В математике , особенно в теории групп , группа фраз лиева типа обычно относится к конечным группам , которые тесно связаны с группой рациональных точек редуктивной линейной алгебраической группы со значениями в конечном поле . Группа фраз лиева типа не имеет широко распространенного точного определения, [1] но важная коллекция конечных простых групп лиева типа имеет точное определение, и они составляют большинство групп в классификации конечных простых групп. .
Название «группы лиева типа» связано с тесной связью с (бесконечными) группами Ли , поскольку компактную группу Ли можно рассматривать как рациональные точки редуктивной линейной алгебраической группы над полем действительных чисел . Дьедонне (1971) и Картер (1989) являются стандартными справочниками для групп лиева типа.
Первоначальным подходом к этому вопросу было определение и детальное изучение так называемых классических групп над конечными и другими полями Джорданом (1870). Эти группы изучали Л. Е. Диксон и Жан Дьедонне . Эмиль Артин исследовал приказы таких групп с целью классифицировать случаи совпадения.
Классическая группа — это, грубо говоря, специальная линейная , ортогональная , симплектическая или унитарная группа . Есть несколько незначительных их вариаций, определяемых взятием производных подгрупп или центральных факторов , причем последние дают проективные линейные группы . Их можно построить над конечными полями (или любым другим полем) почти так же, как они строятся над действительными числами. Они соответствуют рядам An , Bn , Cn , Dn , 2 An , 2 Dn групп Шевалле и Стейнберга .
Группы Шевалле можно рассматривать как группы Ли над конечными полями. Теория была разъяснена теорией алгебраических групп и работой Шевалле (1955) по алгебрам Ли, с помощью которой было выделено понятие группы Шевалле . Шевалле построил базис Шевалле (разновидность интегральной формы, но над конечными полями) для всех сложных простых алгебр Ли (или, скорее, их универсальных обертывающих алгебр ), который можно использовать для определения соответствующих алгебраических групп над целыми числами. В частности, он мог брать их точки со значениями в любом конечном поле. Для алгебр Ли An , Bn , Cn , Dn это дало хорошо известные классические группы, но его конструкция также дала группы, связанные с исключительными алгебрами Ли E6 , E7 , E8 , F4 и G2 . Группы типа G2 ( иногда называемые группами Диксона ) уже были построены Диксоном (1905), а группы типа E6 — Диксоном (1901).
Конструкция Шевалле не дала всех известных классических групп: она опускала унитарные группы и нерасщепляемые ортогональные группы . Стейнберг (1959) нашел модификацию конструкции Шевалле, давшую эти группы и два новых семейства 3 D 4 , 2 E 6 , второе из которых примерно в то же время с другой точки зрения было открыто Титсом (1958). Эта конструкция обобщает обычную конструкцию унитарной группы из полной линейной группы.
Унитарная группа возникает следующим образом: общая линейная группа над комплексными числами имеет автоморфизм диаграммы , заданный обращением диаграммы Дынкина An ( что соответствует взятию обратного транспонирования), и автоморфизм поля , заданный комплексным сопряжением , которые коммутируют. Унитарная группа — это группа неподвижных точек произведения этих двух автоморфизмов.
Точно так же многие группы Шевалле имеют автоморфизмы диаграмм, индуцированные автоморфизмами их диаграмм Дынкина , и автоморфизмы полей, индуцированные автоморфизмами конечного поля. Аналогично унитарному случаю, Стейнберг построил семейства групп, взяв неподвижные точки произведения диаграммы и полевого автоморфизма.
Они дали:
Группы типа 3 D 4 не имеют аналога над вещественными числами, так как комплексные числа не имеют автоморфизма порядка 3. [ необходимы пояснения ] Симметрии диаграммы D 4 также приводят к тройственности .
Судзуки (1960) обнаружил новую бесконечную серию групп, которая на первый взгляд казалась не связанной с известными алгебраическими группами. Ри (1960, 1961) знал, что алгебраическая группа B2 имеет «лишний» автоморфизм в характеристике 2, квадратом которого является автоморфизм Фробениуса . Он нашел, что если конечное поле характеристики 2 также имеет автоморфизм, квадратом которого является отображение Фробениуса, то аналог конструкции Стейнберга дает группы Сузуки. Полями с таким автоморфизмом являются поля порядка 2 2 n +1 , а соответствующими группами являются группы Сузуки.
(Строго говоря, группа Suz(2) не считается группой Сузуки, поскольку она непроста: это группа Фробениуса порядка 20.) Ри смог найти два новых подобных семейства.
и
простых групп, воспользовавшись тем, что F 4 и G 2 имеют дополнительные автоморфизмы в характеристике 2 и 3. (Грубо говоря, в характеристике p допускается не учитывать стрелку на связях кратности p в диаграмме Дынкина при взятии автоморфизмов диаграммы. ) Наименьшая группа 2 F 4 (2) типа 2 F 4 не является простой, но имеет простую подгруппу индекса 2, называемую группой Титса (по имени математика Жака Титса ). Наименьшая группа 2 G 2 (3) типа 2 G 2 не является простой, но имеет простую нормальную подгруппу индекса 3, изоморфную A 1 (8). В классификации конечных простых групп группы Ри
— это те, структуру которых труднее всего определить явно. Эти группы также сыграли роль в открытии первой современной спорадической группы. Они имеют централизаторы инволюции вида Z /2 Z × PSL(2, q ) для q = 3 n , и, исследуя группы с централизатором инволюции аналогичного вида Z /2 Z × PSL(2, 5), Янко нашел спорадическая группа J 1 .
Группы Сузуки — единственные конечные неабелевы простые группы с порядком, не кратным 3. Они имеют порядок 2 2(2 n +1) (2 2(2 n +1) + 1)(2 (2 n +1) − 1).
Конечные группы лиева типа были одними из первых групп, которые рассматривались в математике после циклических , симметричных и знакопеременных групп, с проективными специальными линейными группами над простыми конечными полями, PSL(2, p ) были построены Эваристом Галуа в 1830-х годах. Систематическое исследование конечных групп лиева типа началось с теоремы Камиллы Жордана о том, что проективная специальная линейная группа PSL(2, q ) проста при q ≠ 2, 3. Эта теорема обобщается на проективные группы более высоких размерностей и дает важное бесконечное семейство PSL( n , q ) конечных простых групп . Другие классические группы изучались Леонардом Диксоном в начале 20 века. В 1950-х годах Клод Шевалле понял, что после соответствующей переформулировки многие теоремы о полупростых группах Ли допускают аналоги для алгебраических групп над произвольным полем k , что привело к построению того, что сейчас называется группами Шевалле . Более того, как и в случае с компактными простыми группами Ли, соответствующие группы оказались почти простыми как абстрактные группы ( теорема Титса о простоте ). Хотя с 19 века было известно, что существуют и другие конечные простые группы (например, группы Матье ), постепенно сформировалось убеждение, что почти все конечные простые группы можно объяснить с помощью соответствующих расширений конструкции Шевалле, а также циклических и знакопеременных групп. Более того, исключения — спорадические группы — обладают многими свойствами, присущими конечным группам лиева типа, и, в частности, могут быть построены и охарактеризованы на основе их геометрии в смысле Титса.
Эта вера теперь превратилась в теорему – классификацию конечных простых групп . Проверка списка конечных простых групп показывает, что группы лиева типа над конечным полем включают все конечные простые группы, кроме циклических групп, знакопеременных групп, группы Титса и 26 спорадических простых групп .
В общем случае конечная группа, связанная с эндоморфизмом односвязной простой алгебраической группы, является универсальным центральным расширением простой группы, поэтому является совершенной и имеет тривиальный множитель Шура . Однако некоторые из самых маленьких групп в приведенных выше семействах либо не идеальны, либо имеют множитель Шура, превышающий «ожидаемый».
Случаи, когда группа не идеальна, включают:
Некоторые случаи, когда группа идеальна, но ее множитель Шура больше ожидаемого, включают:
Существует ошеломляющее количество «случайных» изоморфизмов между различными малыми группами лиева типа (и знакопеременными группами). Например, группы SL(2, 4), PSL(2, 5) и знакопеременная группа из 5 точек изоморфны.
Полный список этих исключений см. в списке конечных простых групп . Многие из этих специальных свойств связаны с определенными спорадическими простыми группами.
Перемежающиеся группы иногда ведут себя так, как будто это группы лиева типа над полем с одним элементом . Некоторые из малых знакопеременных групп также обладают исключительными свойствами. Альтернирующие группы обычно имеют внешнюю группу автоморфизмов порядка 2, но знакопеременная группа на 6 точках имеет внешнюю группу автоморфизмов порядка 4 . Альтернирующие группы обычно имеют множитель Шура порядка 2, но группы с 6 или 7 точками имеют множитель Шура порядка 6 .
Стандартных обозначений для конечных групп лиева типа не существует, а в литературе встречаются десятки несовместимых и запутанных систем обозначений для них.