Глоссарий римановой и метрической геометрии

Математический глоссарий

Это глоссарий некоторых терминов, используемых в римановой геометрии и метрической геометрии . Он не охватывает терминологию дифференциальной топологии .

Следующие статьи также могут быть полезны; они либо содержат специализированную лексику, либо дают более подробные объяснения приведенных ниже определений.

• Связь
• Кривизна
• Метрическое пространство
• риманово многообразие

Смотрите также:

• Глоссарий общей топологии
• Глоссарий дифференциальной геометрии и топологии
• Список тем по дифференциальной геометрии

Если не указано иное, буквы X , Y , Z ниже обозначают метрические пространства, M , N обозначают римановы многообразия, | xy | или обозначает расстояние между точками x и y в X. Курсивное слово обозначает ссылку на данный глоссарий. ${\displaystyle |xy|_{X}}$

Предупреждение : многие термины в римановой и метрической геометрии, такие как выпуклая функция , выпуклое множество и другие, не имеют точно такого же значения, как в общем математическом словоупотреблении.

А

Пространство Александрова — обобщение римановых многообразий с верхними, нижними или интегральными границами кривизны (последняя работает только в размерности 2)

Почти плоский коллектор

Изометрия по дуге аналогична изометрии по траектории .

Автопараллельный то же самое, что и полностью геодезический

Б

Барицентр , см. центр масс .

Билипшицево отображение. Отображение называется билипшицевым, если существуют положительные константы c и C, такие, что для любых x и y в X ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle c|xy|_{X}\leq |f(x)f(y)|_{Y}\leq C|xy|_{X}}$

Функция Буземана для заданного луча γ : [0, ∞)→ X определяется как

${\displaystyle B_{\gamma }(p)=\lim _{t\to \infty }(|\gamma (t)-p|-t)}$

С

Теорема Картана–Адамара ^{— это утверждение о том, что связное ,} односвязное полное риманово многообразие с неположительной секционной кривизной диффеоморфно Rn посредством экспоненциального отображения; для метрических пространств — утверждение о том, что связное, односвязное полное геодезическое метрическое пространство с неположительной кривизной в смысле Александрова является (глобально) CAT(0)-пространством .

Картан расширил Общую теорию относительности Эйнштейнадо теории Эйнштейна–Картана , используя геометрию Римана–Картана вместо римановой геометрии. Это расширение обеспечивает аффинное кручение , которое допускает несимметричные тензоры кривизны и включение спин-орбитальной связи .

Центр масс . Точка q  ∈  M называется центром масс точек, если она является точкой глобального минимума функции ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{i}|p_{i}x|^{2}}$

Такая точка единственна, если все расстояния меньше радиуса выпуклости . ${\displaystyle |p_{i}p_{j}|}$

символ Кристоффеля

Разрушающийся коллектор

Полный коллектор

Полное метрическое пространство

Завершение

Конформное отображение — это отображение, сохраняющее углы.

Конформно плоское многообразие M является конформно плоским, если оно локально конформно эквивалентно евклидову пространству, например, стандартная сфера является конформно плоской.

Сопряженные точки. Две точки p и q на геодезическойназываются сопряженными, если существует поле Якоби, накотором имеется ноль в точках p и q . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Выпуклая функция . Функция f на римановом многообразии является выпуклой, если для любой геодезическойфункцияявляется выпуклой . Функция f называется-выпуклой, если для любой геодезическойс натуральным параметромфункцияявляется выпуклой . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f\circ \gamma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f\circ \gamma (t)-\lambda t^{2}}$

Выпуклый Подмножество K риманова многообразия M называется выпуклым, если для любых двух точек из K существует кратчайший путь, соединяющий их и целиком лежащий в K , см. также полностью выпуклый .

Котангенс расслоение

Ковариантная производная

Локус разреза

Д

Диаметр метрического пространства — это супремум расстояний между парами точек.

Развертывающаяся поверхность — это поверхность , изометричная плоскости.

Дилатация отображения между метрическими пространствами — это инфимум чисел L, таких, что данное отображение является L - липшицевым .

Э

Экспоненциальное отображение : Экспоненциальное отображение (теория Ли) , Экспоненциальное отображение (риманова геометрия)

Ф

метрика Финслера

Первой фундаментальной формой для вложения или погружения является обратный образ метрического тензора .

Плоский коллектор

Г

Геодезическая — это кривая , которая локально минимизирует расстояние .

Геодезический поток — это поток на касательном расслоении TM многообразия M , порожденный векторным полем , траектории которогоимеют вид ,где— геодезическая . ${\displaystyle (\gamma (t),\gamma '(t))}$ ${\displaystyle \gamma }$

Сходимость Громова-Хаусдорфа

Геодезическое метрическое пространство — это метрическое пространство, в котором любые две точки являются конечными точками минимизирующей геодезической .

ЧАС

Пространство Адамара — полное односвязное пространство с неположительной кривизной.

Орисфера — это множество уровня функции Буземана .

я

Радиус инъективности Радиус инъективности в точке p риманова многообразия — это наибольший радиус, для которого экспоненциальное отображение в точке p является диффеоморфизмом . Радиус инъективности риманова многообразия — это инфимум радиусов инъективности во всех точках. См. также cut locus .

Для полных многообразий, если радиус инъективности в точке p равен конечному числу r , то либо существует геодезическая длиной 2 r , которая начинается и заканчивается в точке p , либо существует точка q , сопряженная с p (см. сопряженную точку выше) и находящаяся на расстоянии r от p . Для замкнутого риманова многообразия радиус инъективности равен либо половине минимальной длины замкнутой геодезической, либо минимальному расстоянию между сопряженными точками на геодезической.

Инфранилмногообразие Для заданной односвязной нильпотентной группы Ли N, действующей на себе левым умножением, и конечной группы автоморфизмов F группы N можно определить действие полупрямого произведения на N. Пространство орбит группы N , дискретная подгруппа которой действует свободно на N, называется инфранилмногообразием . Инфранилмногообразие конечно покрывается нильмногообразием . ${\displaystyle N\rtimes F}$ ${\displaystyle N\rtimes F}$

Изометрия — это карта, сохраняющая расстояния.

Внутренняя метрика

Дж.

Поле Якоби Поле Якоби — это векторное поле на геодезической γ, которое можно получить следующим образом: возьмем гладкое однопараметрическое семейство геодезическихс, тогда поле Якоби описывается формулой ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$ ${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma }$

${\displaystyle J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}.}$

кривая Джордана

К

Метрика Кэлера-Эйнштейна

метрика Кэлера

Уничтожение векторного поля

Л

Метрика длины та же, что и внутренняя метрика .

Связность Леви-Чивиты — естественный способ дифференцирования векторных полей на римановых многообразиях.

Липшицева сходимость — сходимость, определяемая метрикой Липшица.

Липшицево расстояние между метрическими пространствами — это инфимум чисел r таких, что между этими пространствами существует биективное билипшицево отображение с константами exp(- r ), exp( r ).

Карта Липшица

Логарифмическая карта является правой обратной картой экспоненциальной карты.

М

Средняя кривизна

Метрический шар

Метрический тензор

Минимальная поверхность — это подмногообразие со средней кривизной (вектором), равной нулю.

Н

Естественная параметризация — это параметризация по длине.

Сеть . Подмножество S метрического пространства X называется -сетью, если для любой точки в X существует точка в S на расстоянии . Это отличается от топологических сетей , которые обобщают пределы. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \leq \epsilon }$

Нильмногообразие : элемент минимального множества многообразий, включающий точку, и обладающий следующим свойством: любое ориентированное-расслоение над нильмногообразием является нильмногообразием. Его также можно определить как фактор связной нильпотентной группы Ли по решетке . ${\displaystyle S^{1}}$

Нормальное расслоение : связано с вложением многообразия M в окружающее евклидово пространство, нормальное расслоение является векторным расслоением, волокно которого в каждой точке p является ортогональным дополнением (в) касательного пространства. ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{N}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{N}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$

Нерасширяющаяся карта, такая же, как и короткая карта

П

Параллельный транспорт

Изометрия пути

Полиэдральное пространство — симплициальный комплекс с метрикой, такой что каждый симплекс с индуцированной метрикой изометричен симплексу в евклидовом пространстве .

Главная кривизна — это максимальная и минимальная нормальная кривизна в точке поверхности.

Главное направление — это направление главных кривизн.

Собственное метрическое пространство — это метрическое пространство, в котором каждый замкнутый шар компактен . Эквивалентно, если каждое замкнутое ограниченное подмножество компактно. Каждое собственное метрическое пространство полно .

Псевдориманово многообразие

В

Квазигеодезическая имеет два значения; здесь мы приводим наиболее распространенное. Карта (где есть подотрезок) называется квазигеодезической, если существуют константы и такие, что для каждого ${\displaystyle f:I\to Y}$ ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle C\geq 0}$ ${\displaystyle x,y\in I}$

${\displaystyle {1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.}$

Обратите внимание, что квазигеодезическая не обязательно является непрерывной кривой.

Квазиизометрия . Картаназывается квазиизометрией, если существуют константыитакие, что ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle C\geq 0}$

${\displaystyle {1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.}$

и каждая точка в Y имеет расстояние не более C от некоторой точки f ( X ). Обратите внимание, что квазиизометрия не предполагается непрерывной. Например, любое отображение между компактными метрическими пространствами является квазиизометрией. Если существует квазиизометрия из X в Y, то X и Y называются квазиизометрическими .

Р

Радиус метрического пространства — это нижняя грань радиусов метрических шаров, которые полностью содержат это пространство.

Радиус выпуклости в точке p риманова многообразия — это наибольший радиус шара, являющегося выпуклым подмножеством.

Луч — это односторонняя бесконечная геодезическая, минимизирующая на каждом интервале

кривизна Риччи

Риман

Тензор кривизны Римана

риманово многообразие

Риманова субмерсия — это отображение между римановыми многообразиями, котороеодновременно является субмерсией и субметрией .

С

Скалярная кривизна

Вторая фундаментальная форма — это квадратичная форма на касательном пространстве гиперповерхности, обычно обозначаемая как II, эквивалентный способ описания оператора формы гиперповерхности,

${\displaystyle {\text{II}}(v,w)=\langle S(v),w\rangle }$

Его также можно обобщить на произвольную коразмерность, и в этом случае это будет квадратичная форма со значениями в нормальном пространстве.

Оператор формы для гиперповерхности M является линейным оператором на касательных пространствах, S _p :  T _p M → T _p M. Если n — единичное нормальное поле к M , а v — касательный вектор, то

${\displaystyle S(v)=\pm \nabla _{v}n}$

(нет единого мнения о том, следует ли использовать в определении знак + или −).

Короткая карта — это карта, на которой расстояние не увеличивается.

Гладкий коллектор

Многообразие Sol является множителем связной разрешимой группы Ли по решетке .

Субметрия, короткое отображение f между метрическими пространствами, называется субметрией, если существует R > 0 такое, что для любой точки x и радиуса r < R мы имеем, что образ метрического r -шара является r -шаром, т.е.

${\displaystyle f(B_{r}(x))=B_{r}(f(x))}$

Субриманово многообразие

Систола . K -систола M ,, представляет собой минимальный объем k -цикла, негомологичный нулю. ${\displaystyle syst_{k}(M)}$

Т

Касательное расслоение

Полностью выпуклый. Подмножество K риманова многообразия M называется полностью выпуклым, если для любых двух точек из K любая соединяющая их геодезическая целиком лежит в K , см. также выпуклый .

Полностью геодезическое подмногообразие — это подмногообразие, такое что все геодезические в подмногообразии являются также геодезическими окружающего многообразия.

У

Уникально геодезическое метрическое пространство — это метрическое пространство, в котором любые две точки являются конечными точками уникальной минимизирующей геодезической .

Вт

Метрика слов в группе — это метрика графа Кэли, построенная с использованием набора генераторов.