Категория кинжала

Категория оснащена инволюцией

В теории категорий , разделе математики , кинжальная категория (также называемая инволютивной категорией или категорией с инволюцией ^{[1] [2]} ) — это категория, снабженная определенной структурой, называемой кинжалом или инволюцией . Название кинжальная категория было придумано Питером Селинджером. ^[3]

Формальное определение

Категория кинжала — это категория, снабженная инволютивным контравариантным эндофунктором , который является тождеством на объектах . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \dagger }$

В деталях это означает, что:

• для всех морфизмов существует его сопряженный ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle f^{\dagger }:B\to A}$
• для всех морфизмов , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f^{\dagger })^{\dagger }=f}$
• для всех объектов , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}^{\dagger }=\mathrm {id} _{A}}$
• для всех и , ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g:B\to C}$ ${\displaystyle (g\circ f)^{\dagger }=f^{\dagger }\circ g^{\dagger }:C\to A}$

Обратите внимание, что в предыдущем определении термин «сопряжённый» используется в смысле, аналогичном (и вдохновлённом) линейно-алгебраическому , а не в теоретико-категорном смысле .

Некоторые источники ^[5] определяют категорию с инволюцией как кинжальную категорию с дополнительным свойством, заключающимся в том, что ее набор морфизмов частично упорядочен и что порядок морфизмов совместим с композицией морфизмов, то есть для морфизмов , , всякий раз, когда их источники и цели совместимы. ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle a\circ c<b\circ c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Примеры

• Категория Rel множеств и отношений обладает кинжальной структурой: для данного отношения в Rel отношение является реляционным обратным к . В этом примере самосопряженный морфизм является симметричным отношением . ${\displaystyle R:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle R^{\dagger }:Y\rightarrow X}$ ${\displaystyle R}$
• Категория кобордизмов Cob является кинжальной компактной категорией , в частности , она обладает кинжальной структурой.
• Категория Hilb гильбертовых пространств также обладает кинжальной структурой: если задано ограниченное линейное отображение , то это отображение является просто его сопряженным в обычном смысле. ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ ${\displaystyle f^{\dagger }:B\rightarrow A}$
• Любой моноид с инволюцией является категорией кинжала с единственным объектом. Фактически, каждый эндоморфизм hom-set в категории кинжала является не просто моноидом , а моноидом с инволюцией из-за кинжала.
• Дискретная категория — это, по сути, кинжальная категория.
• Группоид (и как тривиальное следствие, группа ) также имеет кинжальную структуру , где сопряженный морфизм является его обратным. В этом случае все морфизмы унитарны (определение ниже).

Замечательные морфизмы

В категории кинжалов морфизм называется ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle f}$

• унитарно, если ${\displaystyle f^{\dagger }=f^{-1},}$
• самосопряженный, если ${\displaystyle f^{\dagger }=f.}$

Последнее возможно только для эндоморфизма . Термины унитарный и самосопряженный в предыдущем определении взяты из категории гильбертовых пространств, где морфизмы, удовлетворяющие этим свойствам, являются тогда унитарными и самосопряженными в обычном смысле. ${\displaystyle f\colon A\to A}$

Смотрите также

• Математический портал

• *-алгебра
• Кинжальная симметричная моноидальная категория
• Категория компактных кинжалов

Ссылки

1. М. Бургин, Категории с инволюцией и соответствия в γ-категориях , IX Всесоюзный алгебраический коллоквиум, Гомель (1968), с.34–35; М. Бургин, Категории с инволюцией и отношения в γ-категориях , Труды Московского математического общества, 1970, т. 22, с. 161–228
2. J. Lambek , Диаграммный поиск в упорядоченных категориях с инволюцией , Журнал чистой и прикладной алгебры 143 (1999), № 1–3, 293–307
3. П. Селинджер, Компактные замкнутые категории Dagger и полностью положительные отображения , Труды 3-го Международного семинара по квантовым языкам программирования, Чикаго, 30 июня – 1 июля 2005 г.
4. "Категория кинжалов в nLab".
5. Цаленко, М.Ш. (2001) [1994], "Категория с инволюцией", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС

• Категория «Кинжал» в n Lab