Кинетическая энергия

Энергия движущегося физического тела

Эмили дю Шатле (1706–1749) с циркулем в правой руке. Она была первой, кто опубликовал соотношение для кинетической энергии . Это означает, что объект с удвоенной скоростью ударяется в четыре раза – 2×2 – сильнее. (Портрет Мориса Кантена де Латура .) ${\displaystyle E_{\text{kin}}\propto mv^{2}}$

В физике кинетическая энергия объекта — это форма энергии , которой он обладает вследствие своего движения . ^[1]

В классической механике кинетическая энергия невращающегося объекта массы m , движущегося со скоростью v , равна . ^[2] ${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Можно показать, что кинетическая энергия объекта равна работе, необходимой для ускорения объекта массы m из состояния покоя до заданной скорости . Получив эту энергию во время ускорения , объект сохраняет эту кинетическую энергию, пока его скорость не изменится. Такой же объем работы совершается объектом при торможении с текущей скорости до состояния покоя . ^[2]

Единицей кинетической энергии в системе СИ является джоуль , а английской единицей кинетической энергии является фут-фунт .

В релятивистской механике это хорошее приближение кинетической энергии только тогда, когда v намного меньше скорости света . ${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$

История и этимология

Прилагательное кинетический имеет свои корни от греческого слова κίνησις kinesis , что означает «движение». Дихотомию между кинетической энергией и потенциальной энергией можно проследить до концепций Аристотеля о действительности и потенциальности . ^[3]

Принцип классической механики , согласно которому E ∝ mv ^2, был впервые развит Готфридом Лейбницем и Иоганном Бернулли , которые описали кинетическую энергию как живую силу , vis viva . ^{[4] : 227} Гравесанд Виллема из Нидерландов предоставил экспериментальное подтверждение этой взаимосвязи в 1722 году. Сбрасывая гири с разной высоты в глыбу глины, Гравесанд Виллема определил, что глубина их проникновения пропорциональна квадрату их удара. скорость. Эмили дю Шатле осознала последствия эксперимента и опубликовала объяснение. ^[5]

Термины «кинетическая энергия» и «работа» в их нынешнем научном значении появились в середине XIX века. Раннее понимание этих идей можно отнести к Гаспару-Гюставу Кориолису , который в 1829 году опубликовал статью под названием « Du Calcul de l'Effet des Machines», в которой излагалась математика кинетической энергии. Уильяму Томсону , позже лорду Кельвину, принадлежит заслуга в создании термина «кинетическая энергия». 1849–1851. ^{[6] [7]} Рэнкин , который ввел термин «потенциальная энергия» в 1853 году и фразу «фактическая энергия» в дополнение к нему, ^[8] позже цитирует Уильяма Томсона и Питера Тейта , которые заменили слово «кинетическая» словом «кинетическая». действительный". ^[9]

Обзор

Энергия существует во многих формах, включая химическую энергию , тепловую энергию , электромагнитное излучение , гравитационную энергию , электрическую энергию , упругую энергию , ядерную энергию и энергию покоя . Их можно разделить на два основных класса: потенциальная энергия и кинетическая энергия. Кинетическая энергия – это энергия движения объекта. Кинетическая энергия может передаваться между объектами и трансформироваться в другие виды энергии. ^[10]

Кинетическая энергия может быть лучше всего понята на примерах, демонстрирующих, как она преобразуется в другие формы энергии и обратно. Например, велосипедист использует химическую энергию, получаемую из пищи , чтобы разогнать велосипед до выбранной скорости. На ровной поверхности эту скорость можно поддерживать без дополнительных усилий, кроме преодоления сопротивления воздуха и трения . Химическая энергия была преобразована в кинетическую энергию, энергию движения, но этот процесс не является полностью эффективным и приводит к выделению тепла внутри велосипедиста.

Кинетическая энергия движущегося велосипедиста и велосипеда может быть преобразована в другие формы. Например, велосипедист может столкнуться с холмом, достаточно высоким для того, чтобы начать движение по инерции, и на вершине велосипед полностью остановится. Кинетическая энергия теперь в значительной степени преобразована в гравитационную потенциальную энергию, которую можно высвободить, спускаясь по другой стороне холма. Поскольку велосипед потерял часть своей энергии из-за трения, он никогда не наберет полную скорость без дополнительного вращения педалей. Энергия не уничтожается; он был преобразован в другую форму только трением. В качестве альтернативы велосипедист может подключить динамо-машину к одному из колес и генерировать электрическую энергию на спуске. У подножия холма велосипед будет двигаться медленнее, чем без генератора, поскольку часть энергии переводится в электрическую. Другая возможность заключается в том, что велосипедист задействует тормоза, и в этом случае кинетическая энергия будет рассеиваться за счет трения в виде тепла .

Как и любая физическая величина, которая является функцией скорости, кинетическая энергия объекта зависит от отношения между объектом и системой отсчета наблюдателя . Таким образом, кинетическая энергия объекта не является инвариантной .

Космический корабль использует химическую энергию для запуска и приобретает значительную кинетическую энергию для достижения орбитальной скорости . На полностью круговой орбите эта кинетическая энергия остается постоянной, поскольку в околоземном пространстве почти нет трения. Однако это становится очевидным при входе в атмосферу, когда часть кинетической энергии преобразуется в тепло. Если орбита эллиптическая или гиперболическая , то на протяжении орбиты происходит обмен кинетической и потенциальной энергией ; Кинетическая энергия наибольшая, а потенциальная энергия наименьшая при максимальном приближении к Земле или другому массивному телу, тогда как потенциальная энергия наибольшая, а кинетическая энергия наименьшая на максимальном расстоянии. Однако, независимо от потерь или выигрышей, сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной.

Кинетическая энергия может передаваться от одного объекта к другому. В игре в бильярд игрок передает битку кинетическую энергию, ударяя по нему кием. Если биток сталкивается с другим шаром, он резко замедляется, а шар, в который он попадает, ускоряется, поскольку ему передается кинетическая энергия. Столкновения в бильярде — это фактически упругие столкновения , при которых кинетическая энергия сохраняется. При неупругих столкновениях кинетическая энергия рассеивается в различных формах энергии, таких как тепло, звук и энергия связи (разрушение связанных структур).

Маховики были разработаны как метод хранения энергии . Это показывает, что кинетическая энергия также сохраняется во вращательном движении.

Существует несколько математических описаний кинетической энергии, описывающих ее в соответствующей физической ситуации. Для объектов и процессов в обычном человеческом опыте подходит формула ½mv², данная классической механикой . Однако если скорость объекта сравнима со скоростью света, релятивистские эффекты становятся значительными и используется релятивистская формула. Если объект находится в атомном или субатомном масштабе , квантово-механические эффекты значительны, и необходимо использовать квантово-механическую модель.

Кинетическая энергия для нерелятивистской скорости

Лечение кинетической энергии зависит от относительной скорости объектов по сравнению с фиксированной скоростью света . Скорости, с которыми непосредственно сталкиваются люди, нерелятивистичны ; более высокие скорости требуют теории относительности .

Кинетическая энергия твердых тел

В классической механике кинетическая энергия точечного объекта (объекта настолько малого, что можно предположить, что его масса существует в одной точке) или невращающегося твердого тела зависит как от массы тела, так и от его скорости . Кинетическая энергия равна 1/2 произведения массы на квадрат скорости. В виде формулы:

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

где – масса, – скорость (величина скорости) тела. В единицах СИ масса измеряется в килограммах , скорость — в метрах в секунду , а результирующая кинетическая энергия — в джоулях . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v}$

Например, можно рассчитать кинетическую энергию массы 80 кг (около 180 фунтов), движущейся со скоростью 18 метров в секунду (около 40 миль в час или 65 км/ч), как

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}\cdot 80\,{\text{kg}}\cdot \left(18\,{\text{m/s}}\right)^{2}=12,960\,{\text{J}}=12.96\,{\text{kJ}}}$

Когда человек бросает мяч, он работает над тем, чтобы придать ему скорость, когда он покидает руку. Затем движущийся мяч может ударить что-нибудь и толкнуть это, выполняя работу над объектом удара. Кинетическая энергия движущегося объекта равна работе, необходимой для вывода его из состояния покоя на эту скорость, или работе, которую объект может совершить в состоянии покоя: чистая сила × смещение = кинетическая энергия , т. е.

${\displaystyle Fs={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Поскольку кинетическая энергия увеличивается пропорционально квадрату скорости, объект, удваивающий свою скорость, будет иметь в четыре раза больше кинетической энергии. Например, автомобилю, движущемуся в два раза быстрее другого, для остановки требуется в четыре раза большее расстояние, при условии постоянной тормозной силы. В результате этого увеличения в четыре раза требуется в четыре раза больше работы, чтобы удвоить скорость.

Кинетическая энергия объекта связана с его импульсом уравнением:

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {p^{2}}{2m}}}$

где:

• ${\displaystyle p}$это импульс
• ${\displaystyle m}$это масса тела

Для поступательной кинетической энергии, то есть кинетической энергии, связанной с прямолинейным движением твердого тела с постоянной массой , центр масс которого движется прямолинейно со скоростью , как видно выше, равна ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle E_{\text{t}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

где:

• ${\displaystyle m}$это масса тела
• ${\displaystyle v}$- скорость центра масс тела.

Кинетическая энергия любого объекта зависит от системы отсчета, в которой она измеряется. Однако полная энергия изолированной системы, т. е. такой, в которую энергия не может ни войти, ни выйти, не меняется со временем в той системе отсчета, в которой она измеряется. Таким образом, химическая энергия, преобразованная в кинетическую энергию ракетным двигателем, по-разному делится между ракетным кораблем и потоком его выхлопных газов в зависимости от выбранной системы отсчета. Это называется эффектом Оберта . Но полная энергия системы, включая кинетическую энергию, химическую энергию топлива, теплоту и т. д., сохраняется во времени независимо от выбора системы отсчета. Однако разные наблюдатели, движущиеся в разных системах отсчета, расходятся во мнениях относительно ценности этой сохраняющейся энергии.

Кинетическая энергия таких систем зависит от выбора системы отсчета: система отсчета, которая дает минимальное значение этой энергии, является центром системы импульса , то есть системой отсчета, в которой полный импульс системы равен нулю. Эта минимальная кинетическая энергия способствует инвариантной массе системы в целом.

Вывод

Без векторного исчисления

Работа W, совершаемая силой F над телом на расстоянии s, параллельном F , равна

${\displaystyle W=F\cdot s}$.

Использование второго закона Ньютона

${\displaystyle F=ma}$

с m масса и a ускорение объекта и

${\displaystyle s={\frac {at^{2}}{2}}}$

расстояние, пройденное ускоренным объектом за время t , находим с для скорости v объекта ${\displaystyle v=at}$

${\displaystyle W=ma{\frac {at^{2}}{2}}={\frac {m(at)^{2}}{2}}={\frac {mv^{2}}{2}}.}$

С векторным исчислением

Работа, совершаемая при ускорении частицы массы m за бесконечно малый интервал времени dt , определяется скалярным произведением силы F и бесконечно малого перемещения d x

${\displaystyle \mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\cdot \mathbf {v} dt=\mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\mathbf {v} \cdot d(m\mathbf {v} )\,,}$

где мы предположили соотношение p  =  m  v и справедливость второго закона Ньютона . (Однако см. также специальный релятивистский вывод ниже.)

Применяя правило произведения , мы видим, что:

${\displaystyle d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )=(d\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot (d\mathbf {v} )=2(\mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} ).}$

Следовательно (предполагая постоянную массу и dm = 0), мы имеем:

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot d(m\mathbf {v} )={\frac {m}{2}}d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )={\frac {m}{2}}dv^{2}=d\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right).}$

Поскольку это полный дифференциал (то есть он зависит только от конечного состояния, а не от того, как туда попала частица), мы можем его проинтегрировать и назвать результат кинетической энергией:

${\displaystyle E_{\text{k}}=\int _{v_{1}}^{v_{2}}\mathbf {p} d\mathbf {v} =\int _{v_{1}}^{v_{2}}m\mathbf {v} d\mathbf {v} ={mv^{2} \over 2}{\bigg \vert }_{v_{1}}^{v_{2}}={1 \over 2}m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}).}$

Это уравнение утверждает, что кинетическая энергия ( E _k ) равна интегралу скалярного произведения импульса ( p ) тела и бесконечно малого изменения скорости ( v ) тела. Предполагается, что тело стартует без кинетической энергии, когда оно покоится (неподвижно).

Вращающиеся тела

Если твердое тело Q вращается вокруг любой линии, проходящей через центр масс, то оно имеет кинетическую энергию вращения ( ), которая представляет собой просто сумму кинетических энергий его движущихся частей и, таким образом, определяется выражением: ${\displaystyle E_{\text{r}}\,}$

${\displaystyle E_{\text{r}}=\int _{Q}{\frac {v^{2}dm}{2}}=\int _{Q}{\frac {(r\omega )^{2}dm}{2}}={\frac {\omega ^{2}}{2}}\int _{Q}{r^{2}}dm={\frac {\omega ^{2}}{2}}I={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}}$

где:

• ω - угловая скорость тела
• r - расстояние любой массы, дм, от этой линии.
• ${\displaystyle I}$– момент инерции тела , равный . ${\textstyle \int _{Q}{r^{2}}dm}$

(В этом уравнении момент инерции должен быть измерен вокруг оси, проходящей через центр масс, а вращение, измеряемое ω, должно происходить вокруг этой оси; более общие уравнения существуют для систем, в которых объект подвержен раскачиванию из-за своей эксцентричной формы) .

Кинетическая энергия систем

Система тел может обладать внутренней кинетической энергией вследствие относительного движения тел в системе. Например, в Солнечной системе планеты и планетоиды вращаются вокруг Солнца. В резервуаре с газом молекулы движутся во всех направлениях. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий содержащихся в ней тел.

Макроскопическое тело, которое является стационарным (т.е. система отсчета была выбрана так, чтобы соответствовать центру импульса тела ), может иметь различные виды внутренней энергии на молекулярном или атомном уровне, которую можно рассматривать как кинетическую энергию из-за молекулярной трансляции. вращение и вибрация, трансляция и спин электрона, а также ядерный спин. Все это способствует увеличению массы тела, как это предусмотрено специальной теорией относительности. При обсуждении движений макроскопического тела обычно имеется в виду кинетическая энергия только макроскопического движения. Однако все внутренние энергии всех типов вносят вклад в массу, инерцию и общую энергию тела.

Динамика жидкостей

В гидродинамике кинетическая энергия единицы объема в каждой точке поля потока несжимаемой жидкости называется динамическим давлением в этой точке. ^[11]

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Разделив на V, единицу объема:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E_{\text{k}}}{V}}&={\frac {1}{2}}{\frac {m}{V}}v^{2}\\q&={\frac {1}{2}}\rho v^{2}\end{aligned}}}$

где – динамическое давление, ρ – плотность несжимаемой жидкости. ${\displaystyle q}$

Точка зрения

Скорость и, следовательно, кинетическая энергия отдельного объекта зависят от системы отсчета (относительны): она может принимать любое неотрицательное значение при выборе подходящей инерциальной системы отсчета . Например, пуля, пролетевшая мимо наблюдателя, имеет кинетическую энергию в системе отсчета этого наблюдателя. Одна и та же пуля неподвижна по отношению к наблюдателю, движущемуся с той же скоростью, что и пуля, и поэтому имеет нулевую кинетическую энергию. ^[12] Напротив, полная кинетическая энергия системы объектов не может быть уменьшена до нуля путем подходящего выбора инерциальной системы отсчета, если только все объекты не имеют одинаковую скорость. В любом другом случае полная кинетическая энергия имеет ненулевой минимум, поскольку нельзя выбрать инерциальную систему отсчета, в которой все объекты были бы неподвижны. Эта минимальная кинетическая энергия способствует инвариантной массе системы , которая не зависит от системы отсчета.

Полная кинетическая энергия системы зависит от инерциальной системы отсчета : это сумма полной кинетической энергии в центре системы импульса и кинетической энергии, которую имела бы полная масса, если бы она была сконцентрирована в центре масс .

Это можно показать просто: пусть будет относительная скорость центра масс i в системе отсчета k . С ${\displaystyle \textstyle \mathbf {V} }$

${\displaystyle v^{2}=\left(v_{i}+V\right)^{2}=\left(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {V} \right)=\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}+2\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {V} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} =v_{i}^{2}+2\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {V} +V^{2},}$

Затем,

${\displaystyle E_{\text{k}}=\int {\frac {v^{2}}{2}}dm=\int {\frac {v_{i}^{2}}{2}}dm+\mathbf {V} \cdot \int \mathbf {v} _{i}dm+{\frac {V^{2}}{2}}\int dm.}$

Однако пусть кинетическая энергия в системе с центром масс будет просто полным импульсом, который по определению равен нулю в системе с центром масс, и пусть полная масса: . Подставив, получим: ^[13] ${\textstyle \int {\frac {v_{i}^{2}}{2}}dm=E_{i}}$ ${\textstyle \int \mathbf {v} _{i}dm}$ ${\textstyle \int dm=M}$

${\displaystyle E_{\text{k}}=E_{i}+{\frac {MV^{2}}{2}}.}$

Таким образом, кинетическая энергия системы наименьшая в системе отсчета с центром импульса, т. е. в системе отсчета, в которой центр масс неподвижен (либо система центра масс , либо любой другой центр системы импульса ). В любой другой системе отсчета существует дополнительная кинетическая энергия, соответствующая общей массе, движущейся со скоростью центра масс. Кинетическая энергия системы в центре системы импульсов — величина инвариантная (все наблюдатели видят ее одинаковой).

Ротация в системах

Иногда бывает удобно разделить полную кинетическую энергию тела на сумму поступательной кинетической энергии центра масс тела и энергии вращения вокруг центра масс ( энергии вращения ):

${\displaystyle E_{\text{k}}=E_{\text{t}}+E_{\text{r}}}$

где:

• E _k – полная кинетическая энергия
• E _t - поступательная кинетическая энергия
• E _r - энергия вращения или угловая кинетическая энергия в системе покоя.

Таким образом, кинетическая энергия теннисного мяча в полете представляет собой кинетическую энергию, обусловленную его вращением, плюс кинетическую энергию, обусловленную его перемещением.

Релятивистская кинетическая энергия

Если скорость тела составляет значительную часть скорости света , необходимо использовать релятивистскую механику для расчета его кинетической энергии. В теории относительности полная энергия определяется соотношением энергия-импульс :

$${\displaystyle E^{2}=(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}\,}$$

Здесь мы используем релятивистское выражение для линейного импульса: , где . с массой (покоя) объекта , скоростью и c скоростью света в вакууме. Тогда кинетическая энергия равна полной релятивистской энергии минус энергия покоя : ${\displaystyle p=m\gamma v}$ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle E_{K}=E-m_{0}c^{2}={\sqrt {(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}}}-m_{0}c^{2}}$$

На низких скоростях квадратный корень может расширяться, а остальная энергия выпадает, давая ньютоновскую кинетическую энергию.

Логарифм релятивистской кинетической энергии в сравнении с логарифмом релятивистского импульса для многих объектов совершенно разных масштабов. Пересечения объектных линий с нижней осью приближаются к энергии покоя. При низкой кинетической энергии наклон объектных линий отражает механику Ньютона. По мере приближения линий склон изгибается у барьера скорости света. ${\displaystyle c}$

Вывод

Начнем с выражения для линейного импульса , где . Интегрирование по частям дает ${\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v} }$ ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

${\displaystyle E_{\text{k}}=\int \mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\int \mathbf {v} \cdot d(m\gamma \mathbf {v} )=m\gamma \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} -\int m\gamma \mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} =m\gamma v^{2}-{\frac {m}{2}}\int \gamma d\left(v^{2}\right)}$

С , ${\displaystyle \gamma =\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma v^{2}-{\frac {-mc^{2}}{2}}\int \gamma d\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\\&=m\gamma v^{2}+mc^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}-E_{0}\end{aligned}}}$

${\displaystyle E_{0}}$— константа интегрирования для неопределенного интеграла .

Упрощая выражение, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma \left(v^{2}+c^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\right)-E_{0}\\&=m\gamma \left(v^{2}+c^{2}-v^{2}\right)-E_{0}\\&=m\gamma c^{2}-E_{0}\end{aligned}}}$

${\displaystyle E_{0}}$находится, наблюдая, что когда и , давая ${\displaystyle \mathbf {v} =0,\ \gamma =1}$ ${\displaystyle E_{\text{k}}=0}$

${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$

в результате чего получается формула

${\displaystyle E_{\text{k}}=m\gamma c^{2}-mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-mc^{2}=(\gamma -1)mc^{2}}$

Эта формула показывает, что работа, затраченная на ускорение объекта из состояния покоя, приближается к бесконечности по мере приближения скорости к скорости света. Таким образом, невозможно ускорить объект через эту границу.

Математическим побочным продуктом этого расчета является формула эквивалентности массы и энергии : тело в состоянии покоя должно иметь содержание энергии.

${\displaystyle E_{\text{rest}}=E_{0}=mc^{2}}$

На малой скорости ( v ≪ c ) релятивистская кинетическая энергия хорошо аппроксимируется классической кинетической энергией. Это делается с помощью биномиальной аппроксимации или путем принятия первых двух членов разложения Тейлора за обратный квадратный корень:

${\displaystyle E_{\text{k}}\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)-mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

Таким образом, полную энергию можно разделить на энергию массы покоя плюс нерелятивистскую кинетическую энергию на низких скоростях. ${\displaystyle E_{k}}$

Когда объекты движутся со скоростью, значительно меньшей скорости света (например, в повседневных явлениях на Земле), преобладают первые два члена ряда. Следующий член в приближении ряда Тейлора

${\displaystyle E_{\text{k}}\approx mc^{2}\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+{\frac {3}{8}}{\frac {v^{4}}{c^{4}}}\right)-mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {3}{8}}m{\frac {v^{4}}{c^{2}}}}$

мал для низких скоростей. Например, для скорости 10 км/с (22 000 миль в час) поправка к нерелятивистской кинетической энергии составляет 0,0417 Дж/кг (при нерелятивистской кинетической энергии 50 МДж/кг), а для скорости 100 км /с это 417 Дж/кг (при нерелятивистской кинетической энергии 5 ГДж/кг).

Релятивистская связь между кинетической энергией и импульсом определяется выражением

${\displaystyle E_{\text{k}}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}}$

Его также можно разложить в ряд Тейлора , первый член которого представляет собой простое выражение из механики Ньютона: ^[14]

${\displaystyle E_{\text{k}}\approx {\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}.}$

Это говорит о том, что формулы энергии и импульса не являются специальными и аксиоматическими, а представляют собой концепции, вытекающие из эквивалентности массы и энергии и принципов относительности.

Общая теория относительности

Используя соглашение, которое

${\displaystyle g_{\alpha \beta }\,u^{\alpha }\,u^{\beta }\,=\,-c^{2}}$

где четырехскорость частицы равна

${\displaystyle u^{\alpha }\,=\,{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}}$

и — собственное время частицы, в общей теории относительности также существует выражение для кинетической энергии частицы . ${\displaystyle \tau }$

Если частица имеет импульс

${\displaystyle p_{\beta }\,=\,m\,g_{\beta \alpha }\,u^{\alpha }}$

когда она проходит мимо наблюдателя с четырехскоростным u _obs , то выражение для полной энергии наблюдаемой частицы (измеренной в локальной инерциальной системе отсчета) имеет вид

${\displaystyle E\,=\,-\,p_{\beta }\,u_{\text{obs}}^{\beta }}$

а кинетическую энергию можно выразить как полную энергию минус энергия покоя:

${\displaystyle E_{k}\,=\,-\,p_{\beta }\,u_{\text{obs}}^{\beta }\,-\,m\,c^{2}\,.}$

Рассмотрим случай диагональной и пространственно изотропной метрики ( g _tt , g _ss , g _ss , g _ss ). С

${\displaystyle u^{\alpha }={\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=v^{\alpha }u^{t}}$

где v ^α — обычная скорость, измеренная относительно системы координат, получаем

${\displaystyle -c^{2}=g_{\alpha \beta }u^{\alpha }u^{\beta }=g_{tt}\left(u^{t}\right)^{2}+g_{ss}v^{2}\left(u^{t}\right)^{2}\,.}$

Решение для вас ^дает

${\displaystyle u^{t}=c{\sqrt {\frac {-1}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}\,.}$

Таким образом, для стационарного наблюдателя ( v = 0)

${\displaystyle u_{\text{obs}}^{t}=c{\sqrt {\frac {-1}{g_{tt}}}}}$

и, таким образом, кинетическая энергия принимает вид

${\displaystyle E_{\text{k}}=-mg_{tt}u^{t}u_{\text{obs}}^{t}-mc^{2}=mc^{2}{\sqrt {\frac {g_{tt}}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}-mc^{2}\,.}$

Вычет остальной энергии дает:

${\displaystyle E_{\text{k}}=mc^{2}\left({\sqrt {\frac {g_{tt}}{g_{tt}+g_{ss}v^{2}}}}-1\right)\,.}$

Это выражение сводится к специальному релятивистскому случаю для метрики плоского пространства, где

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{tt}&=-c^{2}\\g_{ss}&=1\,.\end{aligned}}}$

В ньютоновском приближении общей теории относительности

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{tt}&=-\left(c^{2}+2\Phi \right)\\g_{ss}&=1-{\frac {2\Phi }{c^{2}}}\end{aligned}}}$

где Φ – ньютоновский гравитационный потенциал . Это означает, что часы идут медленнее, а измерительные стержни короче вблизи массивных тел.

Кинетическая энергия в квантовой механике

В квантовой механике наблюдаемые величины, такие как кинетическая энергия, представлены как операторы . Для одной частицы массы m оператор кинетической энергии появляется как член гамильтониана и определяется в терминах более фундаментального оператора импульса . Оператор кинетической энергии в нерелятивистском случае можно записать как ${\displaystyle {\hat {p}}}$

${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}.}$

Обратите внимание, что это можно получить, заменив на в классическом выражении для кинетической энергии через импульс : ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$

${\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {p^{2}}{2m}}.}$

В картине Шредингера принимает форму , в которой производная берется по координатам положения и, следовательно, ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle -i\hbar \nabla }$

${\displaystyle {\hat {T}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}.}$

Ожидаемое значение кинетической энергии электронов , для системы N электронов, описываемой волновой функцией , представляет собой сумму средних значений одноэлектронного оператора: ${\displaystyle \left\langle {\hat {T}}\right\rangle }$ ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$

${\displaystyle \left\langle {\hat {T}}\right\rangle =\left\langle \psi \left\vert \sum _{i=1}^{N}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\nabla _{i}^{2}\right\vert \psi \right\rangle =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\sum _{i=1}^{N}\left\langle \psi \left\vert \nabla _{i}^{2}\right\vert \psi \right\rangle }$

где – масса электрона, – оператор Лапласа , действующий на координаты i ^-го электрона, суммирование проводится по всем электронам. ${\displaystyle m_{\text{e}}}$ ${\displaystyle \nabla _{i}^{2}}$

Формализм функционала плотности квантовой механики требует знания только электронной плотности , т. е. формально не требует знания волновой функции. Учитывая плотность электронов , точный функционал кинетической энергии N-электронов неизвестен; однако для конкретного случая одноэлектронной системы кинетическую энергию можно записать как ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle T[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d^{3}r}$

где известен как функционал кинетической энергии фон Вайцзеккера . ${\displaystyle T[\rho ]}$

Смотрите также

• Энергетический портал

• Скорость убегания
• Фут-фунт
• Джоуль
• Пенетратор кинетической энергии
• Кинетическая энергия единицы массы снаряда
• Кинетический снаряд
• Теорема о параллельной оси
• Потенциальная энергия
• Отдача

Примечания

1. Джайн, Махеш К. (2009). Учебник инженерной физики (часть I). PHI Learning Pvt. п. 9. ISBN 978-81-203-3862-3. Архивировано из оригинала 04 августа 2020 г. Проверено 21 июня 2018 г., Глава 1, с. 9. Архивировано 4 августа 2020 г. в Wayback Machine.
2. Резник, Роберт и Холлидей, Дэвид (1960) Физика , Раздел 7-5, Wiley International Edition
3. Бреннер, Джозеф (2008). Логика в реальности (иллюстрированное ред.). Springer Science & Business Media. п. 93. ИСБН 978-1-4020-8375-4. Архивировано из оригинала 25 января 2020 г. Проверено 1 февраля 2016 г.Отрывок из страницы 93. Архивировано 4 августа 2020 г. на Wayback Machine.
4. Перо, Норман (1959). Введение в физику массы-длины и времени - твердый переплет . Издательство Эдинбургского университета.
5. Джудит П. Зинсер (2007). Эмили дю Шатле: Отважный гений Просвещения . Пингвин. ISBN 978-0-14-311268-6.
6. Кросби Смит, М. Нортон Уайз (26 октября 1989). Энергия и империя: биографическое исследование лорда Кельвина . Издательство Кембриджского университета. п. 866. ИСБН 0-521-26173-2.
7. Джон Теодор Мерц (1912). История европейской мысли в девятнадцатом веке . Черное дерево. п. 139. ИСБН 0-8446-2579-5.
8. Уильям Джон Маккорн Рэнкин (1853). «Об общем законе превращения энергии». Труды Философского общества Глазго . 3 (5).
9. «... что оставалось сделать, так это квалифицировать существительное «энергия» соответствующими прилагательными, чтобы различать энергию активности и энергию конфигурации. Хорошо известная пара противоположных прилагательных, «актуальный» и « «потенциальный», казалось, идеально подходил для этой цели… Сэр Уильям Томсон и профессор Тейт недавно заменили слово «действительный» на «кинетический »» ( William John Macquorn Rankine (1867). «О фразе «потенциальная энергия» и об определениях физических величин». Труды Философского общества Глазго . VI (III).
10. Гоэл, В.К. (2007). Основы физики Xi (иллюстрированное изд.). Тата МакГроу-Хилл Образование. п. 12.30. ISBN 978-0-07-062060-5. Архивировано из оригинала 03 августа 2020 г. Проверено 7 июля 2020 г.Отрывок страницы 12.30. Архивировано 7 июля 2020 г. на Wayback Machine.
11. AM Kuethe и JD Schetzer (1959) Основы аэродинамики , 2-е издание, стр.53. ISBN Джона Уайли и сыновей 0-471-50952-3 
12. Сирс, Фрэнсис Уэстон; Бреме, Роберт В. (1968). Введение в теорию относительности . Аддисон-Уэсли. п. 127., Фрагмент страницы 127. Архивировано 4 августа 2020 г. на Wayback Machine.
13. Заметки по физике — Кинетическая энергия в системе координат CM. Архивировано 11 июня 2007 г. в Wayback Machine . Герцог .edu. Доступ 24 ноября 2007 г.
14. Фитцпатрик, Ричард (20 июля 2010 г.). «Тонкая структура водорода». Квантовая механика . Архивировано из оригинала 25 августа 2016 года . Проверено 20 августа 2016 г.

Рекомендации

• Кабинет физики (2000). "Кинетическая энергия" . Проверено 19 июля 2015 г.
• Школа математики и статистики Сент-Эндрюсского университета (2000). «Жизнеописание Гаспара-Гюстава Кориолиса (1792-1843)» . Проверено 3 марта 2006 г.
• Сервей, Раймонд А.; Джуэтт, Джон В. (2004). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Брукс/Коул. ISBN 0-534-40842-7.
• Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: Механика, колебания и волны, Термодинамика (5-е изд.). У. Х. Фриман. ISBN 0-7167-0809-4.
• Типлер, Пол; Ллевеллин, Ральф (2002). Современная физика (4-е изд.). У. Х. Фриман. ISBN 0-7167-4345-0.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с кинетической энергией, на Викискладе?