Группа Кляйнианцев

Дискретная группа преобразований Мёбиуса

В математике группа Клейна — это дискретная подгруппа группы сохраняющих ориентацию изометрий гиперболического 3-пространства H ³ . Последняя, ​​отождествляемая с PSL(2,  C ) , является фактор-группой комплексных матриц 2 на 2 определителя 1 по их центру , который состоит из единичной матрицы и ее произведения на −1 . PSL(2,  C ) имеет естественное представление в виде сохраняющих ориентацию конформных преобразований сферы Римана и сохраняющих ориентацию конформных преобразований открытого единичного шара B ³ в R ³ . Группа преобразований Мёбиуса также связана как группа изометрий, не сохраняющих ориентацию, пространства H ³ , PGL(2,  C ) . Таким образом, группа Клейна может рассматриваться как дискретная подгруппа, действующая на одном из этих пространств.

История

Теория общих клейновских групп была основана Феликсом Клейном  (1883) и Анри Пуанкаре  (1883), который назвал их в честь Феликса Клейна . Частный случай групп Шоттки был изучен несколькими годами ранее, в 1877 году, Шоттки.

Определения

Одно из современных определений группы Клейна — это группа, которая действует на 3-шар как дискретная группа гиперболических изометрий. Гиперболическое 3-пространство имеет естественную границу; в модели шара ее можно отождествить с 2-сферой. Мы называем ее сферой на бесконечности и обозначаем ее . Гиперболическая изометрия продолжается до конформного гомеоморфизма сферы на бесконечности (и наоборот, каждый конформный гомеоморфизм на сфере на бесконечности продолжается единственным образом до гиперболической изометрии на шаре посредством расширения Пуанкаре). Стандартный результат комплексного анализа заключается в том, что конформные гомеоморфизмы на сфере Римана — это в точности преобразования Мёбиуса , которые далее могут быть идентифицированы как элементы проективной линейной группы PGL(2, C ). Таким образом, клейнову группу также можно определить как подгруппу Γ группы PGL(2, C ). Классически клейнову группу требовалось действовать надлежащим образом разрывно на непустом открытом подмножестве сферы Римана, но современное использование допускает любую дискретную подгруппу. ${\displaystyle B^{3}}$ ${\displaystyle S_{\infty }^{2}}$

Когда Γ изоморфна фундаментальной группе гиперболического 3-многообразия , то факторпространство H ³ /Γ становится клейновой моделью многообразия. Многие авторы используют термины клейновская модель и клейновская группа взаимозаменяемо, позволяя одному обозначать другое. ${\displaystyle \pi _{1}}$

Дискретность подразумевает, что точки внутри гиперболического 3-пространства имеют конечные стабилизаторы и дискретные орбиты под группой Γ. С другой стороны, орбита Γ p точки p обычно будет накапливаться на границе замкнутого шара . ${\displaystyle {\bar {B}}^{3}}$

Аполлоновская набивка является примером предельного множества группы Клейна.

Множество точек накопления Γ p в называется предельным множеством Γ и обычно обозначается . Дополнение называется областью разрыва или обычным множеством или регулярным множеством . Теорема конечности Альфорса подразумевает, что если группа конечно порождена, то является римановой поверхностью орбифолдом конечного типа. ${\displaystyle S_{\infty }^{2}}$ ${\displaystyle \Lambda (\Gamma )}$ ${\displaystyle \Omega (\Gamma )=S_{\infty }^{2}-\Lambda (\Gamma )}$ ${\displaystyle \Omega (\Gamma )/\Gamma }$

Единичный шар B ³ с его конформной структурой является моделью Пуанкаре гиперболического 3-пространства . Когда мы думаем о нем метрически, с метрикой

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4\,\left|dx\right|^{2}}{\left(1-|x|^{2}\right)^{2}}}}$

это модель 3-мерного гиперболического пространства H ³ . Набор конформных самоотображений B ³ становится набором изометрий (т.е. сохраняющих расстояние отображений) H ³ при этой идентификации. Такие отображения ограничиваются конформными самоотображениями , которые являются преобразованиями Мёбиуса . Существуют изоморфизмы ${\displaystyle S_{\infty }^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Mob} (S_{\infty }^{2})\cong \operatorname {Conf} (B^{3})\cong \operatorname {Isom} (\mathbf {H} ^{3}).}$

Подгруппы этих групп, состоящие из сохраняющих ориентацию преобразований, все изоморфны группе проективных матриц: PSL(2, C ) посредством обычного отождествления единичной сферы с комплексной проективной прямой P ¹ ( C ).

Вариации

Существуют некоторые вариации определения клейновой группы: иногда клейновым группам разрешается быть подгруппами PSL(2, C ).2 (то есть PSL(2, C ), расширенными комплексными сопряжениями), другими словами, иметь элементы, меняющие ориентацию, а иногда они предполагаются конечно порожденными , а иногда от них требуется, чтобы они действовали надлежащим образом разрывно на непустом открытом подмножестве сферы Римана.

Типы

• Говорят, что клейнова группа имеет конечный тип , если ее область разрыва имеет конечное число орбит компонент под действием группы, а фактор-объект каждой компоненты по ее стабилизатору представляет собой компактную риманову поверхность с конечным числом удаленных точек, а накрытие разветвлено в конечном числе точек.
• Группа Клейна называется конечно порожденной, если она имеет конечное число порождающих. Теорема конечности Альфорса утверждает, что такая группа имеет конечный тип.
• Группа Клейна Γ имеет конечный кообъем, если H ³ /Γ имеет конечный объем. Любая группа Клейна конечного кообъема конечно порождена.
• Группа Клейна называется геометрически конечной , если она имеет фундаментальный многогранник (в гиперболическом 3-пространстве) с конечным числом сторон. Альфорс показал, что если предельное множество не является всей сферой Римана, то оно имеет меру 0.
• Группа Клейна Γ называется арифметической, если она соизмерима с элементами групповой нормы 1 порядка алгебры кватернионов A, разветвленной во всех действительных местах над числовым полем k с ровно одной комплексной точкой. Арифметические группы Клейна имеют конечный кообъем.
• Группа клейнов Γ называется кокомпактной, если H ³ /Γ компактна, или, что эквивалентно, SL(2, C )/Γ компактна. Кокомпактные группы клейновы имеют конечный кообъем.
• Группа Клейна называется топологически ручной, если она конечно порождена и ее гиперболическое многообразие гомеоморфно внутренности компактного многообразия с границей.
• Группа Клейна называется геометрически ручной, если ее концы либо геометрически конечны, либо просто вырождены (Терстон, 1980).
• Говорят, что группа Клейна имеет тип 1 , если предельное множество представляет собой всю сферу Римана, и тип 2 в противном случае.

Примеры

• Маскит -сечение пространства модулей групп Клейна

Группы Бьянки

Группа Бьянки — это клейновская группа вида PSL(2, O _d ), где — кольцо целых чисел мнимого квадратичного поля для положительного целого числа, свободного от квадратов . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$

Элементарные и приводимые клейновские группы

Группа Клейна называется элементарной, если ее предельное множество конечно, в этом случае предельное множество имеет 0, 1 или 2 точки. Примерами элементарных групп Клейна являются конечные группы Клейна (с пустым предельным множеством) и бесконечные циклические группы Клейна.

Группа Клейна называется приводимой, если все ее элементы имеют общую неподвижную точку на сфере Римана. Приводимые группы Клейна являются элементарными, но некоторые элементарные конечные группы Клейна неприводимы.

Фуксовы группы

Любая фуксова группа (дискретная подгруппа PSL(2, R )) является клейновой группой, и наоборот, любая клейнова группа, сохраняющая вещественную прямую (в ее действии на сфере Римана), является фуксовой группой. В более общем смысле, каждая клейнова группа, сохраняющая окружность или прямую на сфере Римана, сопряжена с фуксовой группой.

Группы Кобе

• Фактором клейновской группы G является подгруппа H, максимальная при соблюдении следующих свойств:
  • H имеет односвязную инвариантную компоненту D
  • Сопряженный элемент h из H посредством конформной биекции является параболическим или эллиптическим тогда и только тогда, когда h является таковым.
  • Любой параболический элемент G, фиксирующий граничную точку D , принадлежит H.
• Группа Клейна называется группой Кёбе, если все ее факторы являются элементарными или фуксовыми.

Квазифуксовы группы

Предельное множество квазифуксовой группы

Группа Клейна, сохраняющая жорданову кривую , называется квазифуксовой группой . Когда жорданова кривая является окружностью или прямой линией, они просто сопряжены с фуксовыми группами при конформных преобразованиях. Конечно-порожденные квазифуксовы группы сопряжены с фуксовыми группами при квазиконформных преобразованиях. Предельное множество содержится в инвариантной жордановой кривой, и если оно равно жордановой кривой, то говорят, что группа имеет первый род , а в противном случае говорят, что она имеет второй род .

группы Шоттки

Пусть C _i — граничные окружности конечного набора непересекающихся замкнутых дисков. Группа, порожденная инверсией в каждой окружности, имеет предельное множество — множество Кантора , а фактор-объект H ³ / G — зеркальное орбифолдное пространство с шаром в качестве основного пространства. Он дважды покрыт телом -ручкой ; соответствующая подгруппа индекса 2 — клейновская группа, называемая группой Шоттки .

Кристаллографические группы

Пусть T — периодическое разбиение гиперболического 3-мерного пространства. Группа симметрий разбиения — клейновская группа.

Фундаментальные группы гиперболических 3-многообразий

Фундаментальная группа любого ориентированного гиперболического 3-многообразия является клейновой группой. Существует множество примеров, таких как дополнение узла в виде восьмерки или пространство Зейферта–Вебера . Наоборот, если клейнова группа не имеет нетривиальных элементов кручения, то она является фундаментальной группой гиперболического 3-многообразия.

Вырожденные клейновские группы

Группа Клейна называется вырожденной, если она не элементарна и ее предельное множество односвязно. Такие группы можно построить, взяв подходящий предел квазифуксовых групп, такой, что один из двух компонентов регулярных точек сжимается до пустого множества; эти группы называются однократно вырожденными . Если оба компонента регулярного множества сжимаются до пустого множества, то предельное множество становится заполняющей пространство кривой, и группа называется дважды вырожденной . Существование вырожденных групп Клейна было впервые косвенно показано Берсом (1970), а первый явный пример был найден Йоргенсеном. Кэннон и Терстон (2007) привели примеры дважды вырожденных групп и заполняющих пространство кривых, связанных с псевдоаносовскими отображениями .

Смотрите также

• Гипотеза меры Альфорса
• Теорема плотности для групп Клейна
• Теорема о конечной ламинации
• Теорема о прирученности (гипотеза Мардена)

Ссылки

• Берс, Липман (1970), «О границах пространств Тейхмюллера и о группах Клейна. I», Annals of Mathematics , Вторая серия, 91 (3): 570–600, doi :10.2307/1970638, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970638, MR  0297992
• Берс, Липман ; Кра, Ирвин , ред. (1974), Ускоренный курс по группам Клейна (PDF) , Lecture Notes in Mathematics, т. 400, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0065671, hdl : 10077/4140 , ISBN 978-3-540-06840-2, МР  0346152
• Кэннон, Джеймс У.; Терстон, Уильям П. (2007) [1982], «Групповые инвариантные кривые Пеано», Geometry & Topology , 11 (3): 1315–1355, doi : 10.2140/gt.2007.11.1315 , ISSN  1465-3060, MR  2326947
• Фрике, Роберт; Кляйн, Феликс (1897), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Эрстер Бэнд; Die gruppentheoretischen Grundlagen (на немецком языке), Лейпциг: Б. Г. Тойбнер, ISBN 978-1-4297-0551-6, JFM  28.0334.01
• Фрике, Роберт; Кляйн, Феликс (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen (на немецком языке), Лейпциг: BG Teubner., ISBN. 978-1-4297-0552-3, JFM  32.0430.01
• Харви, Уильям Джеймс (1978), «Кляйнианские группы (опрос)», Семинар Бурбаки, 29 лет (1976/77), Exp. № 491 , Конспект лекций по математике, вып. 677, Springer, Берлин, стр. 30–45, номер документа : 10.1007/BFb0070752, ISBN. 978-3-540-08937-7, МР  0521758
• Капович, Майкл (2009) [2001], Гиперболические многообразия и дискретные группы , Modern Birkhäuser Classics, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, doi : 10.1007/978-0-8176-4913-5, ISBN 978-0-8176-4912-8, г-н  1792613
• Кляйн, Феликс (1883), «Neue Beiträge zur Riemann'schen Functionentheorie», Mathematische Annalen , 21 (2): 141–218, doi : 10.1007/BF01442920, ISSN  0025-5831, JFM  15.0351.01, S2CID  120465625
• Кра, Ирвин (1972), Автоморфные формы и клейновские группы, Серия лекций по математике, WA Benjamin, Inc., Рединг, Массачусетс, ISBN 9780805323429, МР  0357775
• Крушкал, С.Л. (2001) [1994], "Группа Клейна", Энциклопедия математики , EMS Press
• Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), Арифметика гиперболических 3-многообразий, Graduate Texts in Mathematics, т. 219, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , CiteSeerX  10.1.1.169.1318 , doi :10.1007/978-1-4757-6720-9, ISBN 978-0-387-98386-8, г-н  1937957
• Маскит, Бернард (1988), Кляйнианские группы, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], том. 287, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-3-540-17746-3, МР  0959135
• Мацудзаки, Кацухико; Танигучи, Масахико (1998), Гиперболические многообразия и клейновы группы, Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850062-9, г-н  1638795
• Мамфорд, Дэвид ; Серия, Кэролайн ; Райт, Дэвид (2002), Жемчуг Индры, Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9781107050051.024, ISBN 978-0-521-35253-6, г-н  1913879
• Пуанкаре, Анри (1883), «Mémoire sur Les groupes kleinéens», Acta Mathematica , 3 : 49–92, doi : 10.1007/BF02422441 , ISSN  0001-5962, JFM  15.0348.02
• Серия, Кэролайн (2005), «Ускоренный курс кляйнианских групп», Rendiconti dell'Istituto di Matematica dell'Università di Trieste , 37 (1): 1–38, ISSN  0049-4704, MR  2227047, заархивировано из оригинала на 2011-07-22
  • Терстон, Уильям (1980), Геометрия и топология трехмерных многообразий, заметки лекций в Принстоне
• Терстон, Уильям П. (1982), «Трехмерные многообразия, клейновы группы и гиперболическая геометрия», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 6 (3): 357–381, doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0 , ISSN  0002-9904, MR  0648524

Внешние ссылки

• Изображение предельного множества квазифуксовой группы из (Fricke & Klein 1897, стр. 418).
• Рисунок предельного множества группы Клейна из (Fricke & Klein 1897, стр. 440). Это был один из первых рисунков предельного множества. Компьютерный рисунок того же предельного множества
• Анимации предельных множеств групп Клейна
• Изображения, связанные с группами Кляйн, МакМюллен
• Вайсштейн, Эрик В. «Группа Кляйниана». MathWorld .