Гармоническая функция

Функции в математике

Гармоническая функция, определенная на кольце .

В математике , математической физике и теории случайных процессов гармоническая функция — это дважды непрерывно дифференцируемая функция , где U — открытое подмножество ⁠ ⁠ , удовлетворяющее уравнению Лапласа , то есть всюду на U. Обычно это записывается как или ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$$ $${\displaystyle \Delta f=0}$$

Этимология термина «гармонический»

Дескриптор «гармонический» в названии гармонической функции происходит от точки на натянутой струне, которая совершает гармоническое движение . Решение дифференциального уравнения для этого типа движения можно записать в терминах синусов и косинусов, функций, которые, таким образом, называются гармониками . Анализ Фурье включает в себя разложение функций на единичной окружности в терминах ряда этих гармоник. Рассматривая более многомерные аналоги гармоник на единичной n -сфере , приходим к сферическим гармоникам . Эти функции удовлетворяют уравнению Лапласа, и со временем «гармонический» стал использоваться для обозначения всех функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа. ^[1]

Примеры

Примерами гармонических функций двух переменных являются:

• Действительная или мнимая часть любой голоморфной функции .
• Функция this является частным случаем примера выше, так как и является голоморфной функцией . Вторая производная по x равна , а вторая производная по y равна ${\displaystyle \,\!f(x,y)=e^{x}\sin y;}$ ${\displaystyle f(x,y)=\operatorname {Im} \left(e^{x+iy}\right),}$ ${\displaystyle e^{x+iy}}$ ${\displaystyle \,\!e^{x}\sin y,}$ ${\displaystyle \,\!-e^{x}\sin y.}$
• Функция , определенная на Она может описывать электрический потенциал, обусловленный линейным зарядом, или гравитационный потенциал, обусловленный длинной цилиндрической массой. ${\displaystyle \,\!f(x,y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \lbrace 0\rbrace .}$

Примеры гармонических функций трех переменных приведены в таблице ниже. ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}:}$

Гармонические функции, возникающие в физике, определяются их сингулярностями и граничными условиями (такими как граничные условия Дирихле или граничные условия Неймана ). В областях без границ добавление действительной или мнимой части любой целой функции даст гармоническую функцию с той же сингулярностью, поэтому в этом случае гармоническая функция не определяется своими сингулярностями; однако мы можем сделать решение уникальным в физических ситуациях, потребовав, чтобы решение стремилось к 0, когда r стремится к бесконечности. В этом случае уникальность следует из теоремы Лиувилля .

Сингулярные точки гармонических функций выше выражаются как « заряды » и « плотности зарядов », используя терминологию электростатики , и поэтому соответствующая гармоническая функция будет пропорциональна электростатическому потенциалу из-за этих распределений зарядов. Каждая функция выше даст другую гармоническую функцию при умножении на константу, повороте и/или добавлении константы. Инверсия каждой функции даст другую гармоническую функцию, которая имеет сингулярности, являющиеся изображениями исходных сингулярностей в сферическом «зеркале». Кроме того, сумма любых двух гармонических функций даст другую гармоническую функцию.

Наконец, примерами гармонических функций n переменных являются:

• Постоянные, линейные и аффинные функции на всех ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (например, электрический потенциал между пластинами конденсатора и гравитационный потенциал пластины)
• Функция on для n > 2 . ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}\right)^{1-n/2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \lbrace 0\rbrace }$

Характеристики

Множество гармонических функций на заданном открытом множестве U можно рассматривать как ядро ​​оператора Лапласа Δ и, следовательно, является векторным пространством над ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} \!:}$ линейными комбинациями гармонических функций, которые снова являются гармоническими.

Если f — гармоническая функция на U , то все частные производные f также являются гармоническими функциями на U. Оператор Лапласа Δ и оператор частной производной будут коммутировать на этом классе функций.

В нескольких отношениях гармонические функции являются действительными аналогами голоморфных функций . Все гармонические функции являются аналитическими , то есть их можно локально выразить в виде степенных рядов . Это общий факт об эллиптических операторах , из которых Лапласиан является основным примером.

Равномерный предел сходящейся последовательности гармонических функций все еще является гармоническим. Это верно, поскольку каждая непрерывная функция, удовлетворяющая свойству среднего значения, является гармонической. Рассмотрим последовательность на ⁠ ⁠, ${\displaystyle (-\infty ,0)\times \mathbb {R} }$ определенную этой последовательностью, которая является гармоничной и равномерно сходится к нулевой функции; однако обратите внимание, что частные производные не являются равномерно сходящимися к нулевой функции (производной нулевой функции). Этот пример показывает важность опоры на свойство среднего значения и непрерывность, чтобы утверждать, что предел является гармоническим. ${\textstyle f_{n}(x,y)={\frac {1}{n}}\exp(nx)\cos(ny);}$

Связи с теорией комплексных функций

Действительная и мнимая часть любой голоморфной функции дают гармонические функции на ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (они называются парой гармонически сопряженных функций). Наоборот, любая гармоническая функция u на открытом подмножестве Ω из ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$локально является действительной частью голоморфной функции. Это сразу видно, наблюдая, что запись комплексной функции голоморфна в Ω , поскольку она удовлетворяет уравнениям Коши–Римана . Следовательно, g локально имеет примитивную f , а u является действительной частью f с точностью до константы, так как u _x является действительной частью ${\displaystyle z=x+iy,}$ ${\displaystyle g(z):=u_{x}-iu_{y}}$ ${\displaystyle f'=g.}$

Хотя указанное выше соответствие с голоморфными функциями справедливо только для функций двух действительных переменных, гармонические функции от n переменных все же обладают рядом свойств, типичных для голоморфных функций. Они являются (действительными) аналитическими; у них есть принцип максимума и принцип среднего значения; для них справедлива теорема об устранении особенностей, а также теорема Лиувилля по аналогии с соответствующими теоремами в теории комплексных функций.

Свойства гармонических функций

Некоторые важные свойства гармонических функций можно вывести из уравнения Лапласа.

Теорема регулярности для гармонических функций

Гармонические функции бесконечно дифференцируемы в открытых множествах. Фактически, гармонические функции являются действительными аналитическими .

принцип максимума

Гармонические функции удовлетворяют следующему принципу максимума : если K — непустое компактное подмножество U , то f, ограниченная K, достигает своего максимума и минимума на границе K. Если U связно , это означает , что f не может иметь локальных максимумов или минимумов, за исключением исключительного случая , когда f — константа . Аналогичные свойства можно показать для субгармонических функций .

Свойство среднего значения

Если B ( x , r ) — шар с центром x и радиусом r , который полностью содержится в открытом множестве , то значение u ( x ) гармонической функции в центре шара задается средним значением u на поверхности шара; это среднее значение также равно среднему значению u внутри шара. Другими словами, где ω _n — объем единичного шара в n измерениях, а σ — ( n − 1) -мерная поверхностная мера. ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle u(x)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}u\,d\sigma ={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dV}$$

Наоборот, все локально интегрируемые функции, удовлетворяющие свойству (объемного) среднего значения, являются как бесконечно дифференцируемыми, так и гармоническими.

В терминах сверток , если обозначает характеристическую функцию шара с радиусом r вокруг начала координат, нормированную так, что функция u является гармонической на Ω тогда и только тогда, когда $${\displaystyle \chi _{r}:={\frac {1}{|B(0,r)|}}\chi _{B(0,r)}={\frac {n}{\omega _{n}r^{n}}}\chi _{B(0,r)}}$$ ${\textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{r}\,dx=1,}$ $${\displaystyle u(x)=u*\chi _{r}(x)\;}$$ ${\displaystyle B(x,r)\subset \Omega .}$

Набросок доказательства. Доказательство свойства среднего значения гармонических функций и его обратного следует немедленно, замечая, что неоднородное уравнение для любого 0 < s < r допускает простое явное решение w _r,s класса C ^1,1 с компактным носителем в B (0, r ) . Таким образом, если u гармонично в Ω, выполняется в множестве Ω _r всех точек x в Ω с $${\displaystyle \Delta w=\chi _{r}-\chi _{s}\;}$$ $${\displaystyle 0=\Delta u*w_{r,s}=u*\Delta w_{r,s}=u*\chi _{r}-u*\chi _{s}\;}$$ ${\displaystyle \operatorname {dist} (x,\partial \Omega )>r.}$

Так как u непрерывна в Ω , сходится к u при s → 0 , показывая свойство среднего значения для u в Ω . Обратно, если u - любая функция, удовлетворяющая свойству среднего значения в Ω , то есть выполняется в Ω _r для всех 0 < s < r , то, итерируя m раз свертку с χ _{r ,} имеем: так что u есть , потому что m -кратная итерированная свертка χ _r имеет класс с носителем B (0, mr ) . Так как r и m произвольны, то u тоже есть . Более того, для всех 0 < s < r так что Δ u = 0 в Ω по фундаментальной теореме вариационного исчисления, доказывая эквивалентность между гармоничностью и свойством среднего значения. ${\displaystyle u*\chi _{s}}$ ${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{1}\;}$ $${\displaystyle u*\chi _{r}=u*\chi _{s}\;}$$ $${\displaystyle u=u*\chi _{r}=u*\chi _{r}*\cdots *\chi _{r}\,,\qquad x\in \Omega _{mr},}$$ ${\displaystyle C^{m-1}(\Omega _{mr})\;}$ ${\displaystyle C^{m-1}\;}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )\;}$ $${\displaystyle \Delta u*w_{r,s}=u*\Delta w_{r,s}=u*\chi _{r}-u*\chi _{s}=0\;}$$

Это утверждение свойства среднего значения можно обобщить следующим образом: если h — любая сферически симметричная функция, поддерживаемая в B ( x , r ) такая, что то Другими словами, мы можем взять средневзвешенное значение u относительно точки и восстановить u ( x ) . В частности, принимая h за функцию C ^∞ , мы можем восстановить значение u в любой точке, даже если мы знаем только, как u действует как распределение . См. лемму Вейля . ${\textstyle \int h=1,}$ ${\displaystyle u(x)=h*u(x).}$

неравенство Гарнака

Пусть — связное множество в ограниченной области Ω . Тогда для любой неотрицательной гармонической функции u неравенство Гарнака выполняется для некоторой константы C , зависящей только от V и Ω . $${\displaystyle V\subset {\overline {V}}\subset \Omega }$$ $${\displaystyle \sup _{V}u\leq C\inf _{V}u}$$

Удаление особенностей

Для гармонических функций справедлив следующий принцип устранения особенностей. Если f — гармоническая функция, определенная на точечном открытом подмножестве ⁠ ⁠ , которая менее сингулярна в точке x _{0 ,} чем фундаментальное решение (при n > 2 ), то f продолжается до гармонической функции на Ω (сравните теорему Римана для функций комплексного переменного). ${\displaystyle \Omega \smallsetminus \{x_{0}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle f(x)=o\left(\vert x-x_{0}\vert ^{2-n}\right),\qquad {\text{as }}x\to x_{0},}$$

Теорема Лиувилля

Теорема : Если f — гармоническая функция, определенная на всем ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ограниченная сверху или снизу, то f является константой.

(Сравните теорему Лиувилля для функций комплексной переменной ).

Эдвард Нельсон дал особенно краткое доказательство этой теоремы для случая ограниченных функций ^[2] , используя упомянутое выше свойство среднего значения:

Дано две точки, выберите два шара с данными точками в качестве центров и одинакового радиуса. Если радиус достаточно большой, два шара совпадут, за исключением произвольно малой доли их объема. Поскольку f ограничена, ее средние значения по двум шарам произвольно близки, и поэтому f принимает одно и то же значение в любых двух точках.

Доказательство можно адаптировать к случаю, когда гармоническая функция f ограничена только сверху или снизу. Добавляя константу и, возможно, умножая на –1, мы можем предположить, что f неотрицательна. Тогда для любых двух точек x и y и любого положительного числа R мы даем Затем мы рассмотрим шары B _R ( x ) и B _r ( y ), где по неравенству треугольника первый шар содержится во втором. ${\displaystyle r=R+d(x,y).}$

По свойству усреднения и монотонности интеграла имеем (обратите внимание, что поскольку vol B _R ( x ) не зависит от x , мы обозначаем его просто как vol B _R .) В последнем выражении мы можем умножить и разделить на vol B _r и снова использовать свойство усреднения, чтобы получить Но поскольку величина стремится к 1. Таким образом, Тот же аргумент с обратными ролями x и y показывает, что , так что $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\operatorname {vol} (B_{R})}}\int _{B_{R}(x)}f(z)\,dz\leq {\frac {1}{\operatorname {vol} (B_{R})}}\int _{B_{r}(y)}f(z)\,dz.}$$ $${\displaystyle f(x)\leq {\frac {\operatorname {vol} (B_{r})}{\operatorname {vol} (B_{R})}}f(y).}$$ ${\displaystyle R\rightarrow \infty ,}$ $${\displaystyle {\frac {\operatorname {vol} (B_{r})}{\operatorname {vol} (B_{R})}}={\frac {\left(R+d(x,y)\right)^{n}}{R^{n}}}}$$ ${\displaystyle f(x)\leq f(y).}$ ${\displaystyle f(y)\leq f(x)}$ ${\displaystyle f(x)=f(y).}$

Другое доказательство использует тот факт, что задано броуновское движение B _t в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ такое, что для всех t ≥ 0 . На словах это означает, что гармоническая функция определяет мартингал для броуновского движения. Затем вероятностный аргумент о связи завершает доказательство. ^[3] ${\displaystyle B_{0}=x_{0},}$ ${\displaystyle E[f(B_{t})]=f(x_{0})}$

Обобщения

Слабо гармоническая функция

Функция (или, в более общем смысле, распределение ) является слабогармонической , если она удовлетворяет уравнению Лапласа в слабом смысле (или, что эквивалентно, в смысле распределений). Слабогармоническая функция почти всюду совпадает с сильногармонической функцией и, в частности, является гладкой. Слабогармоническое распределение — это в точности распределение, связанное с сильногармонической функцией, и поэтому также является гладким. Это лемма Вейля . $${\displaystyle \Delta f=0\,}$$

Существуют и другие слабые формулировки уравнения Лапласа, которые часто бывают полезны. Одна из них — принцип Дирихле , представляющий гармонические функции в пространстве Соболева H ¹ (Ω) как минимизаторы интеграла энергии Дирихле относительно локальных вариаций, то есть все функции, такие, что выполняется для всех или, что эквивалентно, для всех $${\displaystyle J(u):=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,dx}$$ ${\displaystyle u\in H^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle J(u)\leq J(u+v)}$ ${\displaystyle v\in C_{c}^{\infty }(\Omega ),}$ ${\displaystyle v\in H_{0}^{1}(\Omega ).}$

Гармонические функции на многообразиях

Гармонические функции могут быть определены на произвольном римановом многообразии с помощью оператора Лапласа–Бельтрами Δ . В этом контексте функция называется гармонической , если Многие свойства гармонических функций на областях в евклидовом пространстве переносятся на эту более общую установку, включая теорему о среднем значении (по геодезическим шарам), принцип максимума и неравенство Гарнака. За исключением теоремы о среднем значении, они являются простыми следствиями соответствующих результатов для общих линейных эллиптических уравнений в частных производных второго порядка. $${\displaystyle \ \Delta f=0.}$$

Субгармонические функции

Функция C ² , удовлетворяющая Δ f ≥ 0, называется субгармонической. Это условие гарантирует, что принцип максимума будет выполняться, хотя другие свойства гармонических функций могут не выполняться. В более общем смысле функция является субгармонической тогда и только тогда, когда внутри любого шара в ее области определения ее график лежит ниже графика гармонической функции, интерполирующей ее граничные значения на шаре.

Гармонические формы

Одним из обобщений изучения гармонических функций является изучение гармонических форм на римановых многообразиях , и оно связано с изучением когомологий . Кроме того, можно определить гармонические векторнозначные функции или гармонические отображения двух римановых многообразий, которые являются критическими точками обобщенного функционала энергии Дирихле (сюда входят гармонические функции как частный случай, результат, известный как принцип Дирихле ). Этот вид гармонического отображения появляется в теории минимальных поверхностей. Например, кривая, то есть отображение из интервала в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ на риманово многообразие, является гармоническим отображением тогда и только тогда, когда оно является геодезическим .

Гармонические отображения между многообразиями

Если M и N — два римановых многообразия, то гармоническое отображение определяется как критическая точка энергии Дирихле, в которой есть дифференциал u , а норма — это норма, индуцированная метрикой на M и нормой на N на тензорном расслоении произведения ${\displaystyle u:M\to N}$ $${\displaystyle D[u]={\frac {1}{2}}\int _{M}\left\|du\right\|^{2}\,d\operatorname {Vol} }$$ ${\displaystyle du:TM\to TN}$ ${\displaystyle T^{\ast }M\otimes u^{-1}TN.}$

Важные частные случаи гармонических отображений между многообразиями включают минимальные поверхности , которые являются в точности гармоническими погружениями поверхности в трехмерное евклидово пространство. В более общем смысле минимальные подмногообразия являются гармоническими погружениями одного многообразия в другое. Гармонические координаты являются гармоническим диффеоморфизмом из многообразия в открытое подмножество евклидова пространства той же размерности.

Смотрите также

• Балаяж
• Бигармоническая карта
• Задача Дирихле
• Гармонический морфизм
• Гармонический полином
• Уравнение теплопроводности
• Уравнение Лапласа для безвихревого течения
• Уравнение Пуассона
• Квадратурные домены

Примечания

1. Акслер, Шелдон; Бурдон, Пол; Рэми, Уэйд (2001). Теория гармонических функций . Нью-Йорк: Springer. стр. 25. ISBN 0-387-95218-7.
2. Нельсон, Эдвард (1961). «Доказательство теоремы Лиувилля». Труды Американского математического общества . 12 (6): 995. doi : 10.1090/S0002-9939-1961-0259149-4 .
3. "Вероятностная связь". Blame It On The Analyst . 2012-01-24. Архивировано из оригинала 8 мая 2021 г. Получено 2022-05-26 .

Ссылки

• Эванс, Лоуренс К. (1998), Уравнения с частными производными , Американское математическое общество.
• Гилбарг, Дэвид ; Трудингер, Нил (12 января 2001 г.), Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка , ISBN 3-540-41160-7.
• Хан, К.; Линь, Ф. (2000), Эллиптические уравнения в частных производных , Американское математическое общество.
• Йост, Юрген (2005), Риманова геометрия и геометрический анализ (4-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-25907-7.
• Акслер, Шелдон; Бурдон, Пол; Рэми, Уэйд (2001), Теория гармонических функций , т. 137 (второе издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4757-8137-3, ISBN 0-387-95218-7.

Внешние ссылки

• «Гармоническая функция», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Гармоническая функция". MathWorld .
• Теория гармонических функций С.Акслера, Поля Бурдона и Уэйда Рэми