Канонические координаты

Наборы координат в фазовом пространстве, которые можно использовать для описания физической системы.

В математике и классической механике канонические координаты — это наборы координат в фазовом пространстве , которые можно использовать для описания физической системы в любой заданный момент времени. Канонические координаты используются в гамильтоновой формулировке классической механики . Близкая концепция также появляется в квантовой механике ; подробности см. в теореме Стоуна – фон Неймана и канонических коммутационных соотношениях .

Поскольку гамильтонова механика обобщается симплектической геометрией , а канонические преобразования обобщаются контактными преобразованиями , определение канонических координат 19 века в классической механике может быть обобщено до более абстрактного определения координат 20 века на кокасательном расслоении многообразия ( математическое понятие фазового пространства).

Определение в классической механике

В классической механике каноническими координатами являются координаты и в фазовом пространстве , которые используются в гамильтоновом формализме. Канонические координаты удовлетворяют фундаментальным соотношениям скобок Пуассона : ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle \left\{q^{i},q^{j}\right\}=0\qquad \left\{p_{i},p_{j}\right\}=0\qquad \left\{q^{i},p_{j}\right\}=\delta _{ij}}$

Типичный пример канонических координат - это обычные декартовы координаты и компоненты импульса . Следовательно, в общем случае координаты называются «сопряженными импульсами». ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

Канонические координаты могут быть получены из обобщенных координат лагранжева формализма преобразованием Лежандра или из другого набора канонических координат каноническим преобразованием .

Определение котангенсных расслоений

Канонические координаты определяются как специальный набор координат на кокасательном расслоении многообразия . Они обычно записываются как набор или где x или q обозначают координаты на базовом многообразии, а p обозначают сопряженный импульс , которые являются 1-формами в кокасательном расслоении в точке q многообразия. . ${\displaystyle \left(q^{i},p_{j}\right)}$ ${\displaystyle \left(x^{i},p_{j}\right)}$

Общее определение канонических координат - это любой набор координат на кокасательном расслоении, который позволяет записать каноническую одну форму в виде

${\displaystyle \sum _{i}p_{i}\,\mathrm {d} q^{i}}$

до полного дифференциала. Изменение координат, сохраняющее эту форму, есть каноническое преобразование ; это частный случай симплектоморфизма , который по существу является заменой координат на симплектическом многообразии .

В следующем изложении мы предполагаем, что многообразия являются действительными многообразиями, так что кокасательные векторы, действующие на касательные векторы, производят действительные числа.

Формальное развитие

Для данного многообразия Q векторное поле X на Q ( часть касательного расслоения TQ ) можно рассматривать как функцию, действующую на кокасательное расслоение , в силу двойственности между касательным и кокасательным пространствами. То есть определить функцию

${\displaystyle P_{X}:T^{*}Q\to \mathbb {R} }$

такой, что

${\displaystyle P_{X}(q,p)=p(X_{q})}$

справедливо для всех котангенс векторов p в . Здесь – вектор в касательном пространстве к многообразию Q в точке q . Функция называется функцией импульса , соответствующей X. ${\displaystyle T_{q}^{*}Q}$ ${\displaystyle X_{q}}$ ${\displaystyle T_{q}Q}$ ${\displaystyle P_{X}}$

В локальных координатах векторное поле X в точке q можно записать как

${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$

где – система координат на TQ . Тогда сопряженный импульс имеет выражение ${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$

${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}$

где определены как функции импульса, соответствующие векторам : ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$

${\displaystyle p_{i}=P_{\partial /\partial q^{i}}}$

Вместе с вместе образуют систему координат на коткасательном расслоении ; эти координаты называются каноническими координатами . ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$

Обобщенные координаты

В лагранжевой механике используется другой набор координат, называемый обобщенными координатами . Их обычно обозначают как обобщенное положение и обобщенную скорость . Когда на кокасательном расслоении определен гамильтониан , то обобщенные координаты связаны с каноническими координатами посредством уравнений Гамильтона–Якоби . ${\displaystyle \left(q^{i},{\dot {q}}^{i}\right)}$ ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$

Смотрите также

• Линейный дискриминантный анализ
• Симплектическое многообразие
• Симплектическое векторное поле
• Симплектоморфизм
• Кинетический импульс
• Дополнительность (физика)
• Каноническое квантование
• Каноническая квантовая гравитация

Рекомендации

• Гольдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз П. младший; Сафко, Джон Л. (2002). Классическая механика (3-е изд.). Сан-Франциско: Эддисон Уэсли. стр. 347–349. ISBN 0-201-65702-3.
• Ральф Абрахам и Джерролд Э. Марсден , Основы механики , (1978) Бенджамин-Каммингс, Лондонский ISBN 0-8053-0102-X См. раздел 3.2 .