Квадратичная функция

Полиномиальная функция второй степени

В математике квадратичный многочлен — это многочлен второй степени от одной или нескольких переменных. Квадратичная функция — это полиномиальная функция , определяемая квадратичным многочленом. До 20-го века различие между полиномом и связанной с ним полиномиальной функцией было неясным; поэтому «квадратичный полином» и «квадратичная функция» были почти синонимами. Это до сих пор имеет место во многих начальных курсах, где оба термина часто сокращаются как «квадратичные».

Квадратичный многочлен с двумя действительными корнями (пересечения оси x ) и, следовательно, без комплексных корней. Некоторые другие квадратичные многочлены имеют минимум выше оси x , и в этом случае нет действительных корней и есть два комплексных корня.

Например, квадратичная функция с одной переменной (одной переменной) имеет вид ^[1]

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0,}$

где x — его переменная. График одномерной квадратичной функции представляет собой параболу , кривую , ось симметрии которой параллельна оси y .

Если квадратичную функцию приравнять нулю, то в результате получится квадратное уравнение . Решениями квадратного уравнения являются нули соответствующей квадратичной функции.

Двумерный случай в терминах переменных x и y имеет вид

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f,}$

хотя бы один из a, b, c не равен нулю. Нулями этой квадратичной функции является, вообще говоря (то есть, если определенное выражение коэффициентов не равно нулю), коническое сечение ( окружность или другой эллипс , парабола или гипербола ).

Квадратичная функция от трех переменных x , y и z содержит исключительно члены x ² , y ² , z ² , xy , xz , yz , x , y , z и константу:

${\displaystyle f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,}$

где хотя бы один из коэффициентов a, b, c, d, e, f членов второй степени не равен нулю.

Квадратичная функция может иметь сколь угодно большое количество переменных. Множество ее нулей образуют квадрику , которая является поверхностью в случае трех переменных и гиперповерхностью в общем случае.

Этимология

Прилагательное «квадратичный» происходит от латинского слова « квадратум » (« квадрат »). Член, возведенный во вторую степень, например x2 ^, в алгебре называется квадратом , потому что он представляет собой площадь квадрата со стороной x .

Терминология

Коэффициенты

Коэффициентами квадратичной функции часто считаются действительные или комплексные числа , но их можно брать в любом кольце , и в этом случае областью определения и кодоменом является это кольцо (см. полиномиальную оценку ).

Степень

Используя термин «квадратичный многочлен», авторы иногда имеют в виду «имеющий степень ровно 2», а иногда «имеющий степень не более 2». Если степень меньше 2, это можно назвать « вырожденным случаем ». Обычно контекст определяет, какое из двух слов имеется в виду.

Иногда слово «порядок» используется в значении «степень», например, полином второго порядка. Однако там, где «степень многочлена» относится к наибольшей степени ненулевого члена многочлена, более типично «порядок» относится к наименьшей степени ненулевого члена степенного ряда .

Переменные

Квадратичный полином может включать одну переменную x (одномерный случай) или несколько переменных, таких как x , y и z (многомерный случай).

Случай с одной переменной

Любой квадратичный полином с одной переменной можно записать как

${\displaystyle ax^{2}+bx+c,}$

где x — переменная, а a , b и c представляют коэффициенты . Такие многочлены часто возникают в квадратном уравнении. Решения этого уравнения называются корнями и могут быть выражены через коэффициенты в виде квадратной формулы . Каждому квадратичному многочлену соответствует квадратичная функция, график которой представляет собой параболу . ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

Двумерные и многомерные случаи

Любой квадратичный многочлен с двумя переменными можно записать как

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,}$

где x и y — переменные, а a , b , c , d , e , f — коэффициенты, а один из a , b и c не равен нулю. Такие полиномы имеют фундаментальное значение для изучения конических сечений , поскольку неявное уравнение конического сечения получается путем приравнивания нулю квадратичного многочлена, а нули квадратичной функции образуют (возможно, вырожденное) коническое сечение.

Точно так же квадратичные многочлены с тремя или более переменными соответствуют квадратичным поверхностям или гиперповерхностям .

Квадратичные многочлены, имеющие только члены второй степени, называются квадратичными формами .

Формы одномерной квадратичной функции

Одномерную квадратичную функцию можно выразить в трех форматах: ^[2]

• ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ называется стандартной формой ,
• ${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})}$называется факторизованной формой , где r ₁ и r ₂ — корни квадратичной функции и решения соответствующего квадратного уравнения.
• ${\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}$называется формой вершины , где h и k — координаты x и y вершины соответственно.

Коэффициент a имеет одно и то же значение во всех трех формах. Чтобы преобразовать стандартную форму в факторизованную форму , достаточно квадратной формулы для определения двух корней r ₁ и r ₂ . Чтобы преобразовать стандартную форму в форму вершины , необходим процесс, называемый завершением квадрата . Чтобы преобразовать факторизованную форму (или форму вершины) в стандартную форму, необходимо умножить, разложить и/или распределить факторы.

График одномерной функции

${\displaystyle f(x)=ax^{2}|_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}}$

${\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{1,2,3,4\}}}$

${\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{-1,-2,-3,-4\}}}$

Независимо от формата график одномерной квадратичной функции представляет собой параболу (как показано справа). Эквивалентно, это график двумерного квадратного уравнения . ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$

• Если a > 0 , парабола открывается вверх.
• Если a < 0 , парабола открывается вниз.

Коэффициент а контролирует степень кривизны графика; большая величина a придает графику более замкнутый (резко изогнутый) вид.

Коэффициенты b и a вместе управляют расположением оси симметрии параболы (также координатой x вершины и параметром h в форме вершины), которая находится в точке

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}.}$

Коэффициент c управляет высотой параболы; более конкретно, это высота параболы, где она пересекает ось Y.

Вертекс

Вершина параболы — это место ее поворота ; следовательно, его также называют поворотным моментом . Если квадратичная функция имеет форму вершины, вершина равна ( h , k ) . Методом завершения квадрата можно превратить стандартную форму

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$

в

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-h)^{2}+k\\&=a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),\\\end{aligned}}}$

поэтому вершина ( h , k ) параболы в стандартной форме равна

${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}$^{[ нужна цитата ]}

Если квадратичная функция имеет факторизованную форму

${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})}$

среднее значение двух корней, т.е.

${\displaystyle {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}}$

- координата x вершины, и, следовательно, вершина ( h , k ) равна

${\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\right)\right).}$

Вершина также является точкой максимума, если a < 0 , или точкой минимума, если a > 0 .

Вертикальная линия

${\displaystyle x=h=-{\frac {b}{2a}}}$

проходящая через вершину также является осью симметрии параболы.

Максимум и минимум баллов

Используя исчисление , вершинную точку, являющуюся максимумом или минимумом функции, можно получить, найдя корни производной :

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b}$

x является корнем f '( x ), если f '( x ) = 0 , что приводит к

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$

с соответствующим значением функции

${\displaystyle f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}},}$

и снова координаты точки вершины ( h , k ) могут быть выражены как

${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}$

Корни одномерной функции

График y = ax ² + bx + c , где a и дискриминант b ² − 4 ac положительны, причем

• Корни и y -перехват выделены красным
• Вершина и ось симметрии выделены синим цветом.
• Фокус и директриса розового цвета.

Визуализация комплексных корней y = ax ² + bx + c : парабола повернута на 180° вокруг своей вершины ( оранжевый цвет ). Его точки пересечения с x повернуты на 90° вокруг своей средней точки, а декартова плоскость интерпретируется как комплексная плоскость ( зеленая ). ^[3]

Точные корни

Корни (или нули ) r 1 и r _{2 одномерной} квадратичной функции

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\\\end{aligned}}}$

— значения x , для которых f ( x ) = 0 .

Когда коэффициенты a , b и c действительные или комплексные , корни равны

${\displaystyle r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

${\displaystyle r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Верхняя граница величины корней

Модуль корней квадратного не может быть больше, чем где золотое сечение [ ^{4] [ важность? ]} ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle {\frac {\max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}\times \phi ,}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

Квадратный корень из одномерной квадратичной функции

Квадратный корень одномерной квадратичной функции порождает одно из четырех конических сечений, почти всегда либо эллипс , либо гиперболу .

Если тогда уравнение описывает гиперболу, в чем можно убедиться, возведя в квадрат обе части. Направления осей гиперболы определяются ординатой минимальной точки соответствующей параболы. Если ордината отрицательна, то большая ось гиперболы (через ее вершины) горизонтальна, а если ордината положительна, то большая ось гиперболы ось вертикальная. ${\displaystyle a>0,}$ ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ ${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c.}$

Если тогда уравнение описывает либо круг, либо другой эллипс, либо вообще ничего. Если ордината максимальной точки соответствующей параболы положительна, то ее квадратный корень описывает эллипс, а если ордината отрицательна, то он описывает пустое множество точек. ${\displaystyle a<0,}$ ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ ${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c}$

Итерация

Чтобы выполнить итерацию функции , необходимо многократно применять функцию, используя выходные данные одной итерации в качестве входных данных для следующей. ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$

Не всегда можно вывести аналитическую форму , что означает n- ^ю итерацию . (Верхний индекс можно расширить до отрицательных чисел, имея в виду повторение обратного, если обратное существует.) Но есть некоторые аналитически решаемые случаи. ${\displaystyle f^{(n)}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Например, для итерационного уравнения

${\displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c}$

надо

${\displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),}$

где

${\displaystyle g(x)=ax^{2}}$и ${\displaystyle h(x)=x-c.}$

Итак, по индукции

${\displaystyle f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))}$

можно получить, где можно легко вычислить как ${\displaystyle g^{(n)}(x)}$

${\displaystyle g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.}$

Наконец, у нас есть

${\displaystyle f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c}$

как решение.

См. «Топологическое сопряжение» для получения более подробной информации о взаимосвязи между f и g . См. также Комплексный квадратичный полином для хаотического поведения на общей итерации.

Логистическая карта

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}<1}$

с параметром 2< r <4 можно решить в некоторых случаях, один из которых хаотичен , а другой нет. В хаотическом случае r = 4 решение имеет вид

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )}$

где параметр начального состояния определяется как . Для рационального после конечного числа итераций отображается в периодическую последовательность. Но почти все они иррациональны, а иррациональное никогда не повторяется – оно непериодично и демонстрирует чувствительную зависимость от начальных условий , поэтому его называют хаотичным. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x_{n}}$

Решение логистической карты при r =2 равно

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}}$

для . Поскольку для любого значения, отличного от нестабильной фиксированной точки 0, этот член стремится к 0, когда n стремится к бесконечности, поэтому он переходит к стабильной фиксированной точке. ${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$ ${\displaystyle (1-2x_{0})\in (-1,1)}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle (1-2x_{0})^{2^{n}}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.}$

Двумерная (две переменные) квадратичная функция

Двумерная квадратичная функция — это полином второй степени вида

${\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F,}$

где A, B, C, D и E — фиксированные коэффициенты , а F — постоянный член. Такая функция описывает квадратичную поверхность . Установка, равная нулю, описывает пересечение поверхности с плоскостью , которая является геометрическим местом точек, эквивалентных коническому сечению . ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle z=0,}$

Минимум/максимум

Если функция не имеет максимума или минимума; его график образует гиперболический параболоид . ${\displaystyle 4AB-E^{2}<0,}$

Если функция имеет минимум, если A > 0 и B > 0 , и максимум, если A < 0 и B < 0 ; его график образует эллиптический параболоид. В этом случае минимум или максимум возникает там, где: ${\displaystyle 4AB-E^{2}>0,}$ ${\displaystyle (x_{m},y_{m}),}$

${\displaystyle x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}},}$

${\displaystyle y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}.}$

If и функция не имеет ни максимума, ни минимума; его график образует параболический цилиндр . ${\displaystyle 4AB-E^{2}=0}$ ${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE\neq 0,}$

If и функция достигает максимума/минимума на линии — минимума, если A >0, и максимума, если A <0; его график образует параболический цилиндр. ${\displaystyle 4AB-E^{2}=0}$ ${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE=0,}$

Смотрите также

• Квадратичная форма
• Квадратное уравнение
• Матричное представление конических сечений
• Квадрик
• Периодические точки комплексных квадратичных отображений
• Список математических функций

Рекомендации

1. «Квадратное уравнение из Wolfram MathWorld» . Проверено 6 января 2013 г.
2. Хьюз-Халлетт, Дебора ; Конналли, Эрик; МакКаллум, Уильям Г. (2007), Колледжская алгебра , John Wiley & Sons Inc., стр. 205, ISBN 9780471271758
3. «Сложные корни стали видимыми - забавные факты о математике» . Проверено 1 октября 2016 г.
4. Лорд, Ник, «Золотые границы корней квадратных уравнений», Mathematical Gazette 91, ноябрь 2007 г., 549.

• Алгебра 1, Гленко, ISBN 0-07-825083-8 
• Алгебра 2, саксонский язык, ISBN 0-939798-62-X 

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Квадратичный». Математический мир .