Арифметическая группа

В математике арифметическая группа — это группа, полученная как целые точки алгебраической группы , например Они естественным образом возникают при изучении арифметических свойств квадратичных форм и других классических тем в теории чисел . Они также приводят к очень интересным примерам римановых многообразий и, следовательно, являются объектами интереса в дифференциальной геометрии и топологии . Наконец, эти две темы объединяются в теории автоморфных форм , которая является фундаментальной в современной теории чисел. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ).}$

История

Одним из источников математической теории арифметических групп является алгебраическая теория чисел. Классическая теория редукции квадратичных и эрмитовых форм Чарльза Эрмита , Германа Минковского и других может рассматриваться как вычисление фундаментальных областей для действия определенных арифметических групп на соответствующих симметричных пространствах . ^{[1] [2] Тема была связана с} геометрией чисел Минковского и ранним развитием изучения арифметического инварианта числовых полей, такого как дискриминант . Арифметические группы можно рассматривать как обширное обобщение единичных групп числовых полей на некоммутативную установку.

Те же группы также появились в аналитической теории чисел по мере развития изучения классических модулярных форм и их обобщений. Конечно, эти две темы были связаны, как можно видеть, например, в вычислении Ленглендсом объема некоторых фундаментальных областей с использованием аналитических методов. ^[3] Эта классическая теория достигла кульминации в работе Сигеля, который показал конечность объема фундаментальной области во многих случаях.

Для начала современной теории требовалась фундаментальная работа, и она была предоставлена ​​работами Армана Бореля , Андре Вейля , Жака Титса и других по алгебраическим группам. ^{[4] [5]} Вскоре после этого конечность кообъема была доказана в полной общности Борелем и Хариш-Чандрой . ^[6] Тем временем, наблюдался прогресс в общей теории решеток в группах Ли Атле Сельбергом , Григорием Маргулисом , Дэвидом Кажданом , М.С. Рагхунатханом и другими. Состояние дел после этого периода было по существу зафиксировано в трактате Рагхунатхана, опубликованном в 1972 году. ^[7]

В семидесятых годах Маргулис произвел революцию в этой теме, доказав, что в «большинстве» случаев арифметические построения учитывают все решетки в данной группе Ли. ^[8] Некоторые ограниченные результаты в этом направлении были получены ранее Сельбергом, но методы Маргулиса (использование эргодически-теоретических инструментов для действий на однородных пространствах) были совершенно новыми в этом контексте и должны были оказать огромное влияние на более поздние разработки, фактически обновив старый предмет геометрии чисел и позволив самому Маргулису доказать гипотезу Оппенгейма ; более сильные результаты ( теоремы Ратнера ) были позже получены Мариной Ратнер .

В другом направлении классическая тема модулярных форм расцвела в современную теорию автоморфных форм. Движущей силой этого усилия является в основном программа Ленглендса, инициированная Робертом Ленглендсом . Одним из основных инструментов, используемых там, является формула следа , возникшая в работе Сельберга ^[9] и разработанная в наиболее общей постановке Джеймсом Артуром . ^[10]

Наконец, арифметические группы часто используются для построения интересных примеров локально симметричных римановых многообразий. Особенно активной темой исследований были арифметические гиперболические 3-многообразия , которые, как писал Уильям Терстон ^[11] , «...часто кажутся обладающими особой красотой».

Определение и построение

Арифметические группы

Если - алгебраическая подгруппа для некоторого , то мы можем определить арифметическую подгруппу как группу целых точек В общем случае не так очевидно, как точно сформулировать понятие "целых точек" θ -группы, и подгруппа, определенная выше, может меняться, когда мы берем различные вложения. ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cap \mathrm {G} (\mathbb {Q} ).}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} ).}$

Таким образом, лучшим понятием будет взять для определения арифметической подгруппы любой группы , которая соизмерима (это означает, что и и являются конечными множествами) с группой, определенной выше (относительно любого вложения в ). При таком определении алгебраической группе соответствует набор «дискретных» подгрупп, все из которых соизмеримы друг с другом. ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Gamma /(\Gamma \cap \Lambda )}$ ${\displaystyle \Lambda /(\Gamma \cap \Lambda )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$

Использование числовых полей

Естественное обобщение вышеприведенной конструкции выглядит следующим образом: пусть — числовое поле с кольцом целых чисел и алгебраической группой над . Если нам дано вложение, определенное над , то подгруппу можно законно назвать арифметической группой. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho :\mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho ^{-1}(\mathrm {GL} _{n}(O))\subset \mathrm {G} (F)}$

С другой стороны, класс групп, полученных таким образом, не больше класса арифметических групп, как определено выше. Действительно, если мы рассмотрим алгебраическую группу над , полученную ограничением скаляров от до и -вложением, индуцированным (где ), то группа, построенная выше, будет равна . ${\displaystyle \mathrm {G} '}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \rho ':\mathrm {G} '\to \mathrm {GL} _{dn}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle d=[F:\mathbb {Q} ]}$ ${\displaystyle (\rho ')^{-1}(\mathrm {GL} _{nd}(\mathbb {Z} ))}$

Примеры

Классическим примером арифметической группы является , или тесно связанные с ней группы , и . Для группы , или иногда , называется модулярной группой , поскольку она связана с модулярной кривой . Аналогичными примерами являются модулярные группы Зигеля . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

Другие известные и изученные примеры включают группы Бианки , где — целое число, свободное от квадратов, а — кольцо целых чисел в поле , а также модулярные группы Гильберта–Блюменталя . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(O_{-m}),}$ ${\displaystyle m>0}$ ${\displaystyle O_{-m}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-m}}),}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(O_{m})}$

Другой классический пример — целые элементы в ортогональной группе квадратичной формы, определенной над числовым полем, например . Связанная конструкция заключается в взятии единичных групп порядков в кватернионных алгебрах над числовыми полями (например, порядок кватерниона Гурвица ). Аналогичные конструкции можно выполнить с унитарными группами эрмитовых форм , хорошо известным примером является модулярная группа Пикара . ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)(\mathbb {Z} )}$

Арифметические решетки в полупростых группах Ли

Когда является группой Ли, можно определить арифметическую решетку в следующим образом: для любой алгебраической группы, определенной над такой, что существует морфизм с компактным ядром, образом арифметической подгруппы в является арифметическая решетка в . Таким образом, например, если и является подгруппой то является арифметической решеткой в ​​(но их гораздо больше, соответствующих другим вложениям); например, является арифметической решеткой в ​​. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {R} )\to G}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$ ${\displaystyle G\cap \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$

Теорема Бореля–Хариша-Чандры

Решетка в группе Ли обычно определяется как дискретная подгруппа с конечным кообъемом. Терминология, введенная выше, согласуется с этим, поскольку теорема Бореля и Хариш-Чандры утверждает, что арифметическая подгруппа в полупростой группе Ли имеет конечный кообъем (дискретность очевидна).

Теорема более точна: она утверждает, что арифметическая решетка является кокомпактной тогда и только тогда, когда «форма» из , используемая для ее определения (т. е. -группа ), является анизотропной. Например, арифметическая решетка, связанная с квадратичной формой от переменных над , будет кокомпактной в связанной ортогональной группе тогда и только тогда, когда квадратичная форма не обращается в нуль ни в одной точке из . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}\setminus \{0\}}$

Теорема Маргулиса об арифметичности

Эффектный результат, полученный Маргулисом, является частичным обращением теоремы Бореля—Хариша-Чандры: для некоторых групп Ли любая решетка является арифметической. Этот результат верен для всех неприводимых решеток в полупростых группах Ли действительного ранга, большего двух. ^{[12] [13]} Например, все решетки в являются арифметическими, когда . Главным новым ингредиентом, который Маргулис использовал для доказательства своей теоремы, была сверхжесткость решеток в группах более высокого ранга, которую он доказал для этой цели. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

Неприводимость играет роль только тогда, когда имеет множитель действительного ранга один (иначе теорема всегда верна) и не является простой: это означает, что для любого разложения произведения решетка несоизмерима с произведением решеток в каждом из множителей . Например, решетка в неприводима, в то время как не является. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=G_{1}\times G_{2}}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

Теорема Маргулиса об арифметичности (и сверхжесткости) справедлива для некоторых групп Ли ранга 1, а именно для и исключительной группы . ^{[14] [15]} Известно, что она не справедлива во всех группах для (см. GPS) и для , когда . Не существует известных неарифметических решеток в группах , когда . ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,1)}$ ${\displaystyle n\geqslant 1}$ ${\displaystyle F_{4}^{-20}}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$ ${\displaystyle n\geqslant 2}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$ ${\displaystyle n=1,2,3}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$ ${\displaystyle n\geqslant 4}$

Арифметические группы Фукса и Клейна

Арифметическая фуксова группа строится из следующих данных: вполне вещественное числовое поле , кватернионная алгебра над и порядок в . Требуется, чтобы для одного вложения алгебра была изоморфна матричной алгебре , а для всех остальных — кватернионам Гамильтона . Тогда группа единиц представляет собой решетку в , изоморфную и она кокомпактна во всех случаях, за исключением случая, когда — матричная алгебра над Все арифметические решетки в получаются таким образом (с точностью до соизмеримости). ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma :F\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle M_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{1}}$ ${\displaystyle (A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R} )^{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Арифметические группы Клейна строятся аналогично, за исключением того, что требуется иметь ровно одно комплексное место и быть кватернионами Гамильтона во всех действительных местах. Они исчерпывают все классы арифметической соизмеримости в ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} ).}$

Классификация

Для каждой полупростой группы Ли теоретически возможно классифицировать (с точностью до соизмеримости) все арифметические решетки в , аналогично случаям, описанным выше. Это равносильно классификации алгебраических групп, вещественные точки которых изоморфны с точностью до компактного множителя . ^[16] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle G}$

Проблема подгруппы конгруэнтности

Конгруэнтная подгруппа (грубо) является подгруппой арифметической группы, определяемой взятием всех матриц, удовлетворяющих определенным уравнениям по модулю целого числа, например, группы матриц 2 на 2 целых чисел с диагональными (соответственно недиагональными) коэффициентами, сравнимыми с 1 (соответственно 0) по модулю положительного целого числа. Это всегда подгруппы с конечным индексом, и проблема конгруэнтной подгруппы грубо спрашивает, все ли подгруппы получены таким образом. Гипотеза (обычно приписываемая Жану-Пьеру Серру ) заключается в том, что это верно для (неприводимых) арифметических решеток в группах более высокого ранга и ложно в группах ранга один. Она все еще открыта в этой общности, но есть много результатов, устанавливающих ее для конкретных решеток (как в ее положительном, так и в отрицательном случаях).

S-арифметические группы

Вместо того, чтобы брать целые точки в определении арифметической решетки, можно брать точки, которые являются целыми только из конечного числа простых чисел. Это приводит к понятию -арифметической решетки (где обозначает множество инвертированных простых чисел). Прототипическим примером является . Они также являются естественными решетками в некоторых топологических группах, например, является решеткой в ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{p}}\right]\right)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{p}}\right]\right)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Q} _{p}).}$

Определение

Формальное определение -арифметической группы для конечного множества простых чисел такое же, как и для арифметических групп, с заменой на , где — произведение простых чисел в . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{N}}\right]\right)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$

Решетки в группах Ли над локальными полями

Теорема Бореля–Хариша-Чандры обобщается на -арифметические группы следующим образом: если — -арифметическая группа в -алгебраической группе , то — решетка в локально компактной группе ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {R} )\times \prod _{p\in S}\mathrm {G} (\mathbb {Q} _{p})}$.

Некоторые приложения

Явные графики экспандеров

Арифметические группы со свойством Каждана (T) или более слабым свойством ( ) Любоцкого и Циммера могут быть использованы для построения графов-расширителей (Маргулис) или даже графов Рамануджана (Любоцкий-Филлипс-Сарнак ^{[17] [18]} ). Известно, что такие графы существуют в изобилии по вероятностным результатам, но явный характер этих конструкций делает их интересными. ${\displaystyle \tau }$

Экстремальные поверхности и графы

Известно, что конгруэнтные покрытия арифметических поверхностей приводят к поверхностям с большим радиусом инъективности . ^[19] Аналогично, графы Рамануджана, построенные Любоцким-Филлипсом-Сарнаком, имеют большой обхват . Фактически известно, что само свойство Рамануджана подразумевает, что локальные обхваты графа почти всегда велики. ^[20]

Изоспектральные многообразия

Арифметические группы могут быть использованы для построения изоспектральных многообразий . Это было впервые реализовано Мари-Франс Виньера ^[21] и с тех пор появилось множество вариаций ее конструкции. Проблема изоспектральности на самом деле особенно поддается изучению в ограниченном контексте арифметических многообразий. ^[22]

Поддельные проективные плоскости

Поддельная проективная плоскость ^[23] — это комплексная поверхность , которая имеет те же числа Бетти , что и проективная плоскость , но не является биголоморфной ей; первый пример был обнаружен Мамфордом. Согласно работе Клинглера (также доказанной независимо Йенгом), все такие являются факторами 2-шара по арифметическим решеткам в . Возможные решетки были классифицированы Прасадом и Йенгом, а классификация была завершена Картрайтом и Стегером, которые с помощью вычислений с помощью компьютера определили все поддельные проективные плоскости в каждом классе Прасада-Йенга. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {PU} (2,1)}$

Ссылки

1. Борель, Арманд (1969). Введение в группы арифметики. Герман.
2. Зигель, Карл Людвиг (1989). Лекции по геометрии чисел. Springer-Verlag.
3. Ленглендс, RP (1966), «Объем фундаментальной области для некоторых арифметических подгрупп групп Шевалле», Алгебраические группы и разрывные подгруппы , Proc. Sympos. Pure Math., Providence, RI: Amer. Math. Soc., стр. 143–148, MR  0213362
4. Борель, Арманд; Титс, Жак (1965). «Редуктивные группы». Инст. Hautes Études Sci. Опубл. Математика . 27 : 55–150. дои : 10.1007/bf02684375. S2CID  189767074.
5. Вайль, Андре (1982). Адели и алгебраические группы . Биркхойзер. стр. iii+126. MR  0670072.
6. Борель, Арманд; Хариш-Чандра (1962). «Арифметические подгруппы алгебраических групп». Annals of Mathematics . 75 (3): 485–535. doi :10.2307/1970210. JSTOR  1970210.
7. Рагхунатхан, М. С. (1972). Дискретные подгруппы групп Ли. Springer-Verlag.
8. Маргулис, Григорий (1975). «Дискретные группы движений многообразий неположительной кривизны». Труды Международного конгресса математиков (Ванкувер, Британская Колумбия, 1974), т. 2 (на русском языке). Канадский математический конгресс. С. 21–34.
9. Сельберг, Атле (1956). «Гармонический анализ и разрывные группы в слабо симметричных римановых пространствах с приложениями к рядам Дирихле». J. Indian Math. Soc . New Series. 20 : 47–87.
10. Артур, Джеймс (2005). «Введение в формулу следа». Гармонический анализ, формула следа и многообразия Шимуры . Amer. Math. soc. стр. 1–263.
11. Терстон, Уильям (1982). «Трехмерные многообразия, клейновы группы и гиперболическая геометрия». Bull. Amer. Math. Soc. (NS) . 6 (3): 357–381. doi : 10.1090/s0273-0979-1982-15003-0 .
12. Маргулис, Георги (1991). Дискретные подгруппы полупростых групп Ли . Springer-Verlag.
13. Витте-Моррис, Дэйв (2015). "16". Введение в арифметические группы .
14. Громов, Михаил; Шен, Ричард (1992). «Гармонические отображения в сингулярные пространства и p-адическая сверхжесткость для решеток в группах ранга один». Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math . 76 : 165–246. doi :10.1007/bf02699433. S2CID  118023776.
15. Корлетт, Кевин (1992). «Архимедова сверхжесткость и гиперболическая геометрия». Ann. of Math . 135 (1): 165–182. doi :10.2307/2946567. JSTOR  2946567.
16. Витте-Моррис, Дэйв (2015). "18". Введение в арифметические группы .
17. Любоцкий, Александр (1994). Дискретные группы, расширяющиеся графы и инвариантные меры . Биркхойзер.
18. Сарнак, Питер (1990). Некоторые приложения модулярных форм . Cambridge University Press.
19. Кац, Михаил Г.; Шапс, Мэри; Вишне, Узи (2007), «Логарифмический рост систолы арифметических римановых поверхностей вдоль подгрупп конгруэнтности», Журнал дифференциальной геометрии , 76 (3): 399–422, arXiv : math.DG/0505007 , doi : 10.4310/jdg/1180135693, MR  2331526, S2CID  18152345
20. Аберт, Миклош; Гласнер, Яир; Вираг, Балинт (2014). «Теорема Кестена для инвариантных случайных подгрупп». Герцог Мат. Дж . 163 (3): 465. arXiv : 1201.3399 . дои : 10.1215/00127094-2410064. МР  3165420. S2CID  20839217.
21. Виньерас, Мари-Франс (1980). «Изоспектральные и неизометрические вариации риманов». Энн. математики. (на французском языке). 112 (1): 21–32. дои : 10.2307/1971319. JSTOR  1971319.
22. Прасад, Гопал; Рапинчук, Андрей С. (2009). «Слабо соизмеримые арифметические группы и изоспектральные локально симметричные пространства». Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci . 109 : 113–184. arXiv : 0705.2891 . doi :10.1007/s10240-009-0019-6. MR  2511587. S2CID  1153678.
23. Реми, Бертран (2007–2008), COVOLUME DES GROUPES S-ARIFMÉTIQUES ET FAUX PLANS PROJECTIFS [d'après Mumford, Prasad, Klingler, Yeung, Prasad-Yung] , семинар Бурбаки{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)