Двухуровневая квантовая система

Простая квантово-механическая система

Электронейтральный атом серебра, проходящий через неоднородное магнитное поле эксперимента Штерна-Герлаха, разделяется на два, каждое из которых соответствует одному возможному значению спина внешнего электрона атома серебра.

В квантовой механике двухуровневая система (также известная как двухуровневая система ) — это квантовая система , которая может существовать в любой квантовой суперпозиции двух независимых (физически различимых) квантовых состояний . Гильбертово пространство , описывающее такую ​​систему, является двумерным . Следовательно, полный базис, охватывающий это пространство, будет состоять из двух независимых состояний. Любую двухуровневую систему можно также рассматривать как кубит .

Системы с двумя состояниями являются простейшими квантовыми системами, представляющими интерес, поскольку динамика системы с одним состоянием тривиальна (поскольку нет других состояний, в которых система может существовать). Математическая структура, необходимая для анализа систем с двумя состояниями, — это линейные дифференциальные уравнения и линейная алгебра двумерных пространств. В результате динамика системы с двумя состояниями может быть решена аналитически без каких-либо приближений. Общее поведение системы заключается в том, что амплитуда волновой функции колеблется между двумя состояниями.

Хорошо известным примером системы с двумя состояниями является спин частицы со спином 1/2, такой как электрон, спин которой может иметь значения + ħ /2 или − ħ /2, где ħ — приведенная постоянная Планка .

Система с двумя состояниями не может быть использована для описания поглощения или распада, поскольку такие процессы требуют связи с континуумом. Такие процессы включали бы экспоненциальный распад амплитуд, но решения системы с двумя состояниями являются колебательными.

Аналитические решения для энергий стационарного состояния и зависимости от времени

Представление

Предположим, что два доступных базисных состояния системы — это и , в общем случае состояние можно записать как суперпозицию этих двух состояний с амплитудами вероятностей , ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |2\rangle }$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ $${\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|1\rangle +c_{2}|2\rangle .}$$

Так как базисные состояния ортонормальны , где и — дельта Кронекера , то . Эти два комплексных числа можно считать координатами в двумерном комплексном гильбертовом пространстве . ^[1] Таким образом, вектор состояния, соответствующий состоянию, равен , а базисные состояния соответствуют базисным векторам, и ${\displaystyle \langle i|j\rangle =\delta _{ij}}$ ${\displaystyle i,j\in {1,2}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle c_{i}=\langle i|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle |\psi \rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1|\psi \rangle \\\langle 2|\psi \rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=\mathbf {c} ,}$$ $${\displaystyle |1\rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1|1\rangle \\\langle 2|1\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle |2\rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1|2\rangle \\\langle 2|2\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.}$$

Если состояние нормализовано , то норма вектора состояния равна единице, т.е. . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {|c_{1}|}^{2}+{|c_{2}|}^{2}=1}$

Все наблюдаемые физические величины , такие как энергия, связаны с эрмитовыми операторами . В случае энергии и соответствующего гамильтониана , H , это означает, что ie и являются действительными, и . Таким образом, эти четыре матричных элемента производят эрмитову матрицу 2×2 , $${\displaystyle H_{ij}=\langle i|H|j\rangle =\langle j|H|i\rangle ^{*}=H_{ji}^{*},}$$ ${\displaystyle H_{11}}$ ${\displaystyle H_{22}}$ ${\displaystyle H_{12}=H_{21}^{*}}$ ${\displaystyle H_{ij}}$ $${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\langle 1|H|1\rangle &\langle 1|H|2\rangle \\\langle 2|H|1\rangle &\langle 2|H|2\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}.}$$

Не зависящее от времени уравнение Шредингера утверждает, что ; подстановка в базисные состояния из вышеприведенного и умножение обеих сторон на или дает систему из двух линейных уравнений , которую можно записать в матричной форме, или которая является проблемой собственных значений и собственных векторов матрицы 2×2 . Как упоминалось выше, это уравнение получается путем подстановки общего состояния в не зависящее от времени уравнение Шредингера. Помните, что не зависящее от времени уравнение Шредингера является ограничительным условием, используемым для указания собственных состояний. Поэтому при подстановке в него общего состояния мы видим, какую форму должно принять общее состояние, чтобы стать собственным состоянием. Делая это и распределяя, мы получаем , что требует , чтобы или было равно нулю ( не может быть равно и , энергиям отдельных состояний, которые по определению различны). При установке или равным 0 остается только одно состояние, и является энергией выжившего состояния. Этот результат является избыточным напоминанием о том, что не зависящее от времени уравнение Шредингера удовлетворяется только собственными состояниями H, которые (по определению вектора состояния) являются состояниями, в которых все, кроме одного коэффициента, равны нулю. Теперь, если мы последуем тому же выводу, но перед тем, как действовать с гамильтонианом в отдельных состояниях, мы умножим обе стороны на или , мы получим систему из двух линейных уравнений, которые можно объединить в приведенное выше матричное уравнение. Как и прежде, это может быть выполнено только если или равно нулю, и когда это произойдет, константа будет энергией оставшегося состояния. Таким образом, приведенное выше матричное уравнение следует интерпретировать как ограничительное условие для общего вектора состояния, чтобы получить собственный вектор , в точности аналогичный не зависящему от времени уравнению Шредингера. ${\displaystyle H|\psi \rangle =E|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle 1|}$ ${\displaystyle \langle 2|}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=E{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle \mathbf {Hc} =E\mathbf {c} }$ ${\displaystyle c_{1}H|1\rangle +c_{2}H|2\rangle =c_{1}E|1\rangle +c_{2}E|2\rangle }$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \langle 1|}$ ${\displaystyle \langle 2|}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H}$

Конечно, в общем случае коммутация матрицы с вектором состояния не приведет к тому же вектору, умноженному на константу E. Для общей справедливости необходимо записать уравнение в форме с отдельными энергиями собственных состояний, все еще находящимися внутри вектора произведения. В любом случае матрицу Гамильтона можно вывести с помощью метода, указанного выше, или с помощью более традиционного метода построения матрицы с использованием граничных условий; в частности, используя требование, что когда она действует на любое базисное состояние, она должна возвращать это состояние, умноженное на энергию этого состояния. (Нет никаких граничных условий относительно того, как она действует на общее состояние.) Это приводит к диагональной матрице с диагональными элементами, являющимися энергиями собственных состояний, а недиагональные элементы равны нулю. Форма матрицы выше, которая использует гамильтонианы, заключенные в скобки, является более обобщенной версией этой матрицы. $${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}c_{1}\\\varepsilon _{2}c_{2}\end{pmatrix}},}$$

Можно спросить, почему необходимо записывать матрицу Гамильтона в такой общей форме с заключенными в скобки гамильтонианами, поскольку всегда должно быть равно нулю и всегда должно быть равно . Причина в том, что в некоторых более сложных задачах векторы состояния могут не быть собственными состояниями гамильтониана, используемого в матрице. Одно из мест, где это происходит, — это вырожденная теория возмущений , где недиагональные элементы не равны нулю, пока задача не будет решена диагонализацией . ${\displaystyle H_{ij},i\neq j}$ ${\displaystyle H_{ii}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

Из-за эрмитовости собственные значения являются действительными; или, скорее, наоборот, именно требование, чтобы энергии были действительными, подразумевает эрмитовость . Собственные векторы представляют собой стационарные состояния , т. е. такие, для которых абсолютная величина квадратов амплитуд вероятностей не меняется со временем. ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$

Собственные значения гамильтониана

Наиболее общая форма эрмитовой матрицы 2×2, такой как гамильтониан двухуровневой системы, задается как где и γ — действительные числа с единицами энергии. Допустимые уровни энергии системы, а именно собственные значения гамильтоновой матрицы, можно найти обычным способом. $${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}&\beta -i\gamma \\\beta +i\gamma &\varepsilon _{2}\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\beta }$

Эквивалентно, эта матрица может быть разложена как, Здесь, и являются действительными числами. Матрица является единичной матрицей 2×2, а матрицы с являются матрицами Паули . Такое разложение упрощает анализ системы, особенно в независимом от времени случае, где значения и являются константами. $${\displaystyle \mathbf {H} =\alpha \cdot \sigma _{0}+\beta \cdot \sigma _{1}+\gamma \cdot \sigma _{2}+\delta \cdot \sigma _{3}={\begin{pmatrix}\alpha +\delta &\beta -i\gamma \\\beta +i\gamma &\alpha -\delta \end{pmatrix}}.}$$ ${\textstyle \alpha ={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}\right)}$ ${\textstyle \delta ={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2}\right)}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle k=1,2,3}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ ${\displaystyle \delta }$

Гамильтониан можно далее сжать как $${\displaystyle \mathbf {H} =\alpha \cdot \sigma _{0}+\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}.}$$

Вектор задается как и задается как . Это представление упрощает анализ временной эволюции системы и его легче использовать с другими специализированными представлениями, такими как сфера Блоха . ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (\beta ,\gamma ,\delta )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$

Если независимый от времени гамильтониан H двухуровневой системы определен, как указано выше, то его собственные значения определяются как . Очевидно, α — это средняя энергия двух уровней, а норма — это расщепление между ними. Соответствующие собственные векторы обозначаются как и . ${\displaystyle E_{\pm }=\alpha \pm |\mathbf {r} |}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle |+\rangle }$ ${\displaystyle |-\rangle }$

Зависимость от времени

Теперь предположим, что амплитуды вероятности зависят от времени, хотя базисные состояния — нет. Зависящие от времени состояния уравнения Шредингера , и действуя так же, как и раньше (заменяя и умножая предварительно на снова , получаем пару связанных линейных уравнений, но на этот раз это уравнения в частных производных первого порядка: . Если не зависит от времени, то существует несколько подходов для нахождения временной зависимости , например, нормальные моды . Результатом является то, что , где — вектор состояния при . Здесь экспонента матрицы может быть найдена из разложения в ряд. Матрица называется матрицей эволюции во времени (которая содержит матричные элементы соответствующего оператора эволюции во времени ). Легко доказывается, что является унитарным , что означает, что . ${\textstyle i\hbar \partial _{t}|\psi \rangle =H|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle 1|,\langle 2|}$ ${\textstyle i\hbar \partial _{t}\mathbf {c} =\mathbf {Hc} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ $${\displaystyle \mathbf {c} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }\mathbf {c} _{0}=\mathbf {U} (t)\mathbf {c} _{0}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{0}=\mathbf {c} (0)}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$ ${\displaystyle U(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {U} =1}$

Можно показать, что где $${\displaystyle \mathbf {U} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }=e^{-i\alpha t/\hbar }\left(\cos \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right)\sigma _{0}-i\sin \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right){\hat {r}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right),}$$ ${\textstyle {\hat {r}}={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}.}$

Если заменить базис на собственные векторы гамильтониана, другими словами, если базисные состояния выбраны в качестве собственных векторов, то и поэтому гамильтониан становится диагональным, т.е. и имеет вид: ${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }$ ${\displaystyle \epsilon _{1}=H_{11}=\langle 1|H|1\rangle =E_{1}\langle 1|1\rangle =E_{1}}$ ${\displaystyle \beta +i\gamma =H_{21}=\langle 2|H|1\rangle =E_{1}\langle 2|1\rangle =0}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} |=\delta }$ $${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}E_{1}&0\\0&E_{2}\end{pmatrix}}.}$$

Теперь легко увидеть, что унитарный оператор эволюции времени задается следующим образом: Фактор просто вносит вклад в общую фазу оператора и обычно может игнорироваться, чтобы получить новый оператор эволюции времени, который физически неотличим от исходного оператора. Более того, любое возмущение системы (которое будет иметь ту же форму, что и гамильтониан) может быть добавлено к системе в собственном базисе невозмущенного гамильтониана и проанализировано таким же образом, как и выше. Следовательно, для любого возмущения новые собственные векторы возмущенной системы могут быть решены точно, как упоминалось во введении. ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle \mathbf {U} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }={\begin{pmatrix}e^{-iE_{1}t/\hbar }&0\\0&e^{-iE_{2}vt/\hbar }\end{pmatrix}}=e^{-i\alpha t/\hbar }{\begin{pmatrix}e^{-i\delta t/\hbar }&0\\0&e^{i\delta t/\hbar }\end{pmatrix}}=e^{-i\alpha t/\hbar }\left(\cos \left({\frac {\delta }{\hbar }}t\right)\sigma _{0}-i\sin \left({\frac {\delta }{\hbar }}t\right){\boldsymbol {\sigma }}_{3}\right).}$$ ${\displaystyle e^{-i\alpha t/\hbar }}$

Формула Раби для статического возмущения

Предположим, что система начинает работу в одном из базисных состояний при , скажем, так, что , и нас интересует вероятность занятия каждого из базисных состояний как функция времени, когда — независимый от времени гамильтониан. ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\textstyle \mathbf {c} _{0}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ $${\displaystyle \mathbf {c} (t)=\mathbf {U} (t)\mathbf {c} _{0}={\begin{pmatrix}U_{11}(t)&U_{12}(t)\\U_{21}(t)&U_{22}(t)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}U_{11}(t)\\U_{21}(t)\end{pmatrix}}.}$$

Вероятность занятия состояния i равна . В случае начального состояния , и сверху, Следовательно, ${\displaystyle P_{i}(t)=|c_{i}(t)|^{2}=|U_{i1}(t)|^{2}}$ ${\displaystyle P_{1}(t)=|c_{1}(t)|^{2}=|U_{11}(t)|^{2}}$ $${\displaystyle U_{11}(t)=e^{\frac {-i\alpha t}{\hbar }}\left(\cos \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right)-i\sin \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right){\frac {\delta }{|\mathbf {r} |}}\right).}$$ $${\displaystyle P_{1}(t)=\cos ^{2}(\Omega t)+\sin ^{2}(\Omega t){\frac {\Delta ^{2}}{\Omega ^{2}}}.}$$

Очевидно, из-за начального состояния. Частота называется обобщенной частотой Раби, называется частотой Раби, называется расстройкой. ${\displaystyle P_{1}(0)=1}$ $${\displaystyle \Omega ={\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}={\frac {1}{\hbar }}{\sqrt {\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}}}={\sqrt {|\Omega _{R}|^{2}+\Delta ^{2}}}}$$ ${\displaystyle \Omega _{R}=(\beta +i\gamma )/\hbar }$ ${\displaystyle \Delta =\delta /\hbar }$

При нулевой расстройке, , т. е. происходит перескакивание Раби из гарантированного заполнения состояния 1 в гарантированное заполнение состояния 2 и обратно в состояние 1 и т. д. с частотой . По мере увеличения расстройки от нуля частота перескакивания увеличивается (до Ω ), а амплитуда возбуждения электрона уменьшается до . ${\displaystyle P_{1}(t)=\cos ^{2}(|\Omega _{R}|t)}$ ${\displaystyle |\Omega _{R}|}$ ${\displaystyle \Omega ^{2}/\Delta ^{2}}$

О зависящих от времени гамильтонианах, индуцированных световыми волнами, см. статьи о цикле Раби и приближении вращающейся волны .

Некоторые важные двухгосударственные системы

Прецессия в поле

Рассмотрим случай частицы со спином 1/2 в магнитном поле . Гамильтониан взаимодействия для этой системы равен , где — величина магнитного момента частицы , а — вектор матриц Паули . Решение зависящего от времени уравнения Шредингера дает , где и . Физически это соответствует вектору Блоха, прецессирующему вокруг с угловой частотой . Без потери общности предположим, что поле однородно в точках , так что оператор эволюции во времени задается как ${\displaystyle \mathbf {B} =B\mathbf {\hat {n}} }$ $${\displaystyle H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ,}$$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle H\psi =i\hbar \partial _{t}\psi }$ $${\displaystyle \psi (t)=e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }\psi (0),}$$ ${\displaystyle \omega =\mu B/\hbar }$ ${\displaystyle e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }=\cos {\left(\omega t\right)}I+i\;\mathbf {\hat {n}} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\sin {\left(\omega t\right)}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle 2\omega }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$ $${\displaystyle e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }={\begin{pmatrix}e^{i\omega t}&0\\0&e^{-i\omega t}\end{pmatrix}}.}$$

Можно видеть, что такой оператор эволюции времени, действующий на общее спиновое состояние частицы со спином 1/2, приведет к прецессии вокруг оси, определяемой приложенным магнитным полем (это квантово-механический эквивалент прецессии Лармора ) ^[2]

Вышеуказанный метод может быть применен к анализу любой общей двухуровневой системы, которая взаимодействует с некоторым полем (эквивалентным магнитному полю в предыдущем случае), если взаимодействие задано соответствующим членом связи, который аналогичен магнитному моменту. Прецессия вектора состояния (которая не обязательно должна быть физическим вращением, как в предыдущем случае) может рассматриваться как прецессия вектора состояния на сфере Блоха .

Представление на сфере Блоха для вектора состояния будет просто вектором значений ожиданий . В качестве примера рассмотрим вектор состояния , который является нормализованной суперпозицией и , то есть вектор, который может быть представлен в базисе как ${\displaystyle \psi (0)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\langle \sigma _{x}\rangle ,\langle \sigma _{y}\rangle ,\langle \sigma _{z}\rangle \right)}$ ${\displaystyle \psi (0)}$ ${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$ $${\displaystyle \psi (0)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$$

Компоненты на сфере Блоха будут просто . Это единичный вектор, который начинает указывать вдоль и прецессирует вокруг в левой манере. В общем случае, вращением вокруг любой вектор состояния может быть представлен как с действительными коэффициентами и . Такой вектор состояния соответствует вектору Блоха в плоскости xz , составляющему угол с осью z . Этот вектор будет продолжать прецессировать вокруг . Теоретически, позволяя системе взаимодействовать с полем определенного направления и силы в течение точных промежутков времени, можно получить любую ориентацию вектора Блоха , что эквивалентно получению любой сложной суперпозиции. Это основа для многочисленных технологий, включая квантовые вычисления и МРТ . ${\displaystyle \psi (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\cos {2\omega t},-\sin {2\omega t},0\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$ ${\displaystyle \psi (0)}$ ${\displaystyle a\left|\uparrow \right\rangle +b\left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \tan(\theta /2)=b/a}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$

Эволюция в поле, зависящем от времени: ядерный магнитный резонанс

Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) является важным примером в динамике двухуровневых систем, поскольку он включает точное решение зависящего от времени гамильтониана. Явление ЯМР достигается путем помещения ядра в сильное статическое поле B ₀ («удерживающее поле»), а затем приложения слабого поперечного поля B ₁ , которое колеблется на некоторой радиочастоте ω _r . ^[3] Явно рассмотрим частицу со спином 1/2 в удерживающем поле и поперечном радиочастотном поле B _{1 ,} вращающемся в плоскости xy в правостороннем порядке вокруг B ₀ : ${\displaystyle B_{0}\mathbf {\hat {z}} }$ $${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{1}\cos \omega _{\mathrm {r} }t\\B_{1}\sin \omega _{\mathrm {r} }t\\B_{0}\end{pmatrix}}.}$$

Как и в случае свободной прецессии, гамильтониан равен , а эволюция вектора состояния находится путем решения зависящего от времени уравнения Шредингера . После некоторых манипуляций (приведенных в свернутом разделе ниже) можно показать, что уравнение Шредингера становится где и . ${\displaystyle H=-\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \psi (t)}$ ${\displaystyle H\psi =i\hbar \,\partial \psi /\partial t}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\left(\omega _{1}\sigma _{x}+\left(w_{0}+{\frac {\omega _{r}}{2}}\right)\sigma _{z}\right)\psi ,}$$ ${\displaystyle \omega _{0}=\mu B_{0}/\hbar }$ ${\displaystyle \omega _{1}=\mu B_{1}/\hbar }$

Согласно предыдущему разделу, решение этого уравнения имеет вектор Блоха, прецессирующий вокруг с частотой, которая в два раза больше величины вектора. Если достаточно сильно, некоторая часть спинов будет направлена ​​прямо вниз до введения вращающегося поля. Если угловая частота вращающегося магнитного поля выбрана такой, что , во вращающейся системе отсчета вектор состояния будет прецессировать вокруг с частотой , и, таким образом, перевернется снизу вверх, высвобождая энергию в форме обнаруживаемых фотонов. ^{[ требуется ссылка ]} Это фундаментальная основа для ЯМР , и на практике достигается путем сканирования до тех пор, пока не будет найдена резонансная частота, в которой образец будет излучать свет. Аналогичные вычисления проводятся в атомной физике, и в случае, когда поле не вращается, а колеблется с комплексной амплитудой, для получения таких результатов используется приближение вращающейся волны . ${\displaystyle (\omega _{1},0,\omega _{0}+\omega _{r}/2)}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{r}=-2\omega _{0}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle 2\omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{r}}$

Вывод приведенного выше выражения для уравнения ЯМР Шредингера

Здесь уравнение Шредингера выглядит так: $${\displaystyle -\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}.}$$

Разложение скалярного произведения и деление на выходы ${\displaystyle i\hbar }$ $${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\left(\omega _{1}\sigma _{x}\cos {\omega _{r}t}+\omega _{1}\sigma _{y}\sin {\omega _{r}t}+\omega _{0}\sigma _{z}\right)\psi .}$$

Чтобы устранить зависимость от времени из задачи, волновая функция преобразуется согласно . Зависимое от времени уравнение Шредингера становится таким, что после некоторой перестановки дает ${\displaystyle \psi \rightarrow e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\psi }$ $${\displaystyle -i\sigma _{z}{\frac {\omega _{r}}{2}}e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\psi +e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\left(\omega _{1}\sigma _{x}\cos {\omega _{r}t}+\omega _{1}\sigma _{y}\sin {\omega _{r}t}+\omega _{0}\sigma _{z}\right)e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\psi ,}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=ie^{i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\left(\omega _{1}\sigma _{x}\cos {\omega _{r}t}+\omega _{1}\sigma _{y}\sin {\omega _{r}t}+\left(\omega _{0}+{\frac {\omega _{r}}{2}}\right)\sigma _{z}\right)e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\psi }$$

Оценка каждого члена в правой части уравнения $${\displaystyle e^{i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\sigma _{x}e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}={\begin{pmatrix}e^{i\omega _{r}t/2}&0\\0&e^{-i\omega _{r}t/2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{-i\omega _{r}t/2}&0\\0&e^{i\omega _{r}t/2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&e^{i\omega _{r}t}\\e^{-i\omega _{r}t}&0\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle e^{i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\sigma _{y}e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}={\begin{pmatrix}e^{i\omega _{r}t/2}&0\\0&e^{-i\omega _{r}t/2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{-i\omega _{r}t/2}&0\\0&e^{i\omega _{r}t/2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-ie^{i\omega _{r}t}\\ie^{-i\omega _{r}t}&0\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle e^{i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\sigma _{z}e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}={\begin{pmatrix}e^{i\omega _{r}t/2}&0\\0&e^{-i\omega _{r}t/2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{-i\omega _{r}t/2}&0\\0&e^{i\omega _{r}t/2}\end{pmatrix}}=\sigma _{z}}$$

Уравнение теперь выглядит так , что по тождеству Эйлера становится $${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\left(\omega _{1}{\begin{pmatrix}0&e^{i\omega _{r}t}\left(\cos {\omega _{r}t}-i\sin {\omega _{r}t}\right)\\e^{-i\omega _{r}t}\left(\cos {\omega _{r}t}+i\sin {\omega _{r}t}\right)&0\end{pmatrix}}+\left(w_{0}+{\frac {\omega _{r}}{2}}\right)\sigma _{z}\right)\psi ,}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\left(\omega _{1}\sigma _{x}+\left(w_{0}+{\frac {\omega _{r}}{2}}\right)\sigma _{z}\right)\psi }$$

Связь с уравнениями Блоха

Оптические уравнения Блоха для совокупности частиц со спином 1/2 можно вывести из зависящего от времени уравнения Шредингера для двухуровневой системы. Начиная с ранее указанного гамильтониана , его можно записать в суммарной нотации после некоторой перестановки как ${\displaystyle i\hbar \partial _{t}\psi =-\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \psi }$ $${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i{\frac {\mu }{\hbar }}\sigma _{i}B_{i}\psi }$$

Умножение на матрицу Паули и сопряженное транспонирование волновой функции, а затем разложение произведения двух матриц Паули дает ${\displaystyle \sigma _{i}}$ $${\displaystyle \psi ^{\dagger }\sigma _{j}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\sigma _{j}\sigma _{i}B_{i}\psi =i{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(I\delta _{ij}-i\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi ={\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(iI\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi }$$

Добавление этого уравнения к его собственному сопряженному транспонированию дает левую часть формы $${\displaystyle \psi ^{\dagger }\sigma _{j}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {\partial \psi ^{\dagger }}{\partial t}}\sigma _{j}\psi ={\frac {\partial \left(\psi ^{\dagger }\sigma _{j}\psi \right)}{\partial t}}}$$

И правая часть формы $${\displaystyle {\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(iI\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi +{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(-iI\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi ={\frac {2\mu }{\hbar }}\left(\psi ^{\dagger }\sigma _{k}\psi \right)B_{i}\varepsilon _{ijk}}$$

Как упоминалось ранее, математическое ожидание каждой матрицы Паули является компонентом вектора Блоха , . Приравнивая левую и правую части и отмечая, что есть гиромагнитное отношение , получаем другую форму для уравнений движения вектора Блоха , где был использован тот факт, что . В векторной форме эти три уравнения можно выразить через векторное произведение Классически это уравнение описывает динамику спина в магнитном поле. Идеальный магнит состоит из набора идентичных спинов, ведущих себя независимо, и, таким образом, общая намагниченность пропорциональна вектору Блоха . Все, что осталось для получения окончательной формы оптических уравнений Блоха , — это включение феноменологических релаксационных членов. ${\displaystyle \langle \sigma _{i}\rangle =\psi ^{\dagger }\sigma _{i}\psi =R_{i}}$ ${\displaystyle {\frac {2\mu }{\hbar }}}$ ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle {\frac {\partial R_{j}}{\partial t}}=\gamma R_{k}B_{i}\varepsilon _{kij}}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}=\varepsilon _{kij}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {R} }{\partial t}}=\gamma \mathbf {R} \times \mathbf {B} }$$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

В качестве последнего замечания следует отметить, что приведенное выше уравнение можно вывести, рассмотрев временную эволюцию оператора углового момента в картине Гейзенберга . $${\displaystyle i\hbar {\frac {d\sigma _{j}}{dt}}=\left[\sigma _{j},H\right]=\left[\sigma _{j},-\mu \sigma _{i}B_{i}\right]=-\mu \left(\sigma _{j}\sigma _{i}B_{i}-\sigma _{i}\sigma _{j}B_{i}\right)=\mu [\sigma _{i},\sigma _{j}]B_{i}=2\mu i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}B_{i}}$$

В сочетании с тем фактом , что это уравнение является тем же уравнением, что и предыдущее. ${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\langle \sigma _{i}\rangle }$

Действительность

Системы с двумя состояниями являются простейшими нетривиальными квантовыми системами, которые встречаются в природе, но вышеупомянутые методы анализа применимы не только к простым системам с двумя состояниями. Любая общая многосостоянная квантовая система может рассматриваться как система с двумя состояниями, пока наблюдаемое, которое интересует, имеет два собственных значения. Например, частица со спином 1/2 может в действительности иметь дополнительные поступательные или даже вращательные степени свободы, но эти степени свободы не имеют отношения к предыдущему анализу. Математически, пренебрегаемые степени свободы соответствуют вырождению собственных значений спина.

Другой случай, когда эффективный формализм двух состояний справедлив, — когда рассматриваемая система имеет два уровня, которые эффективно отделены от системы. Это имеет место при анализе спонтанного или стимулированного излучения света атомами и зарядовых кубитов . В этом случае следует иметь в виду, что возмущения (взаимодействия с внешним полем) находятся в правильном диапазоне и не вызывают переходов в состояния, отличные от интересующих.

Значимость и другие примеры

С педагогической точки зрения, формализм двух состояний является одним из простейших математических методов, используемых для анализа квантовых систем. Его можно использовать для иллюстрации фундаментальных квантово-механических явлений, таких как интерференция, проявляемая частицами поляризационных состояний фотона, ^[4] , а также более сложных явлений, таких как осцилляция нейтрино или нейтральная осцилляция K-мезона .

Двухуровневый формализм может быть использован для описания простого смешивания состояний, что приводит к таким явлениям, как стабилизация резонанса и другим симметриям, связанным с пересечением уровней . Такие явления имеют широкий спектр применения в химии. Явления с огромными промышленными применениями, такими как мазер и лазер, могут быть объяснены с помощью двухуровневого формализма.

Двухсостоянный формализм также формирует основу квантовых вычислений . Кубиты , которые являются строительными блоками квантового компьютера, являются ничем иным, как двухсостоянными системами. Любая квантовая вычислительная операция является унитарной операцией, которая вращает вектор состояния на сфере Блоха.

Дальнейшее чтение

• Трактовка формализма двух состояний, представленная в третьем томе « Фейнмановских лекций по физике» .
• Конспект лекций:
• из курса «Квантовая механика II» , предлагаемого в Массачусетском технологическом институте , http://web.mit.edu/8.05/handouts/Twostates_03.pdf
  • из того же курса, посвященного колебаниям нейтральных частиц, http://web.mit.edu/8.05/handouts/nukaon_07.pdf
  • из курса квантовой механики I , предлагаемого в TIFR , http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand4.pdf охватывает основные разделы математики
  • http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand5.pdf; из того же курса рассматриваются некоторые физические системы с двумя состояниями и другие важные аспекты формализма
  • Математическая часть в начальном разделе выполнена аналогично этим заметкам http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qubit.pdf, которые взяты из курса «Квантовая механика для математиков», предлагаемого в Колумбийском университете.
  • книжная версия того же самого: http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qmbook.pdf
  • Системы с двумя состояниями и две сферы, RJ Plymen, Il Nuovo Cimento B 13 (1973), стр. 55–58

Смотрите также

• цикл Раби
• Дублет
• Ядерный магнитный резонанс
• Квантовая оптика
• Кубит

Ссылки

1. Гриффитс, Дэвид (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.). С. 353.
2. Фейнман, РП (1965). «7-5 и 10-7». Фейнмановские лекции по физике: Том 3. Эддисон Уэсли.
3. Гриффитс, стр. 377.
4. Фейнман, РП (1965). "11-4". Фейнмановские лекции по физике: Том 3. Эддисон Уэсли.