Комплексная группа Ли

Группа Ли, многообразие которой является комплексным, а групповая операция голоморфна

В геометрии комплексная группа Ли — это группа Ли над комплексными числами; т. е. это комплексно-аналитическое многообразие , которое также является группой таким образом, что является голоморфным . Основными примерами являются общие линейные группы над комплексными числами . Связная компактная комплексная группа Ли — это в точности комплексный тор (не путать с комплексной группой Ли ). Любой конечной группе можно придать структуру комплексной группы Ли. Комплексная полупростая группа Ли — это линейная алгебраическая группа . ${\displaystyle G\times G\to G,(x,y)\mapsto xy^{-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

Алгебра Ли комплексной группы Ли является комплексной алгеброй Ли .

Примеры

• Конечномерное векторное пространство над комплексными числами (в частности, комплексная алгебра Ли) очевидным образом является комплексной группой Ли.
• Связная компактная комплексная группа Ли A размерности g имеет вид , комплексный тор , где L — дискретная подгруппа ранга 2g. Действительно, можно показать, что ее алгебра Ли абелева и затем является сюръективным морфизмом комплексных групп Ли, показывая, что A имеет описанный вид. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}/L}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle \operatorname {exp} :{\mathfrak {a}}\to A}$
• ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{*},z\mapsto e^{z}}$является примером сюръективного гомоморфизма комплексных групп Ли, который не происходит из морфизма алгебраических групп. Поскольку , это также пример представления комплексной группы Ли, которая не является алгебраической. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\operatorname {GL} _{1}(\mathbb {C} )}$
• Пусть X — компактное комплексное многообразие. Тогда, аналогично вещественному случаю, — комплексная группа Ли, алгебра Ли которой — пространство голоморфных векторных полей на X:. ^{[ необходимо пояснение ]} ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$ ${\displaystyle \Gamma (X,TX)}$
• Пусть K — связная компактная группа Ли . Тогда существует единственная связная комплексная группа Ли G такая, что (i) и (ii) K — максимальная компактная подгруппа группы G. Это называется комплексификацией группы K. Например, — это комплексификация унитарной группы . Если K действует на компактном кэлеровом многообразии X , то действие K распространяется на действие G. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\operatorname {Lie} (K)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$

Линейная алгебраическая группа, связанная с комплексной полупростой группой Ли

Пусть G — комплексная полупростая группа Ли. Тогда G допускает естественную структуру линейной алгебраической группы следующим образом: ^[2] пусть — кольцо голоморфных функций f на G, такое, что охватывает конечномерное векторное пространство внутри кольца голоморфных функций на G (здесь G действует левым переносом: ). Тогда — линейная алгебраическая группа, которая, если рассматривать ее как комплексное многообразие, является исходным G . Более конкретно, выберем точное представление G . Тогда замкнуто по Зарискому в . ^{[ необходимо пояснение ]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G\cdot f}$ ${\displaystyle g\cdot f(h)=f(g^{-1}h)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle \rho (G)}$ ${\displaystyle GL(V)}$

Ссылки

1. Гийемен, Виктор; Штернберг, Шломо (1982). «Геометрическое квантование и множественности представлений групп». Inventiones Mathematicae . 67 (3): 515–538. Bibcode : 1982InMat..67..515G. doi : 10.1007/bf01398934. S2CID  121632102.
2. Серр 1993, с. Ч. VIII. Теорема 10.

• Ли, Донг Хун (2002), Структура комплексных групп Ли , Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall/CRC, ISBN 1-58488-261-1, г-н  1887930
• Серр, Жан-Пьер (1993), Жебрес