максвелла и связь между магнитным векторным потенциалом и магнитным полем:

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {A} )}{\partial t}}}$$

Поэтому,

$${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=0.}$$

Поскольку ротор равен нулю, это означает, что существует скалярная функция такая, что ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle -\nabla \varphi =\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.}$$

Это дает хорошо известное уравнение для электрического поля:

$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.}$$

Этот результат можно подставить в уравнение Ампера – Максвелла :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\mathbf {J} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)&=\\\Rightarrow \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {A} &=\mu _{0}\mathbf {J} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial (\nabla \varphi )}{\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}.\\\end{aligned}}}$$

Это оставляет

$${\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\mathbf {J} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\mathbf {A} .}$$

Чтобы иметь лоренц-инвариантность, производные по времени и по пространству должны рассматриваться одинаково (т.е. одного и того же порядка). Поэтому удобно выбрать калибровочное условие Лоренца, которое обращает левую часть в ноль и дает результат

$${\displaystyle \Box \mathbf {A} =\left[\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right]\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} .}$$

Аналогичная процедура с акцентом на электрический скалярный потенциал и тот же выбор калибра даст

$${\displaystyle \Box \varphi =\left[\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right]\varphi =-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho .}$$

Это более простые и симметричные формы неоднородных уравнений Максвелла . Обратите внимание, что кулоновская калибровка также решает проблему лоренц-инвариантности, но оставляет член связи с производными первого порядка.

Здесь

$${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}}$$

Даламбера^[7] ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$ ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$$

Явные решения для и – единственные, если все величины достаточно быстро исчезают на бесконечности – известны как запаздывающие потенциалы . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

История

Первоначально опубликованная в 1867 году работа Лоренца не была хорошо принята Джеймсом Клерком Максвеллом . Максвелл исключил кулоновскую электростатическую силу из своего вывода уравнения электромагнитной волны , поскольку он работал над тем, что сегодня называется кулоновской калибровкой . Таким образом, калибровка Лоренца противоречила первоначальному выводу Максвелла волнового уравнения ЭМ, вводя эффект замедления в кулоновскую силу и внося его в уравнение ЭМ-волны вместе с изменяющимся во времени электрическим полем , которое было введено в статье Лоренца «О тождестве вибраций». света электрическими токами». Работа Лоренца была первым применением симметрии для упрощения уравнений Максвелла после того, как сам Максвелл опубликовал свою статью 1865 года. В 1888 году запаздывающие потенциалы вошли в общее употребление после экспериментов Генриха Рудольфа Герца с электромагнитными волнами . В 1895 году дальнейший толчок теории запаздывающих потенциалов произошел после интерпретации Дж. Дж. Томсоном данных для электронов (после чего исследование электрических явлений перешло от зависящих от времени распределений электрического заряда и электрического тока к движущимся точечным зарядам ). ^[2]

Смотрите также

• Крепление манометра

Рекомендации

1. Джексон, JD ; Окунь, Л.Б. (2001), «Исторические корни калибровочной инвариантности», Reviews of Modern Physics , 73 (3): 663–680, arXiv : hep-ph/0012061 , Bibcode : 2001RvMP...73..663J, doi : 10.1103/RevModPhys.73.663, S2CID  8285663
2. Макдональд, Кирк Т. (1997), «Связь между выражениями для зависящих от времени электромагнитных полей, данными Ефименко, Панофски и Филлипсом» (PDF) , American Journal of Physics , 65 (11): 1074–1076, Bibcode :1997AmJPh..65.1074M, CiteSeerX 10.1.1.299.9838 , doi :10.1119/1.18723, S2CID  13703110, заархивировано из оригинала (PDF) 19 мая 2022 г. 
3. Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 240. ИСБН 978-0-471-30932-1.
4. Келлер, Оле (2 февраля 2012 г.). Квантовая теория ближнеполевой электродинамики. Springer Science & Business Media. п. 19. Бибкод : 2011qtnf.book.....К. ISBN 9783642174100.
5. Гбур, Грегори Дж. (2011). Математические методы оптической физики и техники . Издательство Кембриджского университета. п. 59. Бибкод : 2011mmop.book.....G. ISBN 978-0-521-51610-5.
6. Хайтлер, Уолтер (1954). Квантовая теория излучения. Курьерская компания. п. 3. ISBN 9780486645582.
7. Например, см. Черемисин, М.В.; Окунь, Л.Б. (2003). «Представление Римана-Зильберштейна полного набора уравнений Максвелла». arXiv : hep-th/0310036 .

Внешние ссылки и дальнейшее чтение

Общий

• Вайсштейн, ЭВ «Лоренц Калибр». Вольфрам Исследования .

дальнейшее чтение

• Лоренц, Л. (1867). «О тождестве колебаний света с электрическими токами». Философский журнал . Серия 4. 34 (230): 287–301.
• ван Блейдел, Дж. (1991). «Лоренц или Лоренц?». Журнал IEEE «Антенны и распространение» . 33 (2): 69. doi :10.1109/MAP.1991.5672647. S2CID  21922455.
  • См. также Блейдел Дж. (1991). «Лоренц или Лоренц? [Приложение]». Журнал IEEE «Антенны и распространение» . 33 (4): 56. Бибкод : 1991IAPM...33...56B. дои : 10.1109/MAP.1991.5672657.
• Беккер, Р. (1982). Электромагнитные поля и взаимодействия . Дуврские публикации . Глава 3.
• О'Рахилли, А. (1938). Электромагнетизм . Лонгманс, Грин и Ко . Глава 6.

История

• Невельс, Р.; Шин, Чан Сок (2001). «Лоренц, Лоренц и датчик». Журнал IEEE «Антенны и распространение» . 43 (3): 70–71. Бибкод : 2001IAPM...43...70N. дои : 10.1109/74.934904.
• Уиттакер, ET (1989). История теорий эфира и электричества . Том. 1–2. Дуврские публикации . п. 268.