Классификация Энрикеса-Кодайры

Математическая классификация поверхностей

В математике классификация Энриквеса –Кодаиры группирует компактные комплексные поверхности в десять классов, каждый из которых параметризован пространством модулей . Для большинства классов пространства модулей хорошо изучены, но для класса поверхностей общего типа пространства модулей кажутся слишком сложными для явного описания, хотя некоторые компоненты известны.

Макс Нётер начал систематическое изучение алгебраических поверхностей, а Гвидо Кастельнуово доказал важные части классификации. Федериго Энрикес  (1914, 1949) описал классификацию комплексных проективных поверхностей. Кунихико Кодаира  (1964, 1966, 1968a, 1968b) позже расширил классификацию, включив в нее неалгебраические компактные поверхности. Аналогичная классификация поверхностей в положительной характеристике была начата Дэвидом Мамфордом  (1969) и завершена Энрико Бомбьери и Дэвидом Мамфордом (1976, 1977); она похожа на проективный случай характеристики 0, за исключением того, что также получаются особые и суперособые поверхности Энриквеса в характеристике 2 и квазигиперэллиптические поверхности в характеристиках 2 и 3.

Заявление о классификации

Числа Черна минимальных комплексных поверхностей

Классификация компактных комплексных поверхностей Энриквеса–Кодайры гласит, что каждая неособая минимальная компактная комплексная поверхность принадлежит ровно к одному из 10 типов, перечисленных на этой странице; другими словами, это одна из рациональных, линейчатых (род > 0), типа VII, K3, Энриквеса, Кодаиры, торических, гиперэллиптических, собственно квазиэллиптических или поверхностей общего типа.

Для 9 классов поверхностей, отличных от общего типа, существует довольно полное описание того, как выглядят все поверхности (которое для класса VII зависит от глобальной гипотезы сферической оболочки , все еще не доказанной в 2024 году). Для поверхностей общего типа мало что известно об их явной классификации, хотя было найдено много примеров.

Классификация алгебраических поверхностей в положительной характеристике (Mumford 1969, Mumford & Bombieri 1976, 1977) похожа на классификацию алгебраических поверхностей в характеристике 0, за исключением того, что нет поверхностей Кодаиры или поверхностей типа VII, и есть некоторые дополнительные семейства поверхностей Энриквеса в характеристике 2 и гиперэллиптических поверхностей в характеристиках 2 и 3, а в размерности Кодаиры 1 в характеристиках 2 и 3 также допускаются квазиэллиптические расслоения. Эти дополнительные семейства можно понимать следующим образом: в характеристике 0 эти поверхности являются факторами поверхностей по конечным группам, но в конечных характеристиках также можно брать факторы по схемам конечных групп , которые не являются этальными .

Оскар Зарисский построил некоторые поверхности в положительной характеристике, которые являются унирациональными, но не рациональными, полученные из неразделимых расширений ( поверхности Зарисского ). В положительной характеристике Серр показал, что могут отличаться от , а Игуса показал, что даже когда они равны, они могут быть больше нерегулярности (размерности многообразия Пикара ). ${\displaystyle h^{0}(\Omega )}$ ${\displaystyle h^{1}({\mathcal {O}})}$

Инварианты поверхностей

Числа Ходжа и размерность Кодаиры

Наиболее важные инварианты компактных комплексных поверхностей, используемые в классификации, могут быть заданы в терминах размерностей различных групп когерентных пучковых когомологий . Основными из них являются плюригенеры и числа Ходжа, определяемые следующим образом:

• K — каноническое линейное расслоение , сечения которого являются голоморфными 2-формами.

• ${\displaystyle P_{n}=\dim H^{0}(K^{n}),n\geqslant 1}$называются плюригенерами . Они являются бирациональными инвариантами, т. е. инвариантами относительно раздутия. Используя теорию Зайберга–Виттена , Роберт Фридман и Джон Морган показали, что для комплексных многообразий они зависят только от базового ориентированного гладкого 4-многообразия. Для некэлеровых поверхностей плюригенеры определяются фундаментальной группой, но для кэлеровых поверхностей есть примеры поверхностей, которые гомеоморфны, но имеют разные плюригенеры и размерности Кодаиры. Отдельные плюригенеры используются нечасто; самое важное в них — это их скорость роста, измеряемая размерностью Кодаиры .

• ${\displaystyle \kappa }$размерность Кодаиры : она равна (иногда пишется как −1), если все плюригенеры равны 0, и в противном случае является наименьшим числом (0, 1 или 2 для поверхностей), таким, что ограничено. Энрикес не использовал это определение: вместо этого он использовал значения и . Они определяют размерность Кодаиры, учитывая следующее соответствие: ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle P_{n}/n^{\kappa }}$ ${\displaystyle P_{12}}$ ${\displaystyle K\cdot K=c_{1}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa =-\infty &\longleftrightarrow P_{12}=0\\\kappa =0&\longleftrightarrow P_{12}=1\\\kappa =1&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{ and }}K\cdot K=0\\\kappa =2&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{ and }}K\cdot K>0\\\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle h^{i,j}=\dim H^{j}(X,\Omega ^{i}),}$где — пучок голоморфных i- форм, — числа Ходжа , часто расположенные в ромбе Ходжа: ${\displaystyle \Omega ^{i}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&&h^{0,0}&&\\&h^{1,0}&&h^{0,1}&\\h^{2,0}&&h^{1,1}&&h^{0,2}\\&h^{2,1}&&h^{1,2}&\\&&h^{2,2}&&\\\end{matrix}}}$

По двойственности Серра и числам Ходжа комплексной поверхности зависят только от ориентированного вещественного кольца когомологий поверхности и инвариантны относительно бирациональных преобразований, за исключением того, которое увеличивается на 1 при раздутии одной точки. ${\displaystyle h^{i,j}=h^{2-i,2-j}}$ ${\displaystyle h^{0,0}=h^{2,2}=1.}$ ${\displaystyle h^{1,1}}$

• Если поверхность кэлерова , то существует только три независимых числа Ходжа. ${\displaystyle h^{i,j}=h^{j,i}}$
• Если поверхность компактна, то равно или ${\displaystyle h^{1,0}}$ ${\displaystyle h^{0,1}}$ ${\displaystyle h^{0,1}-1.}$

Инварианты, связанные с числами Ходжа

Существует много инвариантов, которые (по крайней мере для сложных поверхностей) можно записать в виде линейных комбинаций чисел Ходжа, как показано ниже:

• Числа Бетти : определяются ${\displaystyle b_{i}=\dim H^{i}(S),0\leqslant i\leqslant 4.}$

${\displaystyle {\begin{cases}b_{0}=b_{4}=1\\b_{1}=b_{3}=h^{1,0}+h^{0,1}=h^{2,1}+h^{1,2}\\b_{2}=h^{2,0}+h^{1,1}+h^{0,2}\end{cases}}}$

В характеристике p  > 0 числа Бетти определяются с помощью l-адических когомологий и не обязаны удовлетворять этим соотношениям.

• Характеристика Эйлера или число Эйлера :

${\displaystyle e=b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4}.}$

• Нерегулярность определяется как размерность многообразия Пикара и многообразия Альбанезе и обозначается q . Для сложных поверхностей (но не всегда для поверхностей простой характеристики)

${\displaystyle q=h^{0,1}.}$

• Геометрический род :

${\displaystyle p_{g}=h^{0,2}=h^{2,0}=P_{1}.}$

• Арифметический род :

${\displaystyle p_{a}=p_{g}-q=h^{0,2}-h^{0,1}.}$

• Голоморфная эйлерова характеристика тривиального расслоения (обычно отличается от числа Эйлера e, определенного выше):

${\displaystyle \chi =p_{g}-q+1=h^{0,2}-h^{0,1}+1.}$

По формуле Нётер он также равен роду Тодда ${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}(c_{1}^{2}+c_{2}).}$

• Сигнатура второй группы когомологий для комплексных поверхностей обозначается как : ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau =4\chi -e=\sum \nolimits _{i,j}(-1)^{j}h^{i,j}.}$

• ${\displaystyle b^{\pm }}$— размерности максимальных положительно и отрицательно определенных подпространств so: ${\displaystyle H^{2},}$

${\displaystyle {\begin{cases}b^{+}+b^{-}=b_{2}\\b^{+}-b^{-}=\tau \end{cases}}}$

• c ₂ = e и являются числами Черна , определяемыми как интегралы различных полиномов в классах Черна по многообразию. ${\displaystyle c_{1}^{2}=K^{2}=12\chi -e}$

Другие инварианты

Существуют и другие инварианты компактных комплексных поверхностей, которые не так часто используются в классификации. К ним относятся алгебраические инварианты, такие как группа Пикара Pic( X ) делителей по модулю линейной эквивалентности , ее факторгруппа Нерона–Севери NS( X ) с рангом числа Пикара ρ, топологические инварианты, такие как фундаментальная группа π ₁ и целочисленные группы гомологии и когомологии, а также инварианты базового гладкого 4-многообразия, такие как инварианты Зайберга–Виттена и инварианты Дональдсона .

Минимальные модели и их раздувание

Любая поверхность бирациональна неособой поверхности, поэтому для большинства целей достаточно классифицировать неособые поверхности.

Для любой точки на поверхности мы можем образовать новую поверхность, раздув эту точку, что грубо означает, что мы заменяем ее копией проективной прямой. Для целей этой статьи неособая поверхность X называется минимальной , если она не может быть получена из другой неособой поверхности раздутием точки. По теореме Кастельнуово о стягивании это эквивалентно утверждению, что X не имеет (−1)-кривых (гладких рациональных кривых с индексом самопересечения −1). (В более современной терминологии программы минимальной модели гладкая проективная поверхность X будет называться минимальной, если ее каноническое линейное расслоение K _X является nef . Гладкая проективная поверхность имеет минимальную модель в этом более сильном смысле тогда и только тогда, когда ее размерность Кодаиры неотрицательна.)

Каждая поверхность X бирациональна минимальной неособой поверхности, и эта минимальная неособая поверхность единственна, если X имеет размерность Кодаиры не менее 0 или не является алгебраической. Алгебраические поверхности размерности Кодаиры могут быть бирациональны более чем одной минимальной неособой поверхности, но легко описать связь между этими минимальными поверхностями. Например, P ¹ × P ^{1 ,} раздутая в точке, изоморфна P ^{2 ,} раздутой дважды. Таким образом, чтобы классифицировать все компактные комплексные поверхности с точностью до бирационального изоморфизма, (более или менее) достаточно классифицировать минимальные неособые. ${\displaystyle -\infty }$

Поверхности размерности Кодаиры −∞

Алгебраические поверхности размерности Кодаиры можно классифицировать следующим образом. Если q > 0, то отображение в многообразие Альбанезе имеет слои, которые являются проективными прямыми (если поверхность минимальна), поэтому поверхность является линейчатой ​​поверхностью. Если q = 0, этот аргумент не работает, поскольку многообразие Альбанезе является точкой, но в этом случае теорема Кастельнуово подразумевает, что поверхность рациональна. ${\displaystyle -\infty }$

Для неалгебраических поверхностей Кодаира обнаружил дополнительный класс поверхностей, называемый типом VII, который до сих пор недостаточно изучен.

Рациональные поверхности

Рациональная поверхность означает поверхность, бирациональную комплексной проективной плоскости P ² . Все они алгебраические. Минимальными рациональными поверхностями являются сама P ^{2 и} поверхности Хирцебруха Σ _n для n = 0 или n ≥ 2. (Поверхность Хирцебруха Σ _n является расслоением P ¹ над P ^{1 ,} связанным с пучком O(0) + O( n ). Поверхность Σ ₀ изоморфна P ¹ × P ¹ , а Σ ₁ изоморфна P ^{2 ,} раздутому в точке, поэтому не является минимальной.)

Инварианты: все плюрироды равны 0, а фундаментальная группа тривиальна.

Ходж Даймонд:

Примеры: P ² , P ¹ × P ¹ = Σ ₀ , поверхности Хирцебруха Σ _n , квадрики , кубические поверхности , поверхности дель Пеццо , поверхность Веронезе . Многие из этих примеров не являются минимальными.

Линейчатые поверхности рода > 0

Линейчатые поверхности рода g имеют гладкий морфизм в кривую рода g , слоями которой являются прямые P ¹ . Все они алгебраические. (Поверхности рода 0 являются поверхностями Хирцебруха и рациональны.) Любая линейчатая поверхность бирационально эквивалентна P ¹ × C для единственной кривой C , поэтому классификация линейчатых поверхностей с точностью до бирациональной эквивалентности по сути такая же, как и классификация кривых. Линейчатая поверхность, не изоморфная P ¹ × P ^{1 ,} имеет единственную линейчатую поверхность ( P ¹ × P ¹ имеет две).

Инварианты: все плюрироды равны 0.

Ходж Даймонд:

Примеры: произведение любой кривой рода > 0 на P ¹ .

Поверхности VII класса

Эти поверхности никогда не являются алгебраическими или кэлеровыми . Минимальные поверхности с b ₂ = 0 были классифицированы Богомоловым и являются либо поверхностями Хопфа , либо поверхностями Иноуэ . Примерами с положительным вторым числом Бетти являются поверхности Иноуэ-Хирцебруха , поверхности Эноки и, в более общем смысле, поверхности Като . Гипотеза о глобальной сферической оболочке подразумевает, что все минимальные поверхности класса VII с положительным вторым числом Бетти являются поверхностями Като, что более или менее завершает классификацию поверхностей типа VII.

Инварианты: q = 1, h ^1,0 = 0. Все плюрироды равны 0.

Ходж Даймонд:

Поверхности Кодаиры размерности 0

Эти поверхности классифицируются, начиная с формулы Нётер. Для размерности Кодаиры 0, K имеет нулевое число пересечений с самим собой , поэтому, используя ${\displaystyle 12\chi =c_{2}+c_{1}^{2}.}$ ${\displaystyle c_{1}^{2}=0.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi &=h^{0,0}-h^{0,1}+h^{0,2}\\c_{2}&=2-2b_{1}+b_{2}\end{aligned}}}$

мы приходим к:

${\displaystyle 10+12h^{0,2}=8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}\right)+b_{2}}$

Более того, поскольку κ = 0, имеем:

${\displaystyle h^{0,2}={\begin{cases}1&K=0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Объединение этого уравнения с предыдущим дает:

${\displaystyle 8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}\right)+b_{2}={\begin{cases}22&K=0\\10&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

В общем случае 2 h ^0,1 ≥ b ₁ , поэтому три члена слева являются неотрицательными целыми числами, и существует лишь несколько решений этого уравнения.

• Для алгебраических поверхностей 2 h ^0,1 − b ₁ — четное целое число между 0 и 2 p _g .
• Для компактных комплексных поверхностей 2 h ^0,1 − b ₁ = 0 или 1.
• Для кэлеровых поверхностей 2 h ^0,1 − b ₁ = 0 и h ^1,0 = h ^0,1 .

Большинство решений этих условий соответствуют классам поверхностей, как показано в следующей таблице:

Поверхности К3

Это минимальные компактные комплексные поверхности размерности Кодаиры 0 с q = 0 и тривиальным каноническим линейным расслоением. Все они являются кэлеровыми многообразиями . Все поверхности K3 диффеоморфны, и их класс диффеоморфизма является важным примером гладкого спинового односвязного 4-многообразия.

Инварианты: Вторая группа когомологий H ² ( X , Z ) изоморфна единственной четной унимодулярной решетке II _3,19 размерности 22 и сигнатуры −16.

Ходж Даймонд:

Примеры :

• Гиперповерхности степени 4 в P ³ ( C )
• Поверхности Куммера . Они получаются путем факторизации абелевой поверхности по автоморфизму a → − a с последующим раздутием 16 особых точек.

Отмеченная поверхность K3 является поверхностью K3 вместе с изоморфизмом из II _3,19 в H ² ( X , Z ). Пространство модулей отмеченных поверхностей K3 является связным нехаусдорфовым гладким аналитическим пространством размерности 20. Алгебраические поверхности K3 образуют счетный набор 19-мерных подмногообразий этого пространства.

Абелевы поверхности и двумерные комплексные торы

Двумерные комплексные торы включают абелевы поверхности . Одномерные комплексные торы — это просто эллиптические кривые, и все они алгебраические, но Риман обнаружил, что большинство комплексных торов размерности 2 не являются алгебраическими. Алгебраические — это в точности двумерные абелевы многообразия . Большая часть их теории является частным случаем теории многомерных торов или абелевых многообразий. Критерии того, чтобы быть произведением двух эллиптических кривых (с точностью до изогении ), были популярным исследованием в девятнадцатом веке.

Инварианты: Все плюрироды равны 1. Поверхность диффеоморфна S ¹ × S ¹ × S ¹ × S ¹ , поэтому фундаментальная группа — Z ⁴ .

Ходж Даймонд:

Примеры: Произведение двух эллиптических кривых. Якобиан кривой рода 2. Любое частное C ² по решетке.

Поверхности Кодаиры

Они никогда не являются алгебраическими, хотя у них есть непостоянные мероморфные функции. Обычно их делят на два подтипа: первичные поверхности Кодаиры с тривиальным каноническим расслоением и вторичные поверхности Кодаиры , которые являются факторами этих поверхностей по конечным группам порядков 2, 3, 4 или 6 и которые имеют нетривиальные канонические расслоения. Вторичные поверхности Кодаиры имеют такое же отношение к первичным, как поверхности Энриквеса к поверхностям K3 или биэллиптические поверхности к абелевым поверхностям.

Инварианты: Если поверхность является фактором первичной поверхности Кодаиры по группе порядка k = 1, 2, 3, 4, 6, то плюрироды P _n равны 1, если n делится на k , и 0 в противном случае.

Ходж Даймонд:

Примеры: Возьмем нетривиальное линейное расслоение над эллиптической кривой, удалим нулевую секцию, затем профакторизуем слои по Z, действуя как умножение на степени некоторого комплексного числа z . Это даст первичную поверхность Кодаиры.

Поверхности Энрикеса

Это комплексные поверхности, такие, что q = 0 и каноническое линейное расслоение нетривиально, но имеет тривиальный квадрат. Поверхности Энриквеса все алгебраические (и, следовательно, кэлеровы ). Они являются факторами поверхностей K3 по группе порядка 2, и их теория аналогична теории алгебраических поверхностей K3.

Инварианты: Плюригенеры P _n равны 1, если n четное, и 0, если n нечетное. Фундаментальная группа имеет порядок 2. Вторая группа когомологий H ² ( X , Z ) изоморфна сумме единственной четной унимодулярной решетки II _1,9 размерности 10 и сигнатуры −8 и группы порядка 2.

Ходж Даймонд:

Отмеченные поверхности Энриквеса образуют связное 10-мерное семейство, которое было описано явно.

В характеристике 2 имеются некоторые дополнительные семейства поверхностей Энриквеса, называемые сингулярными и суперсингулярными поверхностями Энриквеса; подробности см. в статье о поверхностях Энриквеса .

Гиперэллиптические (или биэллиптические) поверхности

Над комплексными числами это частные произведения двух эллиптических кривых на конечную группу автоморфизмов. Конечная группа может быть Z /2 Z ,   Z /2 Z  +  Z /2 Z , Z /3 Z ,   Z /3 Z  +  Z /3 Z ,   Z /4 Z ,   Z /4 Z  +  Z /2 Z , или Z /6 Z , что дает семь семейств таких поверхностей.

Ходж Даймонд:

Над полями характеристик 2 или 3 существуют некоторые дополнительные семейства, получаемые путем факторизации по неэтальной групповой схеме; подробности см. в статье о гиперэллиптических поверхностях .

Поверхности Кодаиры размерности 1

Эллиптическая поверхность — это поверхность, снабженная эллиптическим расслоением (сюръективным голоморфным отображением на кривую B, таким, что все, кроме конечного числа слоев, являются гладкими неприводимыми кривыми рода 1). Общий слой в таком расслоении — это кривая рода 1 над полем функций B. Наоборот, если задана кривая рода 1 над полем функций кривой, ее относительная минимальная модель — эллиптическая поверхность. Кодаира и другие дали довольно полное описание всех эллиптических поверхностей. В частности, Кодаира дал полный список возможных особых слоев . Теория эллиптических поверхностей аналогична теории собственных регулярных моделей эллиптических кривых над кольцами дискретного нормирования (например, кольцом p -адических целых чисел ) и областями Дедекинда (например, кольцом целых чисел числового поля).

В конечной характеристике 2 и 3 можно также получить квазиэллиптические поверхности, слои которых почти все могут быть рациональными кривыми с одним узлом, которые являются «вырожденными эллиптическими кривыми».

Каждая поверхность размерности Кодаиры 1 является эллиптической поверхностью (или квазиэллиптической поверхностью с характеристиками 2 или 3), но обратное неверно: эллиптическая поверхность может иметь размерность Кодаиры , 0 или 1. Все поверхности Энриквеса , все гиперэллиптические поверхности , все поверхности Кодаиры , некоторые поверхности K3 , некоторые абелевы поверхности и некоторые рациональные поверхности являются эллиптическими поверхностями, и эти примеры имеют размерность Кодаиры меньше 1. Эллиптическая поверхность, базовая кривая B которой имеет род не менее 2, всегда имеет размерность Кодаиры 1, но размерность Кодаиры может быть равна 1 также для некоторых эллиптических поверхностей с B рода 0 или 1. ${\displaystyle -\infty }$

Инварианты: ${\displaystyle c_{1}^{2}=0,c_{2}\geqslant 0.}$

Пример: если E — эллиптическая кривая, а B — кривая рода не менее 2, то E × B — эллиптическая поверхность размерности Кодаиры 1.

Поверхности Кодаиры размерности 2 (поверхности общего типа)

Все они алгебраические, и в некотором смысле большинство поверхностей находятся в этом классе. Гизекер показал, что существует грубая схема модулей для поверхностей общего типа; это означает, что для любых фиксированных значений чисел Черна c²
₁и c ₂ , существует квазипроективная схема, классифицирующая поверхности общего типа с этими числами Черна. Однако явное описание этих схем является очень сложной задачей, и существует очень мало пар чисел Черна, для которых это было сделано (за исключением случая, когда схема пуста!)

Инварианты: Существует несколько условий, которым должны удовлетворять числа Черна минимальной комплексной поверхности общего типа:

• ${\displaystyle c_{1}^{2},c_{2}>0}$
• ${\displaystyle c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}}$( неравенство Богомолова–Мияоки–Яу )
• ${\displaystyle 5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 0}$(неравенство Нётер)
• ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\bmod {1}}2.}$

Большинство пар целых чисел, удовлетворяющих этим условиям, являются числами Черна для некоторой комплексной поверхности общего типа.

Примеры: Простейшими примерами являются произведение двух кривых рода не менее 2 и гиперповерхности степени не менее 5 в P ³ . Известно большое количество других конструкций. Однако не существует известной конструкции, которая может производить «типичные» поверхности общего типа для больших чисел Черна; на самом деле даже неизвестно, существует ли какая-либо разумная концепция «типичной» поверхности общего типа. Было найдено много других примеров, включая большинство модулярных поверхностей Гильберта , поддельные проективные плоскости , поверхности Барлоу и так далее.

Смотрите также

• Список алгебраических поверхностей

Ссылки

• Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные комплексные поверхности , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фолге., т. 3. Фолге. 4, Шпрингер-Верлаг, Берлин, номер номера : 10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, МР  2030225– стандартный справочник по компактным сложным поверхностям
• Бовиль, Арно (1996), Комплексные алгебраические поверхности , Студенческие тексты Лондонского математического общества, т. 34 (2-е изд.), Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511623936, ISBN 978-0-521-49510-3, МР  1406314; ( ISBN 978-0-521-49842-5 мягкая обложка) – включая более элементарное введение в классификацию 
• Бомбьери, Энрико ; Мамфорд, Дэвид (1977), «Классификация поверхностей Энрикеса в char. p. II», Комплексный анализ и алгебраическая геометрия , Токио: Iwanami Shoten, стр. 23–42, MR  0491719
  • Бомбьери, Э.; Мамфорд, Д. (1977). «Классификация поверхностей Энриквеса в Char. P, II». Комплексный анализ и алгебраическая геометрия. стр. 23–42. doi :10.1017/CBO9780511569197.004. ISBN 9780521217774.
• Бомбьери, Энрико ; Мамфорд, Дэвид (1976), «Классификация поверхностей Энрикеса в главе стр. III». (PDF) , Inventiones Mathematicae , 35 : 197–232, Bibcode : 1976InMat..35..197B, doi : 10.1007/BF01390138, MR  0491720, S2CID  122816845
• Энрикес, Федериго (1914), «Классификация поверхностной алгебры и частичная классификация поверхностной алгебры p ¹ = 1», Atti. Акк. Линцей V Сер. , 23
• Энрикес, Федериго (1949), Le Superficie Algebriche , Никола Заничелли, Болонья, MR  0031770
• Кодаира, Кунихико (1964), «О структуре компактных комплексных аналитических поверхностей. I», American Journal of Mathematics , 86 (4): 751–798, doi :10.2307/2373157, JSTOR  2373157, MR  0187255
• Кодаира, Кунихико (1966), «О структуре компактных комплексных аналитических поверхностей. II», American Journal of Mathematics , 88 (3): 682–721, doi :10.2307/2373150, JSTOR  2373150, MR  0205280, PMC  300219 , PMID  16578569
• Кодаира, Кунихико (1968a), «О структуре компактных комплексных аналитических поверхностей. III», American Journal of Mathematics , 90 (1): 55–83, doi :10.2307/2373426, JSTOR  2373426, MR  0228019
• Кодаира, Кунихико (1968b), «О структуре комплексных аналитических поверхностей. IV», American Journal of Mathematics , 90 (4): 1048–1066, doi :10.2307/2373289, JSTOR  2373289, MR  0239114
• Мамфорд, Дэвид (1969), «Классификация поверхностей Энрикеса в char p I», Глобальный анализ (Доклады в честь К. Кодаиры) , Токио: Univ. Tokyo Press, стр. 325–339, doi :10.1515/9781400871230-019, ISBN 978-1-4008-7123-0, JSTOR  j.ctt13x10qw.21, MR  0254053
• Reid, Miles (1997), "Главы об алгебраических поверхностях", Complex algebraic geometry (Park City, UT, 1993) , IAS/Park City Math. Ser., т. 3, Providence, RI: American Mathematical Society , стр. 3–159, arXiv : alg-geom/9602006 , Bibcode : 1996alg.geom..2006R, doi : 10.1090/pcms/003/02, ISBN 9780821811450, MR  1442522, S2CID  116933286
• Шафаревич Игорь Робертович ; Авербух Борис Георгиевич; Вайнберг, Ю. Р.; Жижченко А.Б.; Манин Юрий Иванович ; Мойшезон Борис Георгиевич ; Тюрина Галина Н.; Тюрин, Андрей Н. (1967) [1965], «Алгебраические поверхности», Труды Математического института им. Стеклова , 75 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 1–215, ISBN 978-0-8218-1875-6, МР  0190143
• Ван де Вен, Антониус (1978), «О классификации алгебраических поверхностей Энриквесом», Семинар Бурбаки, 29 лет (1976/77) , Конспект лекций по математике, том. 677, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 237–251, MR  0521772.
• Ланг, Уильям Э. «Квазиэллиптические поверхности в третьей характеристике», Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 12 (1979), no. 4, стр. 473-500. дои  : 10.24033/asens.1373. Теорема 4.3 данной статьи классифицирует числа Ходжа квазигиперэллиптической поверхности в характеристике три.

Внешние ссылки

• le superficie algebriche — интерактивная визуализация классификации Энриквеса--Кодайры, созданная Питером Бельмансом и Йоханом Коммелином.