Твердые тела выше (темные) показаны вместе с их двойниками (светлыми). Видимые части каталонских тел представляют собой правильные пирамиды .
В математике каталонское тело , или двойственное к Архимеду тело , представляет собой многогранник, двойственный архимедову телу . Всего каталонских тел 13. Они названы в честь бельгийского математика Эжена Каталана , впервые описавшего их в 1865 году.
Точно так же, как призмы и антипризмы обычно не считаются архимедовыми телами, бипирамиды и трапецоэдры обычно не считаются каталонскими телами, несмотря на то, что они транзитивны по граням.
Одиннадцать из 13 каталонских тел обладают свойством Руперта : копию тела той же или большей формы можно пропустить через отверстие в твердом теле. [1]
Список каталонских тел и их двойников
Симметрия
Каталонские тела, наряду с их двойственными архимедовыми телами , можно сгруппировать в тела с тетраэдрической, октаэдрической и икосаэдрической симметрией. Как для октаэдрической, так и для икосаэдрической симметрии существует шесть форм. Единственное каталонское тело с подлинной тетраэдрической симметрией — это тетраэдр триакиса (двойник усеченного тетраэдра ). Ромбдодекаэдр и тетракисгексаэдр обладают октаэдрической симметрией, но их можно раскрасить так, чтобы они имели только тетраэдрическую симметрию . Ректификация и курносость также существуют при тетраэдрической симметрии, но они являются платоническими, а не архимедовыми, поэтому их двойниками являются платонические, а не каталонские. (В таблице ниже они показаны на коричневом фоне.)
Геометрия
Все двугранные углы каталонского тела равны. Обозначая их значение через и обозначая угол грани в вершинах стыковки граней через , мы имеем
.
Это можно использовать для вычисления и только , , ... , from , ....
Треугольные лица
Из 13 каталонских тел 7 имеют треугольные грани. Они имеют вид Vp.qr, где p, q и r принимают свои значения между 3, 4, 5, 6, 8 и 10. Углы и можно вычислить следующим образом. Положите , , и положите
.
Затем
,
.
Ибо и выражения похожи конечно. Двугранный угол можно вычислить по формуле
Из 13 каталонских тел 4 имеют четырехугольные грани. Они имеют вид Vp.qpr, где p, q и r принимают значения между 3, 4 и 5. Угол можно вычислить по следующей формуле:
.
Отсюда можно легко вычислить , и двугранный угол. Альтернативно, поставьте , , . Тогда и можно найти, применяя формулы для треугольного случая. Угол, конечно, можно вычислить аналогичным образом. Лица — коршуны , или, если , ромбы . Применяя это, например, к дельтовидному икоситетраэдру ( , и ), получаем .
Пятиугольные грани
Из 13 каталонских тел 2 имеют пятиугольные грани. Они имеют вид Vp.pppq, где p=3 и q=4 или 5. Угол можно вычислить, решив уравнение третьей степени:
.
Метрические свойства
Для каталонского тела пусть будет двойственным по отношению к средней сфере . Тогда – архимедово тело с такой же средней сферой. Обозначим длину ребер через . Позвольте быть внутренним радиусом граней , средним радиусом и , внутренним радиусом , и окружным радиусом . Тогда эти величины можно выразить через двугранный угол следующим образом:
,
,
,
.
Эти величины связаны соотношениями , и .
В качестве примера пусть это кубооктаэдр с длиной ребра . Тогда – ромбдодекаэдр. Применение формулы для четырехугольных граней с и дает , следовательно , , , .
Все вершины типа лежат на сфере с радиусом, заданным выражением
,
и аналогично для .
Двойственным образом существует сфера, которая касается всех граней, в центре которых находятся правильные -угольники (и аналогично для ). Радиус этой сферы определяется выражением
.
Эти два радиуса связаны соотношением . Продолжая приведенный выше пример: и , что дает , , и .
Если это вершина типа , ребро, начинающееся в , и точка, где ребро касается средней сферы , обозначим расстояние через . Тогда ребра соединения вершин типа и типа имеют длину . Эти величины можно вычислить по формуле
,
и аналогично для . Продолжая приведенный выше пример: , , , , поэтому ребра ромбододекаэдра имеют длину .
Двугранные углы между -угольными и -угольными гранями удовлетворяют
.
Завершая пример с ромбдодекаэдром, двугранный угол кубооктаэдра равен .
Все формулы этого раздела применимы также к Платоновым телам , а также к бипирамидам и трапециям с равными двугранными углами, поскольку их можно вывести только из свойства постоянного двугранного угла. Для пятиугольного трапецоэдра , например, с гранями V3.3.5.3 получим , или . В этом нет ничего удивительного: можно срезать обе вершины так, чтобы получить правильный додекаэдр .
Смотрите также
Список однородных мозаик. Показывает двойные однородные многоугольные мозаики, похожие на каталонские тела.
Гайлюнас, П.; Шарп, Дж. (2005), «Двойственность многогранников», Международный журнал математического образования в области науки и технологий , 36 (6): 617–642, doi : 10.1080/00207390500064049, S2CID 120818796.
Алан Холден Формы, пространство и симметрия . Нью-Йорк: Дувр, 1991.
Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-Х.(Раздел 3-9)
Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Издательство Калифорнийского университета в Беркли. ISBN 0-520-03056-7.Глава 4: Двойники архимедовых многогранников, призмы и антипризмы
Внешние ссылки
Викискладе есть медиафайлы, связанные с каталонскими твердыми телами .