В разделе математики , называемом теорией потенциала , квадратурная область в двумерном вещественном евклидовом пространстве — это область D ( открытое связное множество ) вместе с конечным подмножеством { z 1 , …, z k } области D, таким образом, что для каждой функции u, гармонической и интегрируемой на D относительно меры площади, интеграл от u относительно этой меры задается «квадратурной формулой», то есть:
где c j — ненулевые комплексные константы, не зависящие от u .
Наиболее очевидным примером является случай, когда D представляет собой круглый диск: здесь k = 1, z 1 — центр круга, а c 1 равно площади D. Эта квадратурная формула выражает свойство среднего значения гармонических функций относительно дисков.
Известно, что квадратурные области существуют для всех значений k . Аналогичное определение квадратурных областей существует в евклидовом пространстве размерности d больше 2. Существует также альтернативная, электростатическая интерпретация квадратурных областей: область D является квадратурной, если равномерное распределение электрического заряда на D создает такое же электростатическое поле вне D, как и набор k точечных зарядов в точках z 1 , …, z k .
Квадратурные области и их многочисленные обобщения (например, замена меры площади на меру длины на границе D) в последние годы встречались в различных связях, таких как обратные задачи ньютоновской гравитации , течения Хеле-Шоу вязких жидкостей и чисто математические изопериметрические задачи, и интерес к ним, кажется, неуклонно растет. Они были предметом международной конференции в Калифорнийском университете в Санта-Барбаре в 2003 году, и состояние дел на тот момент можно увидеть в трудах этой конференции, опубликованных Birkhäuser Verlag.
