Аргумент (комплексный анализ)

Угол комплексного числа относительно действительной оси

Рисунок 1. Эта диаграмма Аргана представляет комплексное число , лежащее на плоскости . Для каждой точки на плоскости arg — это функция, которая возвращает угол . ${\displaystyle \varphi }$

В математике (особенно в комплексном анализе ) аргумент комплексного числа z , обозначаемый arg( z ) , представляет собой угол между положительной действительной осью и линией, соединяющей начало координат и z , представленной в виде точки на комплексной плоскости , как показано на рисунке 1. По соглашению положительная действительная ось рисуется направленной вправо, положительная мнимая ось рисуется направленной вверх, а комплексные числа с положительной действительной частью считаются имеющими аргумент против часовой стрелки со знаком плюс. ${\displaystyle \varphi }$

Когда рассматривается любой действительный угол, аргумент представляет собой многозначную функцию, действующую на ненулевые комплексные числа . Главное значение этой функции однозначно, обычно выбирается как уникальное значение аргумента, которое лежит в интервале (− π , π ] . ^{[1] [2]} В этой статье многозначная функция будет обозначаться arg( z ) , а ее главное значение будет обозначаться Arg( z ) , но в некоторых источниках заглавные буквы этих символов меняются местами.

Определение

Рисунок 2. Два варианта аргумента ${\displaystyle \varphi }$

Аргумент комплексного числа z = x + iy , обозначаемый arg( z ) , определяется двумя эквивалентными способами :

1. Геометрически, в комплексной плоскости , как двумерный полярный угол от положительной действительной оси до вектора, представляющего z . Числовое значение задается углом в радианах и является положительным, если измерять против часовой стрелки. ${\displaystyle \varphi }$
2. Алгебраически, как любая действительная величина такая, что для некоторого положительного действительного r (см. формулу Эйлера ). Величина r является модулем (или абсолютным значением) z , обозначаемым | z |: ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }}$$ $${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$

Названия величина ( модуль) и фаза ( ^{[3] [1])} для аргумента иногда используются как эквивалентные.

В обоих определениях можно увидеть, что аргумент любого ненулевого комплексного числа имеет много возможных значений: во-первых, как геометрический угол, ясно, что повороты всей окружности не изменяют точку, поэтому углы, отличающиеся на целое кратное 2π радиан ( полная окружность), одинаковы, как отражено на рисунке 2 справа. Аналогично, из периодичности sin и cos второе определение также обладает этим свойством. Аргумент нуля обычно остается неопределенным .

Альтернативное определение

Комплексный аргумент также может быть определен алгебраически в терминах комплексных корней следующим образом: Это определение устраняет зависимость от других трудновычисляемых функций, таких как арктангенс , а также устраняет необходимость в кусочном определении. Поскольку оно определено в терминах корней , оно также наследует главную ветвь квадратного корня как свою собственную главную ветвь. Нормализация путем деления на не является необходимой для сходимости к правильному значению, но она ускоряет сходимость и гарантирует, что остается неопределенным. $${\displaystyle \arg(z)=\lim _{n\to \infty }n\cdot \operatorname {Im} {\sqrt[{n}]{z/|z|}}}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle \arg(0)}$

Основная стоимость

Рисунок 3. Главное значение Arg синей точки при 1 + i равно π/4 . Красная линия здесь является срезом ветви и соответствует двум красным линиям на рисунке 4, видимым вертикально друг над другом).

Поскольку полный оборот вокруг начала координат оставляет комплексное число неизменным, существует множество вариантов, которые можно сделать , обходя начало координат любое количество раз. Это показано на рисунке 2, представляющем многозначную ( множественно-значную) функцию , где вертикальная линия (не показана на рисунке) пересекает поверхность на высотах, представляющих все возможные варианты угла для этой точки. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle f(x,y)=\arg(x+iy)}$

Когда требуется четко определенная функция, то обычным выбором, известным как главное значение , является значение в открыто-замкнутом интервале (− π рад, π рад] , то есть от − π до π радиан , исключая само − π рад (эквивалентно, от −180 до +180 градусов , исключая само −180°). Это представляет собой угол до половины полной окружности от положительной действительной оси в любом направлении.

Некоторые авторы определяют диапазон главного значения как находящийся в замкнуто-открытом интервале [0, 2 π ) .

Обозначение

Иногда начальная буква главного значения заглавная, как в Arg z , особенно когда рассматривается также общая версия аргумента. Обратите внимание, что обозначения различаются, поэтому arg и Arg могут быть взаимозаменяемы в разных текстах.

Множество всех возможных значений аргумента можно записать в терминах Arg как:

${\displaystyle \arg(z)=\{\operatorname {Arg} (z)+2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \}.}$

Вычисление из действительной и мнимой части

Если комплексное число известно с точки зрения его действительной и мнимой частей, то функция, вычисляющая главное значение Arg, называется функцией арктангенса с двумя аргументами, atan2 :

${\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)}$.

Функция atan2 доступна в математических библиотеках многих языков программирования, иногда под другим именем, и обычно возвращает значение в диапазоне (−π, π] . ^[1]

В некоторых источниках аргумент определяется как , однако это верно только когда x > 0 , где хорошо определено и угол лежит между и Расширение этого определения на случаи, когда x не является положительным, относительно затруднительно. В частности, можно определить главное значение аргумента отдельно на полуплоскости x > 0 и двух квадрантах с x < 0 , а затем склеить определения вместе: ${\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\arctan(y/x),}$ ${\displaystyle y/x}$ ${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}.}$

${\displaystyle \operatorname {Arg} (x+iy)=\operatorname {atan2} (y,\,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{if }}x>0,\\[5mu]\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0,\\[5mu]\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\[5mu]+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0,\\[5mu]-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0,\\[5mu]{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}$

Более подробную информацию и альтернативные реализации см. в atan2 .

Реализации функции на языках программирования

Язык Вольфрама (Mathematica)

В языке Вольфрам есть Arg[z]: ^[4]

Arg[x + y I] ${\displaystyle ={\begin{cases}{\text{undefined}}&{\text{if }}|x|=\infty {\text{ and }}|y|=\infty ,\\[5mu]0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0,\\[5mu]0&{\text{if }}x=\infty ,\\[5mu]\pi &{\text{if }}x=-\infty ,\\[5mu]\pm {\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}y=\pm \infty ,\\[5mu]\operatorname {Arg} (x+yi)&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

или используя язык ArcTan:

Arg[x + y I] ${\displaystyle ={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0,\\[5mu]{\text{ArcTan[x, y]}}&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

ArcTan[x, y]расширен для работы с бесконечностями. is (т.е. он все еще определен), в то время как не возвращает ничего (т.е. он не определен ). ${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$ArcTan[0, 0]IndeterminateArcTan[Infinity, -Infinity]

Клен

Maple ведет себя argument(z)так же, как и Arg[z]в языке Wolfram, за исключением того, что argument(z)также возвращает , если это специальное значение с плавающей точкой . ^[5] Кроме того, в Maple нет . ${\displaystyle \pi }$z−0. ${\displaystyle \operatorname {atan2} }$

МАТЛАБ

MATLABangle(z) ведет себя [ ^{6] [7]} так же, как и Arg[z]в языке Wolfram, за исключением того, что он

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ and }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {1\pi }{4}}&{\text{if }}x=\infty {\text{ and }}y=-\infty ,\\[5mu]{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ and }}y=\infty ,\\[5mu]-{\frac {3\pi }{4}}&{\text{if }}x=-\infty {\text{ and }}y=-\infty .\end{cases}}}$

В отличие от языков Maple и Wolfram, в MATLAB atan2(y, x)эквивалентно angle(x + y*1i). То есть, atan2(0, 0)это . ${\displaystyle 0}$

Идентичности

Одной из главных мотиваций для определения главного значения Arg является возможность записывать комплексные числа в форме модуль-аргумент. Следовательно, для любого комплексного числа z ,

${\displaystyle z=\left|z\right|e^{i\operatorname {Arg} z}.}$

Это действительно справедливо только в том случае, если z не равно нулю, но может считаться справедливым и для z = 0 , если Arg(0) рассматривается как неопределенная форма , а не как неопределенная.

Далее следуют некоторые дополнительные тождества. Если z ₁ и z ₂ — два ненулевых комплексных числа, то

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})&\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }},\\\operatorname {Arg} \left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)&\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }}.\end{aligned}}}$

Если z ≠ 0 и n — любое целое число, то ^[1]

${\displaystyle \operatorname {Arg} \left(z^{n}\right)\equiv n\operatorname {Arg} (z){\pmod {\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }}.}$

Пример

${\displaystyle \operatorname {Arg} {\biggl (}{\frac {-1-i}{i}}{\biggr )}=\operatorname {Arg} (-1-i)-\operatorname {Arg} (i)=-{\frac {3\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}=-{\frac {5\pi }{4}}}$

Использование комплексного логарифма

Из , получаем , альтернативно . Поскольку мы берем мнимую часть, любая нормализация действительным скаляром не повлияет на результат. Это полезно, когда доступен комплексный логарифм . ${\displaystyle z=|z|e^{i\operatorname {Arg} (z)}}$ ${\displaystyle i\operatorname {Arg} (z)=\ln {\frac {z}{|z|}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Arg} (z)=\operatorname {Im} (\ln {\frac {z}{|z|}})=\operatorname {Im} (\ln z)}$

Расширенный аргумент

Расширенный аргумент числа z (обозначаемый как ) — это множество всех действительных чисел, сравнимых по модулю 2. [ ^8] ${\displaystyle {\overline {\arg }}(z)}$ ${\displaystyle \arg(z)}$ ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle {\overline {\arg }}(z)=\arg(z)+2k\pi ,\forall k\in \mathbb {Z} }$$

Ссылки

1. Вайсштейн, Эрик В. "Комплексный аргумент". mathworld.wolfram.com . Получено 31 августа 2020 г.
2. "Чистая математика". internal.ncl.ac.uk . Получено 2020-08-31 .
3. Словарь математики (2002). фаза .
4. "Arg". Документация по языку Wolfram Language . Получено 2024-08-30 .
5. «Аргумент — Помощь Maple».
6. "Фазовый угол - угол MATLAB".
7. "Четырехквадрантный арктангенс - MATLAB atan2".
8. "Алгебраическая структура комплексных чисел". www.cut-the-knot.org . Получено 29-08-2021 .

Библиография

• Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ: Введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной (3-е изд.). Нью-Йорк; Лондон: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000657-1.
• Поннусвами, С. (2005). Основы комплексного анализа (2-е изд.). Нью-Дели; Мумбаи: Narosa. ISBN 978-81-7319-629-4.
• Бирдон, Алан (1979). Комплексный анализ: принцип аргументации в анализе и топологии . Чичестер: Wiley. ISBN 0-471-99671-8.
• Боровски, Эфраим; Борвейн, Джонатан (2002) [1-е изд. 1989 как Словарь математики ]. Математика . Словарь Коллинза (2-е изд.). Глазго: HarperCollins . ISBN 0-00-710295-X.

Внешние ссылки

• Аргумент в Энциклопедии математики .