Категория функторов

В теории категорий , разделе математики , категория функторов — это категория, где объекты — это функторы , а морфизмы — это естественные преобразования между функторами (здесь — другой объект в категории). Категории функторов представляют интерес по двум основным причинам: ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle \eta :F\to G}$ ${\displaystyle G:C\to D}$

• многие часто встречающиеся категории являются (замаскированными) категориями функторов, поэтому любое утверждение, доказанное для общих категорий функторов, широко применимо;
• каждая категория вкладывается в категорию функторов (через вложение Йонеды ); категория функторов часто обладает более приятными свойствами, чем исходная категория, допуская определенные операции, которые были недоступны в исходной настройке.

Определение

Предположим, что — это небольшая категория (т. е. объекты и морфизмы образуют множество, а не собственный класс ) и — произвольная категория. Категория функторов из в , записанная как Fun( , ), Funct( , ), или , имеет в качестве объектов ковариантные функторы из в , а в качестве морфизмов — естественные преобразования между такими функторами. Обратите внимание, что естественные преобразования могут быть составлены: если — естественное преобразование из функтора в функтор , а — естественное преобразование из функтора в функтор , то композиция определяет естественное преобразование из в . С этой композицией естественных преобразований (известной как вертикальная композиция, см. естественное преобразование ), удовлетворяет аксиомам категории. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle [C,D]}$ ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mu (X):F(X)\to G(X)}$ ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle G:C\to D}$ ${\displaystyle \eta (X):G(X)\to H(X)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \eta (X)\mu (X):F(X)\to H(X)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle D^{C}}$

Совершенно аналогично можно рассмотреть категорию всех контравариантных функторов из в ; мы запишем это как Funct( ). ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C^{\text{op}},D}$

Если и являются предаддитивными категориями (т.е. их множества морфизмов являются абелевыми группами , а композиция морфизмов билинейна ), то мы можем рассмотреть категорию всех аддитивных функторов из в , обозначаемую Add( , ). ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$

Примеры

• Если — малая дискретная категория (т.е. ее единственными морфизмами являются тождественные морфизмы), то функтор из в по существу состоит из семейства объектов из , индексированных с помощью ; категорию функтора можно отождествить с соответствующей категорией произведения: ее элементы — это семейства объектов из , а ее морфизмы — это семейства морфизмов из . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C^{I}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

• Категория стрелок (объектами которой являются морфизмы , а морфизмами — коммутирующие квадраты в ) — это просто , где 2 — это категория с двумя объектами и их тождественными морфизмами, а также стрелкой от одного объекта к другому (но не другой стрелкой в ​​обратном направлении). ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }}$
• Направленный граф состоит из набора стрелок и набора вершин, а также двух функций из набора стрелок в набор вершин, определяющих начальную и конечную вершины каждой стрелки. Таким образом, категория всех направленных графов — это не что иное, как категория функтора , где — категория с двумя объектами, соединенными двумя параллельными морфизмами (источником и целью), а Set обозначает категорию множеств . ${\displaystyle {\textbf {Set}}^{C}}$ ${\displaystyle C}$
• Любая группа может рассматриваться как категория одного объекта, в которой каждый морфизм обратим. Категория всех -множеств совпадает с категорией функтора Set . Естественные преобразования — это -карты . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ^{${\displaystyle G}$} ${\displaystyle G}$
• Как и в предыдущем примере, категория K -линейных представлений группы совпадает с категорией функторов Vect _K (где Vect _K обозначает категорию всех векторных пространств над полем K ). ${\displaystyle G}$ ^{${\displaystyle G}$}
• Любое кольцо можно рассматривать как однообъектную предаддитивную категорию; категория левых модулей над совпадает с категорией аддитивного функтора Add( , ) (где обозначает категорию абелевых групп ), а категория правых -модулей — Add ( , ). Из-за этого примера для любой предаддитивной категории категория Add( , ) иногда называется «категорией левых модулей над », а Add( , ) — «категорией правых модулей над ». ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{\text{op}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\text{op}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle C}$
• Категория предпучков на топологическом пространстве является функторной категорией: мы превращаем топологическое пространство в категорию, имеющую открытые множества в в качестве объектов и единственный морфизм из в тогда и только тогда, когда содержится в . Категория предпучков множеств (абелевых групп, колец) на тогда совпадает с категорией контравариантных функторов из в (или или ). Из-за этого примера категорию Funct( , ) иногда называют « категорией предпучков множеств на » даже для общих категорий, не возникающих из топологического пространства. Чтобы определить пучки на общей категории , нужно больше структуры: топология Гротендика на . (Некоторые авторы называют категории, которые эквивалентны , предпучковыми категориями . ^[1 ] ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Ring}}}$ ${\displaystyle C^{\text{op}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\textbf {Set}}^{C}}$

Факты

Большинство построений, которые можно выполнить в , можно также выполнить в , выполняя их «покомпонентно», отдельно для каждого объекта в . Например, если любые два объекта и в имеют произведение , то любые два функтора и в имеют произведение , определенное с помощью для каждого объекта в . Аналогично, если — естественное преобразование и каждое имеет ядро ​​в категории , то ядром в категории функторов является функтор с для каждого объекта в . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle F\times G}$ ${\displaystyle (F\times G)(c)=F(c)\times G(c)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta _{c}:F(c)\to G(c)}$ ${\displaystyle \eta _{c}}$ ${\displaystyle K_{c}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(c)=K_{c}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle C}$

В результате мы получаем общее эмпирическое правило , что категория функторов разделяет большинство «приятных» свойств : ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle D}$

• если является полным (или сополным), то также является ; ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D^{C}}$
• если — абелева категория , то таковой является и ; ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D^{C}}$

У нас также есть:

• если — любая малая категория, то категория предпучков является топосом . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\textbf {Set}}^{C}}$

Итак, из приведенных выше примеров можно сразу заключить, что категории ориентированных графов, -множеств и предпучков на топологическом пространстве являются полными и кополными топосами, а категории представлений , модулей над кольцом и предпучков абелевых групп на топологическом пространстве являются абелевыми, полными и кополными. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$

Вложение категории в категорию функторов, упомянутое ранее, использует лемму Йонеды в качестве своего основного инструмента. Для каждого объекта из пусть будет контравариантным представимым функтором из в . Лемма Йонеды утверждает, что присваивание ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}(-,X)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$

${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Hom} (-,X)}$

является полным вложением категории в категорию Funct( , ). Поэтому естественным образом находится внутри топоса. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\text{op}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle C}$

То же самое можно сделать для любой предаддитивной категории : тогда Йонеда даёт полное вложение в категорию функторов Add( , ). Поэтому естественным образом находится внутри абелевой категории. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\text{op}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ ${\displaystyle C}$

Упомянутая выше интуиция (что конструкции, которые могут быть выполнены в , могут быть «подняты» до ) может быть уточнена несколькими способами; наиболее лаконичная формулировка использует язык сопряженных функторов . Каждый функтор индуцирует функтор (композицией с ). Если и является парой сопряженных функторов, то и также является парой сопряженных функторов. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle F:D\to E}$ ${\displaystyle F^{C}:D^{C}\to E^{C}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F^{C}}$ ${\displaystyle G^{C}}$

Категория функторов обладает всеми формальными свойствами экспоненциального объекта ; в частности, функторы из находятся в естественном взаимно-однозначном соответствии с функторами из в . Категория всех малых категорий с функторами в качестве морфизмов является, таким образом, декартово замкнутой категорией . ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle E\times C\to D}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle D^{C}}$ ${\displaystyle {\textbf {Cat}}}$

Смотрите также

• Математический портал

• Диаграмма (теория категорий)

Ссылки

1. Том Лейнстер (2004). Высшие операды, высшие категории. Cambridge University Press. Bibcode : 2004hohc.book.....L. Архивировано из оригинала 25.10.2003.