Квадруполь

Устройство, создающее квадрупольное поле определенного рода

Квадруполь или квадрополь — это одна из последовательности конфигураций таких вещей, как электрический заряд , ток или гравитационная масса , которая может существовать в идеальной форме, но обычно она является лишь частью многополюсного расширения более сложной структуры, отражающей различные порядки сложности.

Математическое определение

Тензор квадрупольного момента Q — это тензор второго ранга — матрица 3×3. Существует несколько определений, но обычно он записывается в бесследовой форме (т.е. ). Таким образом, тензор квадрупольного момента имеет девять компонент, но из-за симметрии транспозиции и свойства нулевого следа в этой форме только пять из них являются независимыми. ${\displaystyle Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}=0}$

Для дискретной системы точечных зарядов или масс в случае гравитационного квадруполя, каждый из которых имеет заряд или массу и положение относительно начала системы координат, компоненты матрицы Q определяются следующим образом: ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle q_{\ell }}$ ${\displaystyle m_{\ell }}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{\ell }=\left(r_{x\ell },r_{y\ell },r_{z\ell }\right)}$

${\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\ell }q_{\ell }\left(3r_{i\ell }r_{j\ell }-\left\|\mathbf {r} _{\ell }\right\|^{2}\delta _{ij}\right).}$

Индексы пробегают декартовы координаты и есть дельта Кронекера . Это означает, что должно быть равно, с точностью до знака, расстояниям от точки до взаимно перпендикулярных гиперплоскостей , чтобы дельта Кронекера равнялась 1. ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle n}$

В небесследовой форме квадрупольный момент иногда выражается как:

${\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\ell }q_{\ell }r_{i\ell }r_{j\ell }}$

с этой формой, которая встречается в литературе, посвященной быстрому мультипольному методу . Преобразование между этими двумя формами может быть легко достигнуто с помощью оператора detracing. ^[1]

Для непрерывной системы с плотностью заряда или плотностью массы компоненты Q определяются интегралом по декартовому пространству r : ^[2] ${\displaystyle \rho (x,y,z)}$

${\displaystyle Q_{ij}=\int \,\rho (\mathbf {r} )\left(3r_{i}r_{j}-\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}\delta _{ij}\right)\,d^{3}\mathbf {r} }$

Как и в случае любого мультипольного момента, если момент низшего порядка, монополь или диполь в этом случае, не равен нулю, то значение квадрупольного момента зависит от выбора начала координат . Например, диполь из двух точечных зарядов противоположного знака и одинаковой силы, не имеющий монопольного момента, может иметь ненулевой квадрупольный момент, если начало координат смещено от центра конфигурации точно между двумя зарядами; или квадрупольный момент может быть уменьшен до нуля с началом координат в центре. Напротив, если монопольный и дипольный моменты равны нулю, а квадрупольный момент нет, например, четыре заряда одинаковой силы, расположенных в квадрате, с чередующимися знаками, то квадрупольный момент не зависит от координат.

Если каждый заряд является источником « потенциального» поля, например, электрического или гравитационного поля , то вклад квадрупольного момента в потенциал поля равен: ${\displaystyle 1/r}$

${\displaystyle V_{\text{q}}(\mathbf {R} )={\frac {k}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}{\frac {1}{2}}Q_{ij}\,{\hat {R}}_{i}{\hat {R}}_{j}\ ,}$

где R — вектор с началом в системе зарядов, а R̂ — единичный вектор в направлении R . То есть, для — декартовы компоненты единичного вектора, направленные от начала координат к точке поля. Здесь — константа, зависящая от типа поля и используемых единиц. ${\displaystyle {\hat {R}}_{i}}$ ${\displaystyle i=x,y,z}$ ${\displaystyle k}$

Электрический квадруполь

Контурная диаграмма эквипотенциальных поверхностей электрического квадрупольного поля

Простой пример электрического квадруполя состоит из чередующихся положительных и отрицательных зарядов, расположенных в углах квадрата. Монопольный момент (просто полный заряд) этого расположения равен нулю. Аналогично, дипольный момент равен нулю, независимо от выбранного начала координат. Но квадрупольный момент расположения на диаграмме не может быть сведен к нулю, независимо от того, где мы размещаем начало координат. Электрический потенциал электрического заряда квадруполя определяется как ^[3]

${\displaystyle V_{\text{q}}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}{\frac {1}{2}}Q_{ij}\,{\hat {R}}_{i}{\hat {R}}_{j}\ ,}$

где — электрическая диэлектрическая проницаемость , и следует определению выше. ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle Q_{ij}}$

В качестве альтернативы другие источники ^[4] включают фактор половины в сам тензор, так что: ${\displaystyle Q_{ij}}$

${\displaystyle Q_{ij}=\int \,\rho (\mathbf {r} )\left({\frac {3}{2}}r_{i}r_{j}-{\frac {1}{2}}\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}\delta _{ij}\right)\,d^{3}\mathbf {r} }$, и

${\displaystyle V_{\text{q}}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}Q_{ij}\,{\hat {R}}_{i}{\hat {R}}_{j}\ ,}$

что делает более явной связь с полиномами Лежандра , которые возникают в результате мультипольного разложения, а именно здесь ${\textstyle P_{2}(x)={\frac {3}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}.}$

Обобщение: высшие мультиполи

Крайнее обобщение («точечный октополь ») будет выглядеть так: Восемь чередующихся точечных зарядов в восьми углах параллелепипеда , например, куба с длиной ребра a . «Октопольный момент» этого расположения будет соответствовать в «октопольном пределе» ненулевому диагональному тензору третьего порядка. Еще более высокие мультиполи, например, порядка , будут получены дипольными (квадрупольными, октопольными, ...) расположениями точечных диполей (квадруполей, октополей, ...), а не точечных монополей, более низкого порядка, например, . ${\textstyle \lim _{a\to 0}{a^{3}\cdot Q}\to {\text{const. }}}$ ${\displaystyle 2^{\ell }}$ ${\displaystyle 2^{\ell -1}}$

Магнитный квадруполь

Катушки, создающие квадрупольное поле

Схема квадрупольного магнита (« четырехполюсный »)

Все известные магнитные источники дают дипольные поля. Однако можно сделать магнитный квадруполь, поместив четыре одинаковых стержневых магнита перпендикулярно друг другу так, чтобы северный полюс одного был рядом с южным полюсом другого. Такая конфигурация отменяет дипольный момент и дает квадрупольный момент, а его поле будет уменьшаться на больших расстояниях быстрее, чем у диполя.

Пример магнитного квадруполя, включающего постоянные магниты, изображен справа. Электромагниты похожей концептуальной конструкции (называемые квадрупольными магнитами ) обычно используются для фокусировки пучков заряженных частиц в ускорителях частиц и линиях транспортировки пучка, метод, известный как сильная фокусировка . Есть четыре стальных полюсных наконечника, два противоположных магнитных северных полюса и два противоположных магнитных южных полюса. Сталь намагничивается большим электрическим током , который течет в катушках трубок, обернутых вокруг полюсов.

Изменение магнитного квадрупольного момента создает электромагнитное излучение .

Гравитационный квадруполь

Массовый квадруполь аналогичен электрическому зарядовому квадруполю, где плотность заряда просто заменяется на плотность массы и добавляется отрицательный знак, поскольку массы всегда положительны, а сила притяжения. Гравитационный потенциал тогда выражается как:

${\displaystyle V_{\text{q}}(\mathbf {R} )=-{\frac {G}{2|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}Q_{ij}\,{\hat {R}}_{i}{\hat {R}}_{j}\ .}$

Например, поскольку Земля вращается, она сплющена (уплощена на полюсах). Это дает ей ненулевой квадрупольный момент. Хотя вклад в гравитационное поле Земли от этого квадруполя чрезвычайно важен для искусственных спутников, близких к Земле, он менее важен для Луны, поскольку член быстро падает. ${\displaystyle {1}/{|\mathbf {R} |^{3}}}$

Массовый квадрупольный момент также важен в общей теории относительности , потому что, если он изменяется со временем, он может производить гравитационное излучение , подобное электромагнитному излучению, создаваемому колеблющимися электрическими или магнитными диполями и высшими мультиполями. Однако только квадрупольные и высшие моменты могут излучать гравитационно. Массовый монополь представляет собой полную массу-энергию в системе, которая сохраняется — таким образом, он не испускает излучения. Аналогично, массовый диполь соответствует центру масс системы, а его первая производная представляет собой импульс, который также является сохраняющейся величиной, поэтому массовый диполь также не испускает излучения. Массовый квадруполь, однако, может изменяться со временем и является вкладом низшего порядка в гравитационное излучение. ^[5]

Простейшим и наиболее важным примером излучающей системы является пара точек массы с равными массами, вращающихся друг вокруг друга по круговой орбите, приближение к, например, частному случаю двойных черных дыр . Поскольку дипольный момент постоянен, мы можем для удобства поместить начало координат прямо между двумя точками. Тогда дипольный момент будет равен нулю, и если мы также масштабируем координаты так, чтобы точки находились на единичном расстоянии от центра, в противоположном направлении, квадрупольный момент системы тогда будет просто

${\displaystyle Q_{ij}=M\left(3x_{i}x_{j}-|\mathbf {x} |^{2}\delta _{ij}\right)}$

где M — масса каждой точки, а — компоненты (единичного) вектора положения одной из точек. По мере их вращения этот x -вектор будет вращаться, что означает, что он будет иметь ненулевую первую и ненулевую вторую производную по времени (это, конечно, верно независимо от выбора системы координат). Поэтому система будет излучать гравитационные волны. Потеря энергии таким образом впервые наблюдалась в период изменения двойной звезды Халса–Тейлора , пульсара на орбите с другой нейтронной звездой схожей массы. ${\displaystyle x_{i}}$

Так же, как электрический заряд и мультиполи тока вносят вклад в электромагнитное поле, масса и мультиполи массы-тока вносят вклад в гравитационное поле в общей теории относительности, вызывая так называемые гравитомагнитные эффекты. Изменение мультиполей массы-тока также может испускать гравитационное излучение. Однако вклад мультиполей тока обычно будет намного меньше, чем вклад квадруполя массы.

Смотрите также

• Расширение мультиполя
• Мультипольные моменты
• Сплошные гармоники
• Аксиальные мультипольные моменты
• Цилиндрические мультипольные моменты
• Сферические мультипольные моменты
• расширение Лапласа
• полиномы Лежандра
• Квадрупольная ионная ловушка
• Квадрупольный масс-анализатор
• Многополярное обменное взаимодействие
• Кабель со звездообразной четверкой
• Магнитная линза
• Формула квадруполя

Ссылки

1. Applequist, J. (1989). «Бесследовые декартовы тензорные формы для сферических гармонических функций: Новые теоремы и приложения к электростатике диэлектрических сред». Journal of Physics A: Mathematical and General . 22 (20): 4303–4330. Bibcode : 1989JPhA...22.4303A. doi : 10.1088/0305-4470/22/20/011.
2. Weisstein, Eric. "Электрический квадрупольный момент". Eric Weisstein's World of Physics . Wolfram Research . Получено 8 мая 2012 г.
3. Джексон, Джон Дэвид (1975). Классическая электродинамика . John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43132-X.
4. Гриффитс, Дэвид Дж. (2013). Введение в электродинамику, 4-е изд . Пирсон. стр. 153,165.
5. Торн, Кип С. (апрель 1980 г.). «Мультипольные разложения гравитационного излучения» (PDF) . Reviews of Modern Physics . 52 (2): 299–339. Bibcode : 1980RvMP...52..299T. doi : 10.1103/RevModPhys.52.299.

Внешние ссылки

• Расширение мультиполя