Сложная динамика

Раздел математики

Комплексная динамика , или голоморфная динамика , является изучением динамических систем , полученных путем итерации комплексного аналитического отображения. В этой статье основное внимание уделяется случаю алгебраической динамики , где итерируется полиномиальная или рациональная функция . В геометрических терминах это равносильно итерации отображения из некоторого алгебраического многообразия в себя. Соответствующая теория арифметической динамики изучает итерацию по рациональным числам или p-адическим числам вместо комплексных чисел .

Динамика в комплексном измерении 1

Простой пример, демонстрирующий некоторые из основных проблем в сложной динамике, — это отображение комплексных чисел C на себя. Полезно рассматривать это как отображение комплексной проективной прямой на себя, добавляя точку к комплексным числам. ( имеет преимущество компактности ). Основной вопрос: если задана точка в , как ее орбита (или прямая орбита ) ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

${\displaystyle z,\;f(z)=z^{2},\;f(f(z))=z^{4},f(f(f(z)))=z^{8},\;\ldots }$

ведут себя качественно? Ответ: если абсолютное значение | z | меньше 1, то орбита сходится к 0, фактически более чем экспоненциально быстро. Если | z | больше 1, то орбита сходится к точке в , снова более чем экспоненциально быстро. (Здесь 0 и являются сверхпритягивающими неподвижными точками f , что означает, что производная f равна нулю в этих точках. Притягивающая неподвижная точка означает ту , где производная f имеет абсолютное значение меньше 1.) ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \infty }$

С другой стороны, предположим, что , что означает, что z находится на единичной окружности в C . В этих точках динамика f хаотична, различными способами. Например, для почти всех точек z на окружности в терминах теории меры прямая орбита z плотна в окружности и фактически равномерно распределена на окружности. На окружности также имеется бесконечно много периодических точек , то есть точек с для некоторого положительного целого числа r . (Здесь означает результат применения f к z r раз, .) Даже в периодических точках z на окружности динамику f можно считать хаотичной, поскольку точки вблизи z экспоненциально быстро расходятся от z при итерации f . (Периодические точки f на единичной окружности отталкиваются : если , производная в точке z имеет абсолютное значение больше 1.) ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle f^{r}(z)=z}$ ${\displaystyle f^{r}(z)}$ ${\displaystyle f(f(\cdots (f(z))\cdots ))}$ ${\displaystyle f^{r}(z)=z}$ ${\displaystyle f^{r}}$

Пьер Фату и Гастон Жюлиа показали в конце 1910-х годов, что большая часть этой истории распространяется на любое комплексное алгебраическое отображение из в себя степени больше 1. (Такое отображение может быть задано полиномом с комплексными коэффициентами или, в более общем случае, рациональной функцией.) А именно, всегда существует компактное подмножество , множество Жюлиа , на котором динамика f является хаотичной. Для отображения множество Жюлиа является единичной окружностью. Для других полиномиальных отображений множество Жюлиа часто является крайне нерегулярным, например, фракталом в том смысле, что его размерность Хаусдорфа не является целым числом. Это происходит даже для таких простых отображений, как для константы . Множество Мандельброта является множеством комплексных чисел c таким, что множество Жюлиа связно . ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ ${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle c\in \mathbf {C} }$ ${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$

Множество Жюлиа многочлена с . ${\displaystyle f(z)=z^{2}+az}$ ${\displaystyle a\doteq -0.5+0.866i}$

Множество Жюлиа многочлена с . Это множество Кантора . ${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$ ${\displaystyle c\doteq 0.383-0.0745i}$

Существует довольно полная классификация возможной динамики рациональной функции в множестве Фату , дополнении множества Жюлиа, где динамика «ручная». А именно, Деннис Салливан показал, что каждая связная компонента U множества Фату является предпериодической, что означает, что существуют натуральные числа, такие что . Поэтому для анализа динамики на компоненте U можно предположить после замены f на итерацию, что . Тогда либо (1) U содержит притягивающую неподвижную точку для f ; (2) U является параболическим в том смысле, что все точки в U приближаются к неподвижной точке на границе U ; (3) U является диском Зигеля , что означает, что действие f на U сопряжено иррациональному вращению открытого единичного диска; или (4) U является кольцом Германа , что означает, что действие f на U сопряжено иррациональному вращению открытого кольца . ^[1] (Обратите внимание, что «обратная орбита» точки z в U , множество точек в этом отображении в z при некоторой итерации f , не обязательно должна содержаться в U. ) ${\displaystyle f\colon \mathbf {CP} ^{1}\to \mathbf {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle f^{a}(U)=f^{b}(U)}$ ${\displaystyle f(U)=U}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

Равновесная мера эндоморфизма

Сложная динамика была эффективно разработана в любом измерении. Этот раздел фокусируется на отображениях из комплексного проективного пространства в себя, самом богатом источнике примеров. Основные результаты для были распространены на класс рациональных отображений из любого проективного многообразия в себя. ^[2] Обратите внимание, однако, что многие многообразия не имеют интересных самоотображений. ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$

Пусть f будет эндоморфизмом , то есть морфизмом алгебраических многообразий из в себя, для положительного целого числа n . Такое отображение задается в однородных координатах как ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$

${\displaystyle f([z_{0},\ldots ,z_{n}])=[f_{0}(z_{0},\ldots ,z_{n}),\ldots ,f_{n}(z_{0},\ldots ,z_{n})]}$

для некоторых однородных многочленов одинаковой степени d , не имеющих общих нулей в . (По теореме Чжоу это то же самое, что голоморфное отображение из в себя.) Предположим, что d больше 1; тогда степень отображения f равна , что также больше 1. ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle d^{n}}$

Тогда существует уникальная вероятностная мера на , равновесная мера f , которая описывает наиболее хаотичную часть динамики f . (Ее также называют мерой Грина или мерой максимальной энтропии .) Эта мера была определена Гансом Бролином (1965) для полиномов от одной переменной, Александром Фрейре, Артуром Лопесом , Рикардо Манье и Михаилом Любичем для (около 1983 года), а также Джоном Хаббардом , Питером Пападополом, Джоном Форнаессом и Нессимом Сибони в любой размерности (около 1994 года). ^[3] Малое множество Жюлиа является носителем равновесной меры в ; это просто множество Жюлиа, когда . ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle n=1}$

Примеры

• Для отображения на мерой равновесия является мера Хаара (стандартная мера, масштабированная так, чтобы иметь общую меру 1) на единичной окружности . ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle |z|=1}$
• В более общем случае, для целого числа пусть будет отображением ${\displaystyle d>1}$ ${\displaystyle f\colon \mathbf {CP} ^{n}\to \mathbf {CP} ^{n}}$

${\displaystyle f([z_{0},\ldots ,z_{n}])=[z_{0}^{d},\ldots ,z_{n}^{d}].}$

Тогда равновесная мера — это мера Хаара на n -мерном торе. Для более общих голоморфных отображений из в себя равновесная мера может быть гораздо сложнее, как это видно уже в комплексной размерности 1 из изображений множеств Жюлиа. ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \{[1,z_{1},\ldots ,z_{n}]:|z_{1}|=\cdots =|z_{n}|=1\}.}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$

Характеристика меры равновесия

Основное свойство меры равновесия заключается в том, что она инвариантна относительно f , в том смысле, что мера прямого проталкивания равна . Поскольку f является конечным морфизмом , мера обратного проталкивания также определена и полностью инвариантна в том смысле, что . ${\displaystyle f_{*}\mu _{f}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle f^{*}\mu _{f}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle f^{*}\mu _{f}=\deg(f)\mu _{f}}$

Одной из ярких характеристик меры равновесия является то, что она описывает асимптотику почти каждой точки в , когда следуют назад во времени Жан-Ив Бриан, Жюльен Дюваль, Тьен-Кыонг Динь и Сибони. А именно, для точки z в и положительного целого числа r рассмотрим вероятностную меру , которая равномерно распределена по точкам w с . Тогда существует замкнутое подмножество Зарисского, такое что для всех точек z не в E , только что определенные меры слабо сходятся к равновесной мере, когда r стремится к бесконечности. Более подробно: только конечное число замкнутых комплексных подпространств из полностью инвариантны относительно f (имея в виду, что ), и можно взять исключительное множество E как единственное наибольшее полностью инвариантное замкнутое комплексное подпространство, не равное . ^[4] ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle (1/d^{rn})(f^{r})^{*}(\delta _{z})}$ ${\displaystyle d^{rn}}$ ${\displaystyle f^{r}(w)=z}$ ${\displaystyle E\subsetneq \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{-1}(S)=S}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$

Другая характеристика меры равновесия (благодаря Бриенду и Дювалю) такова. Для каждого положительного целого числа r число периодических точек периода r (имея в виду, что ), подсчитанное с кратностью, равно , что примерно равно . Рассмотрим вероятностную меру, которая равномерно распределена по точкам периода r . Тогда эти меры также сходятся к мере равновесия , когда r стремится к бесконечности. Более того, большинство периодических точек являются отталкивающими и лежат в , и поэтому можно получить ту же предельную меру, усредняя только по отталкивающим периодическим точкам в . ^[5] Также могут быть отталкивающие периодические точки вне . ^[6] ${\displaystyle f^{r}(z)=z}$ ${\displaystyle (d^{r(n+1)}-1)/(d^{r}-1)}$ ${\displaystyle d^{rn}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$

Равновесная мера дает нулевую массу любому замкнутому комплексному подпространству , которое не является всем пространством. ^[7] Поскольку периодические точки в плотны в , то следует, что периодические точки f плотны по Зарисскому в . Более алгебраическое доказательство этой плотности Зарисского дал Наджмуддин Фахруддин. ^[8] Другое следствие придания нулевой массы замкнутым комплексным подпространствам, не равным , состоит в том, что каждая точка имеет нулевую массу. В результате носитель не имеет изолированных точек, и поэтому является совершенным множеством . ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$

Носитель равновесной меры не слишком мал в том смысле, что его размерность Хаусдорфа всегда больше нуля. ^[7] В этом смысле эндоморфизм комплексного проективного пространства со степенью больше 1 всегда ведет себя хаотически, по крайней мере, на части пространства. (Существуют примеры, где все . ^{[9] )} Другой способ уточнить, что f имеет некоторое хаотическое поведение, состоит в том, что топологическая энтропия f всегда больше нуля, фактически равна , по Михаилу Громову , Михалу Мисюревичу и Феликсу Пшитицкому. ^[10] ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle n\log d}$

Для любого непрерывного эндоморфизма f компактного метрического пространства X топологическая энтропия f равна максимуму теоретико-мерной энтропии (или «метрической энтропии») всех f -инвариантных мер на X. Для голоморфного эндоморфизма f из равновесная мера является единственной инвариантной мерой максимальной энтропии, по Бриенду и Дювалю. ^[3] Это еще один способ сказать, что наиболее хаотичное поведение f сосредоточено на носителе равновесной меры. ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$

Наконец, можно сказать больше о динамике f на носителе меры равновесия: f является эргодической и, что более строго, перемешивающей относительно этой меры, по Форнаессу и Сибони. ^[11] Из этого следует, например, что для почти каждой точки относительно ее прямая орбита равномерно распределена относительно . ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$

Карты латте

Отображение Латте — это эндоморфизм f из , полученный из эндоморфизма абелева многообразия делением на конечную группу . В этом случае равновесная мера f абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на . Наоборот, по мнению Анны Здуник , Франсуа Бертело и Кристофа Дюпона, единственными эндоморфизмами, равновесная мера которых абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, являются примеры Латте. ^[12] То есть для всех не-Латте эндоморфизмов присваивает свою полную массу 1 некоторому борелевскому множеству меры Лебега 0. ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$

Случайная выборка из меры равновесия карты Латтеса . Множество Жюлиа — это все . ${\displaystyle f(z)=(z-2)^{2}/z^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

Случайная выборка из меры равновесия не-Латтес-карты . Множество Жюлиа состоит из , ^[13] но мера равновесия крайне нерегулярна. ${\displaystyle f(z)=(z-2)^{4}/z^{4}}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

В размерности 1 больше известно о «нерегулярности» меры равновесия. А именно, определим размерность Хаусдорфа вероятностной меры на (или, в более общем смысле, на гладком многообразии) как ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

${\displaystyle \dim(\mu )=\inf\{\dim _{H}(Y):\mu (Y)=1\},}$

где обозначает размерность Хаусдорфа борелевского множества Y . Для эндоморфизма f степени больше 1 Здуник показал, что размерность равна размерности Хаусдорфа его носителя (множества Жюлиа) тогда и только тогда, когда f сопряжено отображению Латте, многочлену Чебышёва (с точностью до знака) или степенному отображению с . ^[14] (В последних случаях множество Жюлиа представляет собой все из , замкнутый интервал или окружность соответственно. ^[15] ) Таким образом, за пределами этих особых случаев равновесная мера является крайне нерегулярной, присваивая положительную массу некоторым замкнутым подмножествам множества Жюлиа с меньшей размерностью Хаусдорфа, чем все множество Жюлиа. ${\displaystyle \dim _{H}(Y)}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle f(z)=z^{\pm d}}$ ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

Автоморфизмы проективных многообразий

В более общем смысле, комплексная динамика стремится описать поведение рациональных отображений при итерации. Один случай, который был изучен с некоторым успехом, — это случай автоморфизмов гладкого комплексного проективного многообразия X , что означает изоморфизмы f из X в себя. Основной интерес представляет случай, когда f действует нетривиально на сингулярных когомологиях . ${\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {Z} )}$

Громов и Йосеф Йомдин показали, что топологическая энтропия эндоморфизма (например, автоморфизма) гладкого комплексного проективного многообразия определяется его действием на когомологиях. ^[16] Явно, для X комплексной размерности n и пусть — спектральный радиус f, действующего обратным образом на группе когомологий Ходжа . Тогда топологическая энтропия f равна ${\displaystyle 0\leq p\leq n}$ ${\displaystyle d_{p}}$ ${\displaystyle H^{p,p}(X)\subset H^{2p}(X,\mathbf {C} )}$

${\displaystyle h(f)=\max _{p}\log d_{p}.}$

(Топологическая энтропия f также является логарифмом спектрального радиуса f на всех когомологиях .) Таким образом, f имеет некоторое хаотическое поведение в том смысле, что ее топологическая энтропия больше нуля, если и только если она действует на некоторую группу когомологий с собственным значением , абсолютная величина которого больше 1. Многие проективные многообразия не имеют таких автоморфизмов, но (например) многие рациональные поверхности и поверхности K3 имеют такие автоморфизмы. ^[17] ${\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {C} )}$

Пусть X — компактное кэлерово многообразие , которое включает случай гладкого комплексного проективного многообразия. Скажем, что автоморфизм f многообразия X имеет простое действие на когомологиях, если: существует только одно число p , которое принимает максимальное значение, действие f на имеет только одно собственное значение с абсолютным значением , и это простое собственное значение . Например, Серж Кантат показал, что каждый автоморфизм компактной кэлеровой поверхности с положительной топологической энтропией имеет простое действие на когомологиях. ^[18] (Здесь «автоморфизм» является комплексно-аналитическим, но не предполагается, что он сохраняет кэлерову метрику на X . Фактически, каждый автоморфизм, который сохраняет метрику, имеет топологическую энтропию ноль.) ${\displaystyle d_{p}}$ ${\displaystyle H^{p,p}(X)}$ ${\displaystyle d_{p}}$

Для автоморфизма f с простым действием на когомологиях были достигнуты некоторые из целей сложной динамики. Дин, Сибони и Анри де Телин показали, что существует уникальная инвариантная вероятностная мера максимальной энтропии для f , называемая равновесной мерой (или мерой Грина , или мерой максимальной энтропии ). ^[19] (В частности, имеет энтропию относительно f .) Носитель называется малым множеством Жюлиа . Неформально: f имеет некоторое хаотическое поведение, и наиболее хаотическое поведение сосредоточено на малом множестве Жюлиа. По крайней мере, когда X проективен, имеет положительную размерность Хаусдорфа. (Точнее, присваивает нулевую массу всем множествам достаточно малой размерности Хаусдорфа.) ^[20] ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \log d_{p}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$

Автоморфизмы Куммера

Некоторые абелевы многообразия имеют автоморфизм положительной энтропии. Например, пусть E — комплексная эллиптическая кривая , а X — абелева поверхность . Тогда группа обратимых целочисленных матриц действует на X. Любой элемент группы f , след которого имеет абсолютное значение больше 2, например , имеет спектральный радиус больше 1, и поэтому он дает автоморфизм положительной энтропии X. Равновесная мера f — это мера Хаара (стандартная мера Лебега) на X. [ ^21] ${\displaystyle E\times E}$ ${\displaystyle GL(2,\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}}$

Автоморфизмы Куммера определяются взятием факторпространства по конечной группе абелевой поверхности с автоморфизмом, а затем раздуванием, чтобы сделать поверхность гладкой. Полученные поверхности включают некоторые специальные поверхности K3 и рациональные поверхности. Для автоморфизмов Куммера равновесная мера имеет носитель, равный X , и является гладкой вне конечного числа кривых. Наоборот, Кантат и Дюпон показали, что для всех автоморфизмов поверхности с положительной энтропией, за исключением примеров Куммера, равновесная мера не является абсолютно непрерывной относительно меры Лебега. ^[22] В этом смысле обычно равновесная мера автоморфизма является несколько нерегулярной.

Седловые периодические точки

Периодическая точка z функции f называется седловой периодической точкой, если для положительного целого числа r такого, что , по крайней мере одно собственное значение производной функции на касательном пространстве в точке z имеет абсолютное значение меньше 1, по крайней мере одно имеет абсолютное значение больше 1, и ни одно не имеет абсолютного значения, равного 1. (Таким образом, f расширяется в некоторых направлениях и сжимается в других, вблизи z .) Для автоморфизма f с простым действием на когомологиях седловые периодические точки плотны в носителе равновесной меры . ^[20] С другой стороны, мера обращается в нуль на замкнутых комплексных подпространствах, не равных X . ^[20] Из этого следует, что периодические точки функции f (или даже просто седловые периодические точки, содержащиеся в носителе ) плотны по Зарискому в X . ${\displaystyle f^{r}(z)=z}$ ${\displaystyle f^{r}}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$

Для автоморфизма f с простым действием на когомологии f и его обратное отображение являются эргодическими и, что более строго, перемешивающими относительно равновесной меры . ^[23] Отсюда следует, что для почти каждой точки z относительно , ​​прямые и обратные орбиты z равномерно распределены относительно . ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$

Заметное отличие от случая эндоморфизмов состоит в том, что для автоморфизма f с простым действием на когомологиях может существовать непустое открытое подмножество X , на котором ни прямые, ни обратные орбиты не приближаются к носителю равновесной меры. Например, Эрик Бедфорд, Кёнхи Ким и Кертис МакМаллен построили автоморфизмы f гладкой проективной рациональной поверхности с положительной топологической энтропией (следовательно, простым действием на когомологиях) такие, что f имеет диск Зигеля, на котором действие f сопряжено иррациональному вращению. ^[24] Точки в этом открытом множестве никогда не приближаются под действием f или его обратного. ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$ ${\displaystyle J^{*}(f)}$

По крайней мере в комплексной размерности 2 равновесная мера f описывает распределение изолированных периодических точек f . (Также могут быть комплексные кривые, зафиксированные f или итерацией, которые здесь игнорируются.) А именно, пусть f будет автоморфизмом компактной кэлеровой поверхности X с положительной топологической энтропией . Рассмотрим вероятностную меру, которая равномерно распределена на изолированных периодических точках периода r (имея в виду, что ). Тогда эта мера слабо сходится к , когда r стремится к бесконечности, по Эрику Бедфорду, Любичу и Джону Смилли . ^[25] То же самое справедливо для подмножества седловых периодических точек, поскольку оба множества периодических точек растут со скоростью . ${\displaystyle h(f)=\log d_{1}}$ ${\displaystyle f^{r}(z)=z}$ ${\displaystyle \mu _{f}}$ ${\displaystyle (d_{1})^{r}}$

Смотрите также

• Динамика в комплексном измерении 1
  • Комплексный анализ
  • Комплексный квадратичный многочлен
  • Бесконечные композиции аналитических функций
  • Теорема Монтеля
  • Метрика Пуанкаре
  • лемма Шварца
  • Теорема Римана об отображении
  • Теорема Каратеодори (конформное отображение)
  • Уравнение Бёттхера
  • Портреты на орбите
  • Головоломки Йоккоза

• Смежные области динамики
  • Арифметическая динамика
  • Теория хаоса
  • Символическая динамика

Примечания

1. Милнор (2006), раздел 13.
2. Гедж (2010), Теорема B.
3. Dinh & Sibony (2010), «Динамика ...», Теорема 1.7.11.
4. Динь и Сибони (2010), «Динамика ...», Теорема 1.4.1.
5. Динь и Сибони (2010), «Динамика ...», Теорема 1.4.13.
6. Форнаесс и Сибони (2001), Теорема 4.3.
7. Dinh & Sibony (2010), «Динамика ...», Предложение 1.2.3.
8. Фахруддин (2003), Следствие 5.3.
9. Милнор (2006), Теорема 5.2 и задача 14-2; Форнаесс (1996), Глава 3.
10. Динь и Сибони (2010), «Динамика ...», Теорема 1.7.1.
11. Динь и Сибони (2010), «Динамика ...», Теорема 1.6.3.
12. Berteloot & Dupont (2005), Теорема 1.
13. Милнор (2006), задача 14-2.
14. Здуник (1990), Теорема 2; Бертелут и Дюпон (2005), Введение.
15. Милнор (2006), задача 5-3.
16. Кантат (2000), Теорема 2.2.
17. Кантата (2010), разделы 7–9.
18. Кантат (2014), раздел 2.4.3.
19. Де Телин и Динь (2012), Теорема 1.2.
20. Dinh & Sibony (2010), «Суперпотенциалы ...», раздел 4.4.
21. Кантат и Дюпон (2020), раздел 1.2.1.
22. Кантат и Дюпон (2020), Основная теорема.
23. Дин и Сибони (2010), «Суперпотенциалы ...», Теорема 4.4.2.
24. Кантат (2010), Теорема 9.8.
25. Кантат (2014), Теорема 8.2.

Ссылки

• Александр, Дэниел (1994), История сложной динамики: от Шредера до Фату и Жюлиа , Аспекты математики, т. 24, Vieweg Verlag , doi :10.1007/978-3-663-09197-4, ISBN 3-528-06520-6, МР  1260930
• Бирдон, Алан (1991), Итерация рациональных функций: комплексные аналитические динамические системы, Springer-Verlag , ISBN 0-387-97589-6, МР  1128089
• Бертелот, Франсуа; Дюпон, Кристоф (2005), «Une caractérisation des эндоморфизмов de Lattes par leur mesure de Green», Commentarii Mathematici Helvetici , 80 (2): 433–454, arXiv : math/0501034 , doi : 10.4171/CMH/21, MR  2142250
• Бонифант, Арасели; Любич, Михаил ; Сазерленд, Скотт, ред. (2014), Границы в сложной динамике: в честь 80-летия Джона Милнора , Princeton University Press , doi : 10.1515/9781400851317, ISBN 978-0-691-15929-4, г-н  3289442
• Канта, Серж (2010), «Quelques аспектов динамических полиномов: существование, примеры, жесткость», Quelques аспектов динамических полиномов, Société Mathématique de France , стр. 13–95, ISBN 978-2-85629-338-6, г-н  2932433
• Кантат, Серж (2014), «Динамика автоморфизмов компактных комплексных поверхностей», Frontiers in complex dynamics (Банф, 2011) , Princeton University Press , стр. 463–514, ISBN 978-0-691-15929-4, г-н  3289919
• Канта, Серж ; Дюпон, Кристоф (2020), «Автоморфизмы поверхностей: жесткость Куммера и мера максимальной энтропии», Журнал Европейского математического общества , 22 (4): 1289–1351, arXiv : 1410.1202 , doi : 10.4171/JEMS/946, MR  4071328
• Карлесон, Леннарт ; Гамелен, Теодор (1993), Сложная динамика , Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-4364-9, ISBN 0-387-97942-5, МР  1230383
• де Телин, Генри; Динь, Тьен-Куонг (2012), «Динамика автоморфизмов на компактных кэлеровых многообразиях», Advances in Mathematics , 229 (5): 2640–2655, arXiv : 1009.5796 , doi : 10.1016/j.aim.2012.01.014, MR  2889139
• Динь, Тьен-Куонг ; Сибони, Нессим (2010), «Динамика в нескольких комплексных переменных: эндоморфизмы проективных пространств и полиномиально-подобные отображения», Голоморфные динамические системы , Lecture Notes in Mathematics, т. 1998, Springer-Verlag , стр. 165–294, arXiv : 0810.0811 , doi :10.1007/978-3-642-13171-4_4, ISBN 978-3-642-13170-7, г-н  2648690
• Динь, Тьен-Куонг ; Сибони, Нессим (2010), «Суперпотенциалы для токов на компактных кэлеровых многообразиях и динамика автоморфизмов», Журнал алгебраической геометрии , 19 (3): 473–529, arXiv : 0804.0860 , doi : 10.1090/S1056-3911-10-00549-7, MR  2629598
• Фахруддин, Наджмуддин (2003), «Вопросы о самоотображениях алгебраических многообразий», Журнал математического общества Рамануджана , 18 (2): 109–122, arXiv : math/0212208 , MR  1995861
• Форнесс, Джон Эрик (1996), Динамика нескольких комплексных переменных , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0317-2, г-н  1363948
• Форнесс, Джон Эрик ; Сибони, Нессим (2001), «Динамика (примеры)», Слоения и слоения в динамике, геометрии и топологии (Стони Брук, 1998) , Американское математическое общество , стр. 47–85, doi : 10.1090/conm/269/04329 , ISBN ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ 978-0-8218-1985-2, МР  1810536
• Гедж, Винсент (2010), «Propriétés ergodiques des rationnelles», Quelquesspectes des systèmes dynamicques Polynomiaux, Société Mathématique de France , стр. 97–202, arXiv : math/0611302 , ISBN 978-2-85629-338-6, г-н  2932434
• Милнор, Джон (2006), Динамика в одной комплексной переменной (3-е изд.), Princeton University Press , arXiv : math/9201272 , doi :10.1515/9781400835539, ISBN 0-691-12488-4, МР  2193309
• Моросава, Сюнсуке; Нисимура, Ясуитиро; Танигучу, Масахико; Уэда, Тецуо (2000), Голоморфная динамика , Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-66258-3, МР  1747010
• Tan, Lei, ред. (2000), Множество Мандельброта, тема и вариации , Серия лекций Лондонского математического общества, том 274, Cambridge University Press , ISBN 0-521-77476-4, МР  1765080
• Здуник, Анна (1990), «Параболические орбифолды и размерность максимальной меры для рациональных отображений», Inventiones Mathematicae , 99 (3): 627–649, Bibcode : 1990InMat..99..627Z, doi : 10.1007/BF01234434, MR  1032883

Внешние ссылки

• Галерея динамики (Кертис МакМаллен)
• Обзоры в динамических системах