Каноническое коммутационное соотношение

Отношение, которому удовлетворяют сопряженные переменные в квантовой механике

В квантовой механике каноническое коммутационное соотношение является фундаментальным соотношением между каноническими сопряженными величинами (количествами, которые связаны по определению так, что одно является преобразованием Фурье другого). Например, $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=i\hbar \mathbb {I} }$$

между оператором положения x и оператором импульса p _x в направлении x точечной частицы в одном измерении, где [ x , p _x ] = x p _x − p _x x — коммутатор x и p _x , i — мнимый unit , ℏ — приведенная постоянная Планка h /2π , и — единичный оператор. В общем, положение и импульс представляют собой векторы операторов, и их коммутационная связь между различными компонентами положения и импульса может быть выражена как где - дельта Кронекера .  ${\displaystyle \mathbb {I} }$ $${\displaystyle [{\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij},}$$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Это соотношение приписывается Вернеру Гейзенбергу , Максу Борну и Паскуалю Йордану (1925), ^{[1] [2]} , которые назвали его «квантовым условием», служащим постулатом теории; это было отмечено Э. Кеннардом (1927) ^[3] как подразумевающее принцип неопределенности Гейзенберга . Теорема Стоуна -фон Неймана дает результат о единственности операторов, удовлетворяющих (в экспоненциальной форме) каноническому коммутационному соотношению.

Связь с классической механикой

Напротив, в классической физике все наблюдаемые коммутируют, и коммутатор будет равен нулю. Однако существует аналогичное соотношение, которое получается заменой коммутатора на скобку Пуассона, умноженную на i ℏ , $${\displaystyle \{x,p\}=1\,.}$$

Это наблюдение привело Дирака к предположению , что квантовые аналоги классических наблюдаемых f , g удовлетворяют ${\displaystyle {\hat {f}}}$ $${\displaystyle [{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,.}$$

В 1946 году Хип Гроневолд продемонстрировал, что общее систематическое соответствие между квантовыми коммутаторами и скобками Пуассона не может быть устойчивым. ^{[4] [5]}

Однако он также понял, что такое систематическое соответствие действительно существует между квантовым коммутатором и деформацией скобки Пуассона, сегодня называемой скобкой Мойала , и, в целом, квантовыми операторами, классическими наблюдаемыми и распределениями в фазовом пространстве . Таким образом, он наконец объяснил последовательный механизм соответствия, преобразование Вигнера-Вейля , которое лежит в основе альтернативного эквивалентного математического представления квантовой механики, известного как деформационное квантование . ^{[4] [6]}

Вывод из гамильтоновой механики

Согласно принципу соответствия , в определенных пределах квантовые уравнения состояния должны приближаться к уравнениям движения Гамильтона . Последние устанавливают следующую связь между обобщенной координатой q (например, положением) и обобщенным импульсом p : $${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\};\\{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{cases}}}$$

В квантовой механике гамильтониан , (обобщенная) координата и (обобщенный) импульс являются линейными операторами. ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {Q}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$

Производная по времени квантового состояния равна - (по уравнению Шрёдингера ). Эквивалентно, поскольку операторы явно не зависят от времени, можно видеть, что они развиваются во времени (см. рисунок Гейзенберга ) в соответствии с их коммутационным соотношением с гамильтонианом: ${\displaystyle i{\hat {H}}/\hbar }$ $${\displaystyle {\frac {d{\hat {Q}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {Q}}]}$$ $${\displaystyle {\frac {d{\hat {P}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {P}}]\,\,.}$$

Чтобы это согласовалось в классическом пределе с уравнениями движения Гамильтона, оно должно полностью зависеть от появления в гамильтониане и должно полностью зависеть от появления в гамильтониане. Далее, поскольку оператор Гамильтона зависит от (обобщенных) операторов координаты и импульса, его можно рассматривать как функционал, и мы можем написать (используя функциональные производные ): ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {Q}}]}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {P}}]}$ ${\displaystyle {\hat {Q}}}$ $${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {Q}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {P}}}}\cdot [{\hat {P}},{\hat {Q}}]}$$ $${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {P}}]={\frac {\delta {\hat {H}}}{\delta {\hat {Q}}}}\cdot [{\hat {Q}},{\hat {P}}]\,.}$$

Тогда для того, чтобы получить классический предел, мы должны иметь $${\displaystyle [{\hat {Q}},{\hat {P}}]=i\hbar ~\mathbb {I} .}$$

Отношения Вейля

Группа , порожденная возведением в степень трехмерной алгебры Ли, определяемой коммутационным соотношением, называется группой Гейзенберга . Эту группу можно реализовать как группу верхнетреугольных матриц с единицами на диагонали. ^[7] ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$ ${\displaystyle 3\times 3}$

Согласно стандартной математической формулировке квантовой механики , квантовые наблюдаемые, такие как и, должны быть представлены как самосопряженные операторы в некотором гильбертовом пространстве . Сравнительно легко увидеть, что два оператора, удовлетворяющие приведенным выше каноническим коммутационным соотношениям, не могут быть оба ограниченными . Конечно, если бы и были операторами следового класса , отношение дает ненулевое число справа и ноль слева. ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (AB)=\operatorname {Tr} (BA)}$

С другой стороны, если бы и были ограниченными операторами, обратите внимание, что , следовательно, нормы операторов удовлетворяли бы так, что для любого n , Однако n может быть сколь угодно большим, поэтому по крайней мере один оператор не может быть ограничен, и размерность основного гильбертова пространства не может быть конечным. Если операторы удовлетворяют соотношениям Вейля (возведенная в степень версия канонических коммутационных соотношений, описанная ниже), то, как следствие теоремы Стоуна – фон Неймана , оба оператора должны быть неограниченными. ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle [{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}]=i\hbar n{\hat {x}}^{n-1}}$ $${\displaystyle 2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar \left\|{\hat {x}}^{n-1}\right\|,}$$ $${\displaystyle 2\left\|{\hat {p}}\right\|\left\|{\hat {x}}\right\|\geq n\hbar }$$

Тем не менее, эти канонические коммутационные отношения можно сделать несколько «упрощенными», записав их в терминах (ограниченных) унитарных операторов и . Результирующими связующими отношениями для этих операторов являются так называемые отношения Вейля. Эти отношения можно рассматривать как возведенную в степень версию канонических коммутационных соотношений; они отражают то, что сдвиги в положении и сдвиги в импульсе не коммутируют. Соотношения Вейля легко переформулировать в терминах представлений группы Гейзенберга . ${\displaystyle \exp(it{\hat {x}})}$ ${\displaystyle \exp(is{\hat {p}})}$ $${\displaystyle \exp(it{\hat {x}})\exp(is{\hat {p}})=\exp(-ist/\hbar )\exp(is{\hat {p}})\exp(it{\hat {x}}).}$$

Единственность канонических коммутационных соотношений - в форме соотношений Вейля - тогда гарантируется теоремой Стоуна-фон Неймана .

По техническим причинам соотношения Вейля не являются строго эквивалентными каноническому соотношению коммутации . Если бы и были ограниченными операторами, то частный случай формулы Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа позволил бы «возвести в степень» канонические коммутационные отношения до соотношений Вейля. ^[8] Поскольку, как мы уже отмечали, любые операторы, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям, должны быть неограниченными, формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа неприменима без дополнительных предположений о области определения. Действительно, существуют контрпримеры, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям, но не соотношениям Вейля. ^[9] (Эти же операторы дают контрпример наивной форме принципа неопределенности.) Эти технические проблемы являются причиной того, что теорема Стоуна-фон Неймана формулируется в терминах соотношений Вейля. ${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$

Дискретная версия соотношений Вейля, в которой параметры s и t варьируются в диапазоне , может быть реализована в конечномерном гильбертовом пространстве с помощью матриц часов и сдвига . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

Обобщения

Простая формула , справедливая для квантования простейшей классической системы, может быть обобщена на случай произвольного лагранжиана . ^[10] Мы идентифицируем канонические координаты (такие как x в приведенном выше примере или поле Φ( x ) в случае квантовой теории поля ) и канонические импульсы π _x (в приведенном выше примере это p или, в более общем смысле, некоторые функции, включающие производные канонических координат по времени): $${\displaystyle [x,p]=i\hbar \,\mathbb {I} ~,}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ $${\displaystyle \pi _{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial x_{i}/\partial t)}}.}$$

Такое определение канонического импульса гарантирует, что одно из уравнений Эйлера – Лагранжа имеет вид $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\pi _{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}.}$$

Канонические коммутационные соотношения тогда сводятся к тому, где δ _ij — дельта Кронекера . $${\displaystyle [x_{i},\pi _{j}]=i\hbar \delta _{ij}\,}$$

Далее, можно показать, что $${\displaystyle [F({\vec {x}}),p_{i}]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {x}})}{\partial x_{i}}};\qquad [x_{i},F({\vec {p}})]=i\hbar {\frac {\partial F({\vec {p}})}{\partial p_{i}}}.}$$

Используя , можно показать это с помощью математической индукции, широко известной как формула Маккоя. ^[11] ${\displaystyle C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}}$ $${\displaystyle \left[{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}^{m}\right]=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {-\left(-i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!}}{\hat {x}}^{n-k}{\hat {p}}^{m-k}}=\sum _{k=1}^{\min \left(m,n\right)}{{\frac {\left(i\hbar \right)^{k}n!m!}{k!\left(n-k\right)!\left(m-k\right)!}}{\hat {p}}^{m-k}{\hat {x}}^{n-k}},}$$

Калибровочная инвариантность

Каноническое квантование применяется по определению к каноническим координатам . Однако в присутствии электромагнитного поля канонический импульс p не является калибровочно-инвариантным . Правильный калибровочно-инвариантный импульс (или «кинетический импульс») равен

${\displaystyle p_{\text{kin}}=p-qA\,\!}$ ( единицы СИ ) ( единицы СГС ),     ${\displaystyle p_{\text{kin}}=p-{\frac {qA}{c}}\,\!}$

где q — электрический заряд частицы , A — векторный потенциал , а c — скорость света . Хотя величина p _kin является «физическим импульсом», поскольку ее следует отождествлять с импульсом в лабораторных экспериментах, она не удовлетворяет каноническим коммутационным соотношениям; только канонический импульс делает это. Это можно увидеть следующим образом.

Нерелятивистский гамильтониан для квантованной заряженной частицы массы m в классическом электромагнитном поле равен (в единицах СГС) где A — трехвекторный потенциал, а φ — скалярный потенциал . Эта форма гамильтониана, а также уравнение Шредингера Hψ = iħ∂ψ/∂t , уравнения Максвелла и силовой закон Лоренца инвариантны относительно калибровочного преобразования, где и Λ = Λ( x , t ) — калибровочная функция. $${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {qA}{c}}\right)^{2}+q\phi }$$ $${\displaystyle A\to A'=A+\nabla \Lambda }$$ $${\displaystyle \phi \to \phi '=\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}}$$ $${\displaystyle \psi \to \psi '=U\psi }$$ $${\displaystyle H\to H'=UHU^{\dagger },}$$ $${\displaystyle U=\exp \left({\frac {iq\Lambda }{\hbar c}}\right)}$$

Оператор углового момента подчиняется каноническим соотношениям квантования, определяющим алгебру Ли для so(3) , где – символ Леви-Чивита . При калибровочных преобразованиях угловой момент преобразуется как $${\displaystyle L=r\times p\,\!}$$ $${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ijk}}L_{k}}$$ ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ $${\displaystyle \langle \psi \vert L\vert \psi \rangle \to \langle \psi ^{\prime }\vert L^{\prime }\vert \psi ^{\prime }\rangle =\langle \psi \vert L\vert \psi \rangle +{\frac {q}{\hbar c}}\langle \psi \vert r\times \nabla \Lambda \vert \psi \rangle \,.}$$

Калибровочно-инвариантный угловой момент (или «кинетический угловой момент») определяется выражением, имеющим коммутационные соотношения где магнитное поле . Неэквивалентность этих двух формулировок проявляется в эффекте Зеемана и эффекте Ааронова-Бома . $${\displaystyle K=r\times \left(p-{\frac {qA}{c}}\right),}$$ $${\displaystyle [K_{i},K_{j}]=i\hbar {\epsilon _{ij}}^{\,k}\left(K_{k}+{\frac {q\hbar }{c}}x_{k}\left(x\cdot B\right)\right)}$$ $${\displaystyle B=\nabla \times A}$$

Соотношение неопределенностей и коммутаторы

Все такие нетривиальные коммутационные соотношения для пар операторов приводят к соответствующим соотношениям неопределенности ^[12] , включающим положительные полуопределенные математические ожидания от соответствующих коммутаторов и антикоммутаторов. В общем, для двух эрмитовых операторов A и B рассмотрим значения ожидания в системе в состоянии ψ , отклонения вокруг соответствующих значений ожидания равны (Δ A ) ² ≡ ⟨( A − ⟨ A ⟩) ² ⟩ и т. д.

Тогда где [ A ,  B ] ≡ A B − B A — коммутатор A и B , а { A ,  B } ≡ A B + B A — антикоммутатор . $${\displaystyle \Delta A\,\Delta B\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\left|\left\langle \left[{A},{B}\right]\right\rangle \right|^{2}+\left|\left\langle \left\{A-\langle A\rangle ,B-\langle B\rangle \right\}\right\rangle \right|^{2}}},}$$

Это следует из неравенства Коши–Шварца , поскольку |⟨ A ² ⟩| |⟨ Б ² ⟩| ≥ |⟨ А Б ⟩| ² и A B = ([ A ,  B ] + { A ,  B })/2  ; и аналогично для сдвинутых операторов A − ⟨ A ⟩ и B − ⟨ B ⟩ . (См. выводы принципа неопределенности .)

Подставив A и B (и внимательно проведя анализ), вы, как обычно, получите знакомое соотношение неопределенности Гейзенберга для x и p .

Соотношение неопределенностей для операторов углового момента

Для операторов углового момента L _x = y p _z − z p _y и т. д. имеем где – символ Леви-Чивита и просто меняем знак ответа при попарной замене индексов. Аналогичное соотношение справедливо и для операторов спина . $${\displaystyle [{L_{x}},{L_{y}}]=i\hbar \epsilon _{xyz}{L_{z}},}$$ ${\displaystyle \epsilon _{xyz}}$

Здесь для L _x и L _y  , ^[12] в мультиплетах углового момента ψ = | ℓ , m ⟩ , для трансверсальных компонент инварианта Казимира L x ₂ ⁺ L y ₂ ⁺ L z ₂ ^{имеются} z -симметричные соотношения

⟨ L _Икс ² ⟩ знак равно ⟨ L _y ² ⟩ знак равно ( ℓ  ( ℓ + 1) - м ² ) ℏ ² /2  ,

а также ⟨ L _Икс ⟩ знак равно ⟨ L _y ⟩ знак равно 0  .

Следовательно, приведенное выше неравенство, примененное к этому коммутационному соотношению, определяет следовательно и, следовательно , так, затем оно дает полезные ограничения, такие как нижняя граница инварианта Казимира : ℓ  ( ℓ + 1) ≥ | м | (| m | + 1) и, следовательно, ℓ ≥ | м | , среди других. $${\displaystyle \Delta L_{x}\Delta L_{y}\geq {\frac {1}{2}}{\sqrt {\hbar ^{2}|\langle L_{z}\rangle |^{2}}}~,}$$ $${\displaystyle {\sqrt {|\langle L_{x}^{2}\rangle \langle L_{y}^{2}\rangle |}}\geq {\frac {\hbar ^{2}}{2}}\vert m\vert }$$ $${\displaystyle \ell (\ell +1)-m^{2}\geq |m|~,}$$

Смотрите также

• Каноническое квантование
• Алгебры CCR и CAR
• Конформастатическое пространство-время
• Производная лжи
• Кронштейн Мойал
• Теорема Стоуна – фон Неймана

Рекомендации

1. «Развитие квантовой механики».
2. Борн, М.; Джордан, П. (1925). «Цур Квантенмеханик». Zeitschrift für Physik . 34 (1): 858–888. Бибкод : 1925ZPhy...34..858B. дои : 10.1007/BF01328531. S2CID  186114542.
3. Кеннард, Э.Х. (1927). «Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen». Zeitschrift für Physik . 44 (4–5): 326–352. Бибкод : 1927ZPhy...44..326K. дои : 10.1007/BF01391200. S2CID  121626384.
4. Гроневолд, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Физика . 12 (7): 405–460. Бибкод : 1946Phy....12..405G. дои : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4.
5. Холл, 2013 г., Теорема 13.13.
6. Куртрайт, TL; Захос, СК (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Информационный бюллетень по физике Азиатско-Тихоокеанского региона . 01 :37–46. arXiv : 1104.5269 . дои : 10.1142/S2251158X12000069. S2CID  119230734.
7. Холл 2015 г., раздел 1.2.6 и предложение 3.26.
8. Элементарный вывод см. в разделе 5.2 Hall 2015.
9. Холл 2013 г. Пример 14.5.
10. Таунсенд, Дж. С. (2000). Современный подход к квантовой механике . Саусалито, Калифорния: Университетские научные книги. ISBN 1-891389-13-0.
11. Маккой, Нью-Хэмпшир (1929), «О формулах коммутации в алгебре квантовой механики», Труды Американского математического общества 31 (4), 793-806 онлайн
12. Робертсон, HP (1929). «Принцип неопределенности». Физический обзор . 34 (1): 163–164. Бибкод : 1929PhRv...34..163R. дои : 10.1103/PhysRev.34.163.

• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Спрингер.
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления, Элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер.