Закрытый коллектор

Топологическое понятие в математике

В математике замкнутое многообразие — это многообразие без границы , которое является компактным . Для сравнения, открытое многообразие — это многообразие без границы, которое имеет только некомпактные компоненты.

Примеры

Единственный связный одномерный пример — это окружность . Сфера , тор и бутылка Клейна — все это замкнутые двумерные многообразия. Действительное проективное пространство RP ⁿ — замкнутое n-мерное многообразие. Комплексное проективное пространство CP ⁿ — замкнутое 2n-мерное многообразие. ^[1] Прямая не замкнута , потому что она не компактна. Замкнутый диск — компактное двумерное многообразие, но он не замкнут, потому что имеет границу.

Характеристики

Каждое замкнутое многообразие является евклидовым окрестностным ретрактом и, таким образом, имеет конечно порожденные группы гомологий. ^[2]

Если — замкнутое связное n-многообразие, то n-я группа гомологий равна или 0 в зависимости от того, ориентируемо или нет. ^[3] Более того, подгруппа кручения (n-1)-й группы гомологий равна 0 или в зависимости от того, ориентируемо или нет. Это следует из применения теоремы об универсальном коэффициенте . ^[4] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H_{n-1}(M;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle M}$

Пусть будет коммутативным кольцом. Для -ориентируемого с фундаментальным классом отображение, определяемое как , является изоморфизмом для всех k. Это двойственность Пуанкаре . ^[5] В частности, каждое замкнутое многообразие является -ориентируемым. Поэтому всегда существует изоморфизм . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [M]\in H_{n}(M;R)}$ ${\displaystyle D:H^{k}(M;R)\to H_{n-k}(M;R)}$ ${\displaystyle D(\alpha )=[M]\cap \alpha }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\cong H_{n-k}(M;\mathbb {Z} _{2})}$

Открытые коллекторы

Для связного многообразия «открыто» эквивалентно «без границы и некомпактно», но для несвязного многообразия «открыто» сильнее. Например, несвязное объединение окружности и прямой некомпактно, поскольку прямая некомпактна, но это не открытое многообразие, поскольку окружность (один из ее компонентов) компактна.

Злоупотребление языком

Большинство книг обычно определяют многообразие как пространство, которое локально гомеоморфно евклидову пространству (вместе с некоторыми другими техническими условиями), таким образом, по этому определению многообразие не включает свою границу, когда оно вложено в большее пространство. Однако это определение не охватывает некоторые базовые объекты, такие как замкнутый диск , поэтому авторы иногда определяют многообразие с границей и злоупотребляют, говоря многообразие без ссылки на границу. Но обычно компактное многообразие (компактное относительно своей базовой топологии) может синонимично использоваться для замкнутого многообразия, если используется обычное определение для многообразия.

Понятие замкнутого многообразия не связано с понятием замкнутого множества . Прямая — это замкнутое подмножество плоскости и многообразие, но не замкнутое многообразие.

Использование в физике

Понятие « замкнутая вселенная » может относиться к вселенной, являющейся замкнутым многообразием, но более вероятно, что оно относится к вселенной, являющейся многообразием постоянной положительной кривизны Риччи .

Смотрите также

• Ручной коллектор

Ссылки

1. См. Хэтчер 2002, стр. 231.
2. См. Хэтчер 2002, стр. 536.
3. См. Хэтчер 2002, стр. 236.
4. См. Хэтчер 2002, стр. 238.
5. См. Хэтчер 2002, стр. 250.

• Майкл Спивак : Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию. Том 1. 3-е издание с исправлениями. Publish or Perish, Хьюстон, Техас, 2005, ISBN  0-914098-70-5 .
• Аллен Хэтчер , Алгебраическая топология. Cambridge University Press, Кембридж, 2002.