Михаил Леонидович Громов (также Михаил Громов , Михаил Громов или Миша Громов ; русский: Михаи́л Леони́дович Гро́мов ; родился 23 декабря 1943 года) — российско-французский математик, известный своими работами в области геометрии , анализа и теории групп . Он является постоянным членом Института высших научных исследований во Франции и профессором математики в Нью-Йоркском университете .
Громов получил несколько премий, в том числе премию Абеля в 2009 году «за революционный вклад в геометрию».
Михаил Громов родился 23 декабря 1943 года в Бокситогорске , Советский Союз . Его отец Леонид Громов был русско-славянином, а мать Лея была еврейского происхождения. Оба были патологоанатомами . [1] Его мать приходилась двоюродной сестрой чемпиону мира по шахматам Михаилу Ботвиннику , а также математику Исааку Моисеевичу Рабиновичу. [2] Громов родился во время Великой Отечественной войны , и его матери, работавшей врачом в Советской Армии, пришлось покинуть линию фронта, чтобы родить его. [3] Когда Громову было девять лет, [4] мать подарила ему книгу Ганса Радемахера и Отто Теплица «Наслаждение математикой» , книгу, которая возбудила его любопытство и оказала на него большое влияние. [3]
Громов изучал математику в Ленинградском государственном университете , где получил степень магистра в 1965 году, докторскую степень в 1969 году и защитил докторскую диссертацию в 1973 году. Руководителем его диссертации был Владимир Рохлин . [5]
Громов женился в 1967 году. В 1970 году его пригласили выступить с докладом на Международном конгрессе математиков в Ницце , Франция. Однако ему не разрешили покинуть СССР. Тем не менее, его лекция была опубликована в сборнике материалов конференции. [6]
Не соглашаясь с советской системой, он подумывал об эмиграции с 14 лет. В начале 1970-х годов он прекратил публикацию, надеясь, что это поможет его заявлению о переезде в Израиль . [4] [7] Он изменил свою фамилию на фамилию своей матери. [4] Он получил закодированное письмо, в котором говорилось, что, если он сможет выбраться из Советского Союза, он сможет поехать в Стоуни-Брук , где для него была организована должность. Когда в 1974 году запрос был удовлетворен, он переехал прямо в Нью-Йорк и работал в Стоуни-Брук. [6]
В 1981 году он покинул Университет Стоуни-Брук, чтобы поступить на факультет Парижского университета VI , а в 1982 году стал постоянным профессором Института высших научных исследований , где и остается по сей день. В то же время он занимал профессорские должности в Университете Мэриленда в Колледж-Парке с 1991 по 1996 год и в Институте математических наук Куранта в Нью-Йорке с 1996 года. [8] Он принял французское гражданство в 1992 году. [9]
Стиль геометрии Громова часто демонстрирует «грубую» или «мягкую» точку зрения, анализируя асимптотические или крупномасштабные свойства. [G00] Он также интересуется математической биологией , [10] структурой мозга и мыслительным процессом, а также тем, как развиваются научные идеи. [6]
Вдохновленный изометрическими теоремами Нэша и Койпера вложения и результатами Морриса Хирша и Стивена Смейла об погружениях , [ 10 ] Громов ввел h -принцип в различных формулировках. По модели частного случая теории Хирша-Смейла он представил и развил общую теорию микрогибких пучков , доказав, что они удовлетворяют h-принципу на открытых многообразиях . [G69] Как следствие (среди других результатов) он смог установить существование римановых метрик положительной и отрицательной кривизны на любом открытом многообразии . Его результат является контрапунктом хорошо известным топологическим ограничениям (таким как теорема Чигера-Громолла о душе или теорема Картана-Адамара ) на геодезически полные римановы многообразия положительной или отрицательной кривизны. После этой первоначальной работы он разработал дальнейшие h-принципы частично в сотрудничестве с Яковом Элиашбергом , включая работу, основанную на теореме Нэша и Койпера и теореме Нэша-Мозера о неявной функции . Существует множество приложений его результатов, включая топологические условия существования точных лагранжевых погружений и подобных объектов в симплектической и контактной геометрии . [11] [12] Его известная книга «Частичные дифференциальные отношения» содержит большую часть его работ по этим проблемам. [G86] Позже он применил свои методы к сложной геометрии , доказав некоторые примеры принципа Оки о деформации непрерывных отображений в голоморфные . [G89] Его работа положила начало обновленному исследованию теории Оки-Грауэрта, которая была представлена в 1950-х годах. [13] [14]
Громов и Виталий Мильман дали формулировку явления концентрации меры . [GM83] Они определили «семейство Леви» как последовательность нормализованных метрических пространств с мерой, в которой любая асимптотически ненулевая последовательность множеств может быть метрически сгущена, чтобы включать почти каждую точку. Это близко имитирует явления закона больших чисел , и фактически закон больших чисел можно поместить в рамки семейств Леви. Громов и Мильман разработали базовую теорию семейств Леви и определили ряд примеров, в первую очередь из последовательностей римановых многообразий , в которых нижняя граница кривизны Риччи или первое собственное значение оператора Лапласа – Бельтрами расходятся к бесконечности. Они также подчеркнули особенность семейств Леви, в которых любая последовательность непрерывных функций должна быть асимптотически почти постоянной. Эти соображения были развиты другими авторами, такими как Мишель Талагранд . [15]
Со времени основополагающей публикации Джеймса Илса и Джозефа Сэмпсона о гармонических картах в 1964 году различные явления жесткости были выведены из комбинации теоремы существования гармонических отображений и теоремы об исчезновении, утверждающей, что (определенные) гармонические отображения должны быть полностью геодезическими или голоморфными. [16] [17] [18] Громов понял, что расширение этой программы на отображение отображений в метрические пространства повлечет за собой новые результаты о дискретных группах , следуя сверхжесткости Маргулиса . Ричард Шен провел аналитическую работу по распространению теории гармонических отображений на метрическое пространство; Впоследствии это было сделано более систематически Николасом Коревааром и Шеном, установив расширение большей части стандартной теории пространства Соболева . [19] Примером применения методов Громова и Шена является тот факт, что решетки в группе изометрий кватернионного гиперболического пространства являются арифметическими . [GS92]
В 1978 году Громов ввёл понятие почти плоских многообразий . [G78] Знаменитая теорема о четверть защемленной сфере в римановой геометрии гласит, что если полное риманово многообразие имеет секционные кривизны , все из которых достаточно близки к заданной положительной константе, то M должно быть конечно покрыто сферой. Напротив, путем масштабирования можно увидеть, что каждое замкнутое риманово многообразие имеет римановы метрики, секционная кривизна которых сколь угодно близка к нулю. Громов показал, что если возможность масштабирования нарушается при рассмотрении только римановых многообразий фиксированного диаметра, то замкнутое многообразие, допускающее такую риманову метрику, с секционной кривизной, достаточно близкой к нулю, должно быть конечно покрыто нильмногообразием . Доказательство основано на повторении доказательств теоремы Бибербаха и леммы Маргулиса . Доказательство Громова тщательно изложили Питер Бузер и Герман Керхер. [20] [21] [22]
В 1979 году Ричард Шен и Шинг-Тунг Яу показали, что класс гладких многообразий , допускающих римановы метрики положительной скалярной кривизны , топологически богат. В частности, они показали, что этот класс замкнут относительно операции связной суммы и операции в коразмерности не менее трех. [23] В их доказательстве использовались элементарные методы уравнений в частных производных , в частности, связанные с функцией Грина . Громов и Блейн Лоусон дали еще одно доказательство результатов Шена и Яу, используя элементарные геометрические конструкции. [GL80b] Они также показали, как чисто топологические результаты, такие как теорема Стивена Смейла о h-кобордизме, могут быть применены для получения таких выводов, как тот факт, что каждое замкнутое и односвязное гладкое многообразие размерности 5, 6 или 7 имеет Риманова метрика положительной скалярной кривизны. Далее они ввели новый класс расширяемых многообразий , отличающийся одним условием гомотопической теории . [GL80a] Они показали, что римановы метрики положительной скалярной кривизны не могут существовать на таких многообразиях. Особым следствием является то, что тор не может поддерживать какую-либо риманову метрику положительной скалярной кривизны, что было основной гипотезой, ранее решенной Шоном и Яу в малых размерностях. [24]
В 1981 году Громов определил топологические ограничения, основанные на числах Бетти , на многообразия, которые допускают римановы метрики неотрицательной секционной кривизны . [G81a] Основная идея его работы заключалась в объединении теории Морса Карстена Гроува и Кацухиро Сиохамы для римановой функции расстояния с контролем функции расстояния, полученной из теоремы сравнения Топоногова , вместе с неравенством Бишопа-Громова об объеме геодезических шаров. . [25] Это привело к топологически контролируемым покрытиям многообразия геодезическими шарами, к которым можно было применить аргументы спектральной последовательности для управления топологией основного многообразия. Топология нижних границ секционной кривизны до сих пор полностью не изучена, и работа Громова остается основным результатом. В качестве применения теории Ходжа Питер Ли и Яу смогли применить свои оценки градиента, чтобы найти аналогичные оценки числа Бетти, которые слабее, чем оценки Громова, но позволяют многообразию иметь выпуклую границу . [26]
В фундаментальной теории компактности римановых многообразий Джеффа Чигера ключевым шагом в построении координат на предельном пространстве является оценка радиуса инъективности для замкнутых многообразий . [27] Чигер, Громов и Майкл Тейлор локализовали оценку Чигера, показав, как использовать сравнение объемов Бишопа-Громова для управления радиусом инъективности в абсолютном выражении с помощью границ кривизны и объемов геодезических шаров. [CGT82] Их оценка использовалась в ряде мест, где построение координат является важной проблемой. [28] [29] [30] Особенно известным примером этого является показ того, что «несхлопывающая теорема» Григория Перельмана для потока Риччи , который контролирует объем, достаточна для применения теории компактности Ричарда Гамильтона . [31] [32] [33] Чигер, Громов и Тейлор применили свою оценку радиуса инъективности, чтобы доказать гауссово управление тепловым ядром , хотя эти оценки позже были улучшены Ли и Яу как применение их оценок градиента. [26]
Громов внес основополагающий вклад в систолическую геометрию . Систолическая геометрия изучает взаимосвязь между инвариантами размера (такими как объем или диаметр) многообразия M и его топологически нетривиальными подмногообразиями (такими как нестягиваемые кривые). В своей статье 1983 года «Заполнение римановых многообразий» [G83] Громов доказал , что каждое существенное многообразие с римановой метрикой содержит замкнутую нестягиваемую геодезическую длины не более . [34]
В 1981 году Громов ввёл метрику Громова–Хаусдорфа , которая наделяет множество всех метрических пространств структурой метрического пространства. [G81b] В более общем смысле можно определить расстояние Громова-Хаусдорфа между двумя метрическими пространствами относительно выбора точки в каждом пространстве. Хотя это не дает метрики на пространстве всех метрических пространств, этого достаточно, чтобы определить «сходимость Громова-Хаусдорфа» последовательности точечных метрических пространств к пределу. В этом случае Громов сформулировал важную теорему о компактности, задав условие, при котором последовательность точечных и «правильных» метрических пространств должна иметь сходящуюся подпоследовательность. Позже Громов и другие переформулировали это понятие в более гибкое понятие ультрапредела . [G93]
Теорема Громова о компактности оказала глубокое влияние на область геометрической теории групп . Он применил его, чтобы понять асимптотическую геометрию словесной метрики группы полиномиального роста , взяв предел правильно выбранных масштабов метрики. Отслеживая пределы изометрий слова метрика, он смог показать, что предельное метрическое пространство обладает неожиданной непрерывностью и, в частности, что его группа изометрий является группой Ли . [G81b] Как следствие, он смог подтвердить гипотезу Милнора-Вольфа , выдвинутую в 1960-х годах, которая утверждает, что любая такая группа практически нильпотентна . Используя ультрапределы, аналогичные асимптотические структуры можно изучить для более общих метрических пространств. [G93] Важные разработки по этой теме были даны Брюсом Кляйнером , Бернхардом Леебом и Пьером Пансу , среди других. [35] [36]
Другим следствием является теорема Громова о компактности , утверждающая, что множество компактных римановых многообразий с кривизной Риччи ≥ c и диаметром ≤ D относительно компактно в метрике Громова – Хаусдорфа. [G81b] Возможными предельными точками последовательностей таких многообразий являются пространства Александрова кривизны ≥ c , класс метрических пространств , подробно изученный Бураго , Громовым и Перельманом в 1992 году. [BGP92]
Вместе с Элияху Рипсом Громов ввел понятие гиперболических групп . [G87]
Теория псевдоголоморфных кривых Громова — одна из основ современного изучения симплектической геометрии . [G85] Хотя он не был первым, кто рассматривал псевдоголоморфные кривые, он обнаружил феномен «пузырения», параллельный более ранней работе Карен Уленбек о связях Янга-Миллса , а также работе Уленбека и Джонатана Сака по гармоническим картам . [37] [38] Со времени работы Сакса, Уленбека и Громова такие явления пузырьков были обнаружены в ряде других геометрических контекстов. Соответствующая теорема о компактности, кодирующая пузырьки, позволила Громову прийти к ряду аналитически глубоких выводов о существовании псевдоголоморфных кривых. Особенно известным результатом Громова, полученным вследствие теории существования и формулы монотонности минимальных поверхностей , является « теорема о несжимании », обеспечившая яркую качественную особенность симплектической геометрии. Следуя идеям Эдварда Виттена , работа Громова также является фундаментальной для теории Громова-Виттена , которая является широко изучаемой темой, проникающей в теорию струн , алгебраическую геометрию и симплектическую геометрию . [39] [40] [41] С другой точки зрения, работа Громова также послужила источником вдохновения для большей части творчества Андреаса Флоера . [42]
Яков Элиашберг и Громов разработали некоторые основные теории симплектических понятий выпуклости. [EG91] Они вводят различные конкретные понятия выпуклости, все из которых связаны с существованием однопараметрических семейств диффеоморфизмов, стягивающих симплектическую форму. Они показывают, что выпуклость является подходящим контекстом для применения h-принципа в задаче построения некоторых симплектоморфизмов . Аналогичные понятия они ввели также в контактную геометрию ; существование выпуклых контактных структур позже изучил Эммануэль Жиру . [43]
Книги
Основные статьи
СМИ, связанные с Михаилом Леонидовичем Громовым, на Викискладе?
