Мидсфера

Непрозрачный белый многогранник с четырьмя треугольными гранями и четырьмя четырехугольными гранями пересекается прозрачной синей сферой приблизительно такого же размера, касательной к каждому ребру многогранника. Видимые части сферы, снаружи многогранника, образуют круглые колпачки на каждой грани многогранника двух размеров: меньшие на треугольных гранях и большие на четырехугольных гранях. Красные круги на поверхности сферы, проходящие через эти колпачки, отмечают горизонты, видимые из каждой вершины многогранника. Красные круги имеют те же два размера, что и круглые колпачки: меньшие круги окружают вершины многогранника, где встречаются три грани, а большие круги окружают вершины, где встречаются четыре грани. — Многогранник и его середина. Красные круги — границы сферических шапок , внутри которых поверхность сферы видна из каждой вершины.

В геометрии середина или интерсфера выпуклого многогранника — это сфера , которая касается каждого ребра многогранника. Не каждый многогранник имеет середину, но однородные многогранники , включая правильные , квазиправильные и полуправильные многогранники и их двойственные ( каталоновы тела ), все имеют середину. Радиус серединной сферы называется мидрадиусом . Многогранник, имеющий середину, называется серединой, описанной вокруг этой сферы. ^[1]

Когда многогранник имеет среднюю сферу, можно образовать две перпендикулярные упаковки кругов на средней сфере, одна из которых соответствует смежности между вершинами многогранника, а другая соответствует таким же образом его полярному многограннику , который имеет ту же среднюю сферу. Длина каждого ребра многогранника равна сумме расстояний от его двух конечных точек до соответствующих им окружностей в этой упаковке кругов.

Каждый выпуклый многогранник имеет комбинаторно эквивалентный многогранник, канонический многогранник , который имеет среднюю сферу, центрированную в центроиде точек касания его ребер. Алгоритмы численного приближения могут построить канонический многогранник, но его координаты не могут быть представлены точно как выражение в замкнутой форме . Любой канонический многогранник и его полярный двойственный могут быть использованы для формирования двух противоположных граней четырехмерной антипризмы .

Определение и примеры

Средняя сфера трехмерного выпуклого многогранника определяется как сфера, которая касается каждого ребра многогранника. То есть каждое ребро должно касаться его во внутренней точке ребра, не пересекая его. Эквивалентно, это сфера, которая содержит вписанную окружность каждой грани многогранника. ^[2] Когда средняя сфера существует, она уникальна. Не каждый выпуклый многогранник имеет среднюю сферу; чтобы иметь среднюю сферу, каждая грань должна иметь вписанную окружность (то есть она должна быть касательным многоугольником ), и все эти вписанные окружности должны принадлежать одной сфере. Например, прямоугольный кубоид имеет среднюю сферу только тогда, когда он является кубом, потому что в противном случае он имеет неквадратные прямоугольники в качестве граней, а они не имеют вписанных окружностей. ^[3]

Для единичного куба с центром в начале декартовой системы координат , с вершинами в восьми точках , середины ребер находятся на расстоянии от начала координат. Следовательно, для этого куба середина центрирована в начале координат, с радиусом . Это больше радиуса вписанной сферы , , и меньше радиуса описанной сферы , . В более общем смысле, для любого Платонова тела с длиной ребра , середина радиуса равна ^[4] ${\textstyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$ $1{\big /}\!{\sqrt {2}}$ ${\textstyle 1{\big /}\!{\sqrt {2}}}$ ${\textstyle 1/2}$ ${\textstyle {\sqrt {3/4}}}$ $\ell$

${\tfrac {1}{2{\sqrt {2}}}}\ell$ для правильного тетраэдра ,
${\tfrac {1}{2}}\ell$ для правильного октаэдра ,
${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\ell$ для обычного куба,
${\tfrac {\varphi}{2}}\ell$ для правильного икосаэдра , где обозначает золотое сечение , и $\varphi$
${\tfrac {\varphi ^{2}}{2}}\ell$ для правильного додекаэдра .

Однородные многогранники , включая правильные , квазиправильные и полуправильные многогранники и их двойники , все имеют средние сферы. В правильных многогранниках вписанная сфера, средняя сфера и описанная сфера существуют и являются концентрическими , ^[5] и средняя сфера касается каждого ребра в его средней точке. ^[6]

Не каждый неправильный тетраэдр имеет среднюю сферу. Тетраэдры, которые имеют среднюю сферу, называются «тетраэдрами Крелля»; они образуют четырехмерное подсемейство шестимерного пространства всех тетраэдров (параметризованное шестью длинами их ребер). Точнее, тетраэдры Крелля — это в точности тетраэдры, образованные центрами четырех сфер, которые все касаются друг друга внешним образом. В этом случае шесть длин ребер тетраэдра являются попарными суммами четырех радиусов этих сфер. ^[7] Средняя сфера такого тетраэдра касается его ребер в точках, где две из четырех образующих сфер касаются друг друга, и перпендикулярна всем четырем образующим сферам. ^[8]

Характеристики

Касательные окружности

Если $O$ — середина выпуклого многогранника $P$ , то пересечение $O$ с любой гранью $P$ — это окружность, которая лежит внутри грани и касается ее ребер в тех же точках, где касается середина. Таким образом, каждая грань $P$ имеет вписанную окружность, и эти окружности касаются друг друга в точности тогда, когда грани, в которых они лежат, имеют общее ребро. (Однако не все системы окружностей с этими свойствами происходят из середин.) ^[1]

Двойственно, если $v$ является вершиной $P$ , то существует конус , вершина которого находится в $v$ , и который касается $O$ по окружности; эта окружность образует границу сферической шапки , внутри которой поверхность сферы видна из вершины. То есть окружность является горизонтом средней сферы, если смотреть из вершины. Окружности, образованные таким образом, касаются друг друга в точности тогда, когда вершины, которым они соответствуют, соединены ребром. ^[9]

Двойственность

Если многогранник $P$ имеет среднюю сферу $O$ , то полярный многогранник относительно $O$ также имеет $O$ в качестве своей средней сферы. Плоскости граней полярного многогранника проходят через окружности на $O$ , которые касаются конусов, имеющих вершины $P$ в качестве своих вершин. ^[2] Рёбра полярного многогранника имеют те же точки касания с средней сферой , в которых они перпендикулярны рёбрам $P.$ ^[10]

Длина кромки

Для многогранника с серединой сферы можно присвоить каждой вершине действительное число ( степень вершины по отношению к середине сферы), равное расстоянию от этой вершины до точки касания каждого ребра, которое касается ее. Для каждого ребра сумма двух чисел, приписанных его конечным точкам, является просто длиной ребра. Например, тетраэдры Крелля можно параметризовать четырьмя числами, приписанными таким образом их четырем вершинам, показывая, что они образуют четырехмерное семейство. ^[11]

Например, четыре точки (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1) образуют один из тетраэдров Крелля с тремя равнобедренными прямоугольными треугольниками и одним равносторонним треугольником для грани. Эти четыре точки являются центрами четырех попарно касающихся сфер с радиусами для трех ненулевых точек на равностороннем треугольнике и для начала координат. Эти четыре числа (три равных и одно меньшее) являются четырьмя числами, которые параметризуют этот тетраэдр. Три ребра тетраэдра соединяют две точки, которые оба имеют больший радиус; длина этих ребер является суммой этих равных радиусов, . Другие три ребра соединяют две точки с разными радиусами, сумма которых равна единице. ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\approx 0,707$ $1-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\approx 0,293$ ${\sqrt {2}}$

Когда многогранник с серединой имеет гамильтонов цикл , сумма длин ребер в цикле может быть разделена таким же образом на удвоенную сумму степеней вершин. Поскольку эта сумма степеней вершин не зависит от выбора ребер в цикле, все гамильтоновы циклы имеют одинаковую длину. ^[12]

Канонический многогранник

Одна более сильная форма теоремы об упаковке кругов , представляющая планарные графы системами касательных кругов, утверждает, что любой многогранный граф может быть представлен вершинами и ребрами многогранника с серединой сферы. Эквивалентно, любой выпуклый многогранник может быть преобразован в комбинаторно эквивалентную форму с соответствующими вершинами, ребрами и гранями, которая имеет середину сферы. Окружности горизонта полученного многогранника могут быть преобразованы стереографической проекцией в упаковку кругов в евклидовой плоскости , граф пересечения которой является заданным графом: его круги не пересекают друг друга и касаются друг друга в точности тогда, когда вершины, которым они соответствуют, являются смежными. ^[13] Хотя каждый многогранник имеет комбинаторно эквивалентную форму с серединой сферы, некоторые многогранники не имеют какой-либо эквивалентной формы с вписанной сферой или с описанной сферой. ^[14]

Любые два выпуклых многогранника с одинаковой гранной решеткой и одинаковой средней сферой могут быть преобразованы друг в друга проективным преобразованием трехмерного пространства, которое оставляет среднюю сферу в том же положении. Это преобразование оставляет сферу на месте, но перемещает точки внутри сферы в соответствии с преобразованием Мёбиуса . ^[15] Любой многогранник с средней сферой, масштабированный так, что средняя сфера является единичной сферой, может быть преобразован таким образом в многогранник, для которого центроид точек касания находится в центре сферы. Результатом этого преобразования является эквивалентная форма данного многогранника, называемая каноническим многогранником , со свойством, что все комбинаторно эквивалентные многогранники будут производить те же канонические многогранники, что и друг у друга, с точностью до конгруэнтности . ^[16] Другой выбор преобразования переводит любой многогранник с средней сферой в такой, который максимизирует минимальное расстояние вершины от средней сферы. Его можно найти за линейное время , и канонический многогранник, определенный этим альтернативным способом, имеет максимальную симметрию среди всех комбинаторно эквивалентных форм того же многогранника. ^[17] Для многогранников с нециклической группой симметрий, сохраняющих ориентацию, два выбора преобразования совпадают. ^[18] Например, канонический многогранник кубоида , определенный любым из этих двух способов, является кубом с расстоянием от его центроида до середин его ребер, равным единице, и длиной его ребра, равной . ^[19] ${\sqrt {2}}$

Строительство

Численное приближение к каноническому многограннику для заданного многогранного графа может быть построено путем представления графа и его двойственного графа в виде перпендикулярных упаковок кругов на евклидовой плоскости ^[20], применения стереографической проекции для преобразования его в пару упаковок кругов на сфере, численного поиска преобразования Мёбиуса, которое переносит центроид точек пересечения в центр сферы, и размещения вершин многогранника в точках пространства, имеющих двойственные круги преобразованной упаковки в качестве своих горизонтов. Однако координаты и радиусы кругов на этапе упаковки кругов могут быть неконструируемыми числами , которые не имеют точного выражения в замкнутой форме с использованием арифметических и $n$ -корневых операций. ^[21]

В качестве альтернативы, более простой численный метод построения канонического многогранника, предложенный Джорджем У. Хартом, работает напрямую с координатами вершин многогранника, корректируя их положения в попытке сделать так, чтобы ребра находились на одинаковом расстоянии от начала координат, чтобы точки с минимальным расстоянием от начала координат имели начало координат в качестве своего центроида, и чтобы грани многогранника оставались плоскими. В отличие от метода упаковки кругов, не было доказано, что он сходится к каноническому многограннику, и даже не гарантируется создание многогранника, комбинаторно эквивалентного заданному, но, по-видимому, он хорошо работает на небольших примерах. ^[19]

Приложения

Канонический многогранник и его полярный дуал могут быть использованы для построения четырехмерного аналога антипризмы , одна из двух противоположных граней которой комбинаторно эквивалентна любому заданному трехмерному многограннику. Неизвестно, можно ли использовать каждый трехмерный многогранник непосредственно как грань четырехмерной антипризмы, не заменяя его каноническим многогранником, но не всегда возможно сделать это, используя как произвольный трехмерный многогранник, так и его полярный дуал. ^[1]

Помещение яйца в клетку

Среднюю сферу в конструкции канонического многогранника можно заменить любым гладким выпуклым телом . При наличии такого тела каждый многогранник имеет комбинаторно эквивалентную реализацию, ребра которой касаются этого тела. Это было описано как «заключение яйца в клетку»: гладкое тело — это яйцо, а многогранная реализация — его клетка. ^[22] Более того, фиксация трех ребер клетки так, чтобы они имели три заданные точки касания на яйце, делает эту реализацию уникальной. ^[23]

Смотрите также

Идеальный многогранник , гиперболический многогранник, в котором каждая вершина лежит на сфере в бесконечности.

Примечания

^ abc Грюнбаум (2005).
^ ab Coxeter (1973).
↑ Уиллер (1958).
^ Coxeter (1973), Таблица I(i), стр. 292–293. См. столбец « », где — обозначение Коксетера для среднего радиуса, отметив также, что Коксетер использует в качестве длины ребра (см. стр. 2). ${}_{1}\!\mathrm {R} /\ell$ ${}_{1}\!\mathrm {R}$ $2\ell$
^ Коксетер (1973) утверждает это для правильных многогранников; Канди и Роллетт 1961 — для архимедовых многогранников.
^ Пью (1976).
^ Ласло (2017). Неправильные тетраэдры с серединой сферы являются контрпримером к неверному утверждению Пью (1976): неверно, что только правильные многогранники имеют все три из серединной сферы, вписанной сферы и описанной сферы.
^ Байер и Смельцер (2015).
^ Циглер (2007).
↑ Канди и Роллетт (1961).
^ Ласло (2017).
^ Феттер (2012).
^ Шрамм (1992); Сакс (1994). Шрамм утверждает, что существование эквивалентного многогранника с серединой сферы было заявлено Кёбе (1936), но что Кёбе доказал этот результат только для многогранников с треугольными гранями. Шрамм приписывает полный результат Уильяму Терстону , но соответствующая часть лекционных заметок Терстона [1] Архивировано 21.01.2021 на Wayback Machine снова явно указывает результат только для триангулированных многогранников.
^ Шрамм (1992); Стейниц (1928).
^ Сакс (1994).
^ Циглер (1995).
^ Берн и Эппштейн (2001).
^ Весеннее рождение (2005).
^ ab Hart (1997).
^ Мохар (1993).
^ Баннистер и др. (2015).
^ Шрамм (1992).
^ Лю и Чжоу (2016).

Ссылки

Аравинд, ПК (март 2011 г.), «Насколько сферичны архимедовы тела и их двойники?», The College Mathematics Journal , 42 (2): 98–107, doi :10.4169/college.math.j.42.2.098, JSTOR 10.4169/college.math.j.42.2.098, MR 2793141, S2CID 116393034, Zbl 1272.97023
Баннистер, Майкл Дж.; Деванни, Уильям Э.; Эппштейн, Дэвид ; Гудрич, Майкл Т. (2015), «Сложность Галуа рисования графов: почему численные решения повсеместны для силовых, спектральных и круговых рисунков», Журнал алгоритмов графов и их приложений , 19 (2): 619–656, arXiv : 1408.1422 , doi : 10.7155/jgaa.00349 , MR 3430492, Zbl 1328.05128
Берн, М.; Эпштейн, Д. (2001), «Оптимальные преобразования Мёбиуса для визуализации информации и построения сеток», Труды 7-го семинара по алгоритмам и структурам данных , WADS 2001, 8–10 августа, Провиденс, Род-Айленд, Lecture Notes in Computer Science, т. 2125, Springer-Verlag, стр. 14–25, arXiv : cs.CG/0101006 , doi :10.1007/3-540-44634-6_3, MR 1936397, Zbl 0997.68536
Байер, Оуэн Д.; Смельцер, Дейрдре Л. (2015), «Взаимно касательные сферы в $n$ -пространстве», Mathematics Magazine , 88 (2): 146–150, doi :10.4169/math.mag.88.2.146, JSTOR 10.4169/math.mag.88.2.146, MR 3359040, S2CID 125524102, Zbl 1325.51011
Коксетер, HSM (1973), «2.1 Правильные многогранники; 2.2 Взаимное движение», Регулярные многогранники (3-е изд.), Дувр, стр. 16–17, ISBN 0-486-61480-8, МР 0370327
Канди, Х. М.; Роллетт, А. П. (1961), Математические модели (2-е изд.), Oxford University Press, стр. 79, 117, MR 0124167, Zbl 0095.38001
Феттер, Ганс Л. (2012), «Многогранник, полный сюрпризов», Mathematics Magazine , 85 (5): 334–342, doi :10.4169/math.mag.85.5.334, JSTOR 10.4169/math.mag.85.5.334, MR 3007214, S2CID 118482074, Zbl 1274.52018
Грюнбаум, Бранко (2005), «Действительно ли скучны призмы и антипризмы? (Часть 3)» (PDF) , Geombinatorics , 15 (2): 69–78, MR 2298896, Zbl 1094.52007
Харт, Джордж У. (1997), «Вычисление канонических многогранников», Mathematica в образовании и исследованиях , 6 (3): 5–10
Кёбе, Пауль (1936), «Проблема контакта дер Konformen Abbildung», Ber. Сакс. Акад. Висс. Лейпциг, Матем.-Физ. кл. , 88 : 141–164, JFM 62.1217.04, Збл 0017.21701
Ласло, Лайош (2017), «Неравенство и некоторые равенства для среднего радиуса тетраэдра» (PDF) , Annales Universitatis Scientiarum Buddhainensis de Rolando Eötvös Nominatae , 46 : 165–176, MR 3722672, Zbl 1399.51014
Лю, Цзиньсун; Чжоу, Цзе (2016), «Сколько клеток окружает яйцо», Inventiones Mathematicae , 203 (2): 655–673, arXiv : 1412.5430 , Бибкод : 2016InMat.203..655L, doi : 10.1007/s00222-015-0602 -з, МР 3455159, S2CID 253741720, Збл 1339.52010
Мохар, Боян (1993), «Алгоритм упаковки кругов за полиномиальное время», Дискретная математика , 117 (1–3): 257–263, doi : 10.1016/0012-365X(93)90340-Y , MR 1226147, Zbl 0785.52006
Пью, Энтони (1976), Многогранники: визуальный подход, Издательство Калифорнийского университета, стр. 4, ISBN 9780520030565, MR 0451161, Zbl 0387.52006
Сакс, Хорст (1994), «Графы монет, многогранники и конформное отображение», Дискретная математика , 134 (1–3): 133–138, doi : 10.1016/0012-365X(93)E0068-F , MR 1303402, Zbl 0808.05043
Шрамм, Одед (1992), «Как посадить яйцо в клетку», Inventiones Mathematicae , 107 (3): 543–560, Bibcode : 1992InMat.107..543S, doi : 10.1007/BF01231901, MR 1150601, S2CID 189830473, Zbl 0726.52003
Спрингборн, Борис А. (2005), «Уникальное представление типов многогранников: центрирование посредством преобразований Мёбиуса», Mathematische Zeitschrift , 249 (3): 513–517, arXiv : math/0401005 , doi : 10.1007/s00209-004-0713 -5, МР 2121737, S2CID 7624380, Збл 1068.52015
Стейниц, Э. (1928), «Über isoperimetrische Issuee bei konvexen Polyedern», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1928 (159): 133–143, doi : 10.1515/crll.1928.159.133, JFM 54.0527.04, MR 1581158, S2CID 199546274
Уилер, Роджер Ф. (декабрь 1958 г.), «25. Четырехугольники», Classroom Notes, The Mathematical Gazette , 42 (342): 275–276, doi :10.2307/3610439, JSTOR 3610439, S2CID 250434576
Циглер, Гюнтер М. (1995), Лекции по многогранникам , Graduate Texts in Mathematics, т. 152, Springer-Verlag, стр. 117–118, doi :10.1007/978-1-4613-8431-1, ISBN 0-387-94365-X, MR 1311028, Zbl 0823.52002
Циглер, Гюнтер М. (2007), «Выпуклые многогранники: экстремальные конструкции и формы $f$ -векторов», в Miller, Ezra; Reiner, Victor; Sturmfels, Bernd (ред.), Geometric Combinatorics , IAS/Park City Mathematics Series, т. 13, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, стр. 617–691, arXiv : math/0411400 , doi :10.1090/pcms/013/10, MR 2383133, Zbl 1134.52018