Круговой сектор

Часть диска, ограниченная двумя радиусами и дугой

Малый сектор закрашен зеленым цветом, а большой сектор — белым.

Круговой сектор , также известный как сектор круга или сектор диска или просто сектор (символ: ⌔ ), представляет собой часть диска ( замкнутую область, ограниченную кругом), заключенную между двумя радиусами и дугой , при этом меньшая область называется малым сектором , а большая — большим сектором . ^[1] На диаграмме θ — центральный угол , радиус круга, а — длина дуги малого сектора. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle L}$

Угол, образованный соединением конечных точек дуги с любой точкой окружности, не принадлежащей сектору, равен половине центрального угла. ^[2]

Типы

Сектор с центральным углом 180° называется полукругом и ограничен диаметром и полукругом . Секторам с другими центральными углами иногда дают специальные названия, такие как квадранты (90°), секстанты (60°) и октанты (45°), которые происходят от того, что сектор составляет одну 4-ю, 6-ю или 8-ю часть полного круга соответственно. Дуга квадранта ( дуга окружности ) также может быть названа квадрантом.

Компас

8-конечная роза ветров

Традиционно направления ветра на компасной розе указываются в виде одного из 8 октантов (С, СВ, В, ЮВ, Ю, ЮЗ, З, СЗ), поскольку это точнее, чем просто указывать один из 4 квадрантов, а флюгер обычно не обладает достаточной точностью для более точной индикации.

Название инструмента « октант » происходит от того, что он основан на 1/8 круга. Чаще всего октанты можно увидеть на компасной розе .

Область

Общая площадь круга равна πr ² . Площадь сектора можно получить, умножив площадь круга на отношение угла θ (выраженного в радианах) и 2 π (поскольку площадь сектора прямо пропорциональна его углу, а 2 π — это угол для всего круга в радианах): $${\displaystyle A=\pi r^{2}\,{\frac {\theta }{2\pi }}={\frac {r^{2}\theta }{2}}}$$

Площадь сектора в терминах L можно получить, умножив общую площадь π r ² на отношение L к общему периметру 2 π r . $${\displaystyle A=\pi r^{2}\,{\frac {L}{2\pi r}}={\frac {rL}{2}}}$$

Другой подход заключается в рассмотрении этой области как результата следующего интеграла: $${\displaystyle A=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{r}dS=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{r}{\tilde {r}}\,d{\tilde {r}}\,d{\tilde {\theta }}=\int _{0}^{\theta }{\frac {1}{2}}r^{2}\,d{\tilde {\theta }}={\frac {r^{2}\theta }{2}}}$$

Преобразование центрального угла в градусы дает ^[3] $${\displaystyle A=\pi r^{2}{\frac {\theta ^{\circ }}{360^{\circ }}}}$$

Периметр

Длина периметра сектора равна сумме длины дуги и двух радиусов: где θ измеряется в радианах. $${\displaystyle P=L+2r=\theta r+2r=r(\theta +2)}$$

Длина дуги

Формула для длины дуги: ^[4] где L представляет собой длину дуги, r представляет собой радиус окружности, а θ представляет собой угол в радианах, образованный дугой в центре окружности. ^[5] $${\displaystyle L=r\theta }$$

Если значение угла дано в градусах, то мы также можем использовать следующую формулу: ^[3] $${\displaystyle L=2\pi r{\frac {\theta }{360}}}$$

Длина хорды

Длина хорды, образованной крайними точками дуги, определяется по формуле, где C представляет собой длину хорды, R представляет собой радиус окружности, а θ представляет собой угловую ширину сектора в радианах. $${\displaystyle C=2R\sin {\frac {\theta }{2}}}$$

Смотрите также

• Круговой сегмент – часть сектора, которая остается после удаления треугольника, образованного центром круга и двумя концами дуги окружности на границе.
• Коническое сечение
• квадрант Земли
• Гиперболический сектор
• Сектор (математики)
• Сферический сектор – аналогичная трехмерная фигура

Ссылки

1. Деван, Раджеш К. (2016). Сарасвати Математика. Нью-Дели: New Saraswati House India Pvt Ltd. стр. 234. ISBN 978-8173358371.
2. Ахац, Томас; Андерсон, Джон Г. (2005). Техническая цеховая математика. Кэтлин Маккензи (3-е изд.). Нью-Йорк: Industrial Press. стр. 376. ISBN 978-0831130862. OCLC  56559272.
3. Uppal, Shveta (2019). Математика: Учебник для класса X. Нью -Дели : Национальный совет по исследованиям и подготовке в области образования . С. 226, 227. ISBN 978-81-7450-634-4. OCLC  1145113954.
4. Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2002). Исчисление I с предисчислением (3-е изд.). Бостон, Массачусетс: Brooks/Cole . стр. 570. ISBN 978-0-8400-6833-0. OCLC  706621772.
5. Уикс, Алан (2004). Стандартный уровень математики для международного бакалавриата: текст для новой программы. West Conshohocken, PA : Infinity Publishing.com. стр. 79. ISBN 0-7414-2141-0. OCLC  58869667.

Источники

• Джерард, Л. Дж. В., Элементы геометрии в восьми книгах; или Первый шаг в прикладной логике (Лондон, Longmans, Green, Reader and Dyer , 1874), стр. 285.
• Лежандр, А. М. , Элементы геометрии и тригонометрии , Чарльз Дэвис , ред. (Нью-Йорк: AS Barnes & Co. , 1858), стр. 119.