Solvmanifold

В математике солвмногообразие — это однородное пространство связной разрешимой группы Ли . Оно также может быть охарактеризовано как фактор связной разрешимой группы Ли по замкнутой подгруппе . (Некоторые авторы также требуют, чтобы группа Ли была односвязной или чтобы фактор был компактным.) Специальный класс солвмногообразий, нильмногообразий , был введен Анатолием Мальцевым , который доказал первые структурные теоремы. Свойства общих солвмногообразий похожи, но несколько сложнее.

Примеры

• Разрешимая группа Ли тривиально является солвмногообразием.
• Каждая нильпотентная группа разрешима, поэтому каждое нильмногообразие является солвмногообразием. Этот класс примеров включает n -мерные торы и фактор 3-мерной вещественной группы Гейзенберга по ее целочисленной подгруппе Гейзенберга.
• Лента Мёбиуса и бутылка Клейна являются солвмногообразиями, которые не являются нильмногообразиями.
• Отображающий тор диффеоморфизма Аносова n -тора является солвмногообразием. Для эти многообразия принадлежат Sol , одной из восьми геометрий Терстона . ${\displaystyle n=2}$

Характеристики

• Солвмногообразие диффеоморфно тотальному пространству векторного расслоения над некоторым компактным солвмногообразием. Это утверждение было высказано Джорджем Мостовым и доказано Луи Ауслендером и Ричардом Толимьери.
• Фундаментальная группа произвольного солвмногообразия является полициклической .
• Компактное солвмногообразие определяется с точностью до диффеоморфизма своей фундаментальной группой.
• Фундаментальные группы компактных солвмногообразий можно охарактеризовать как групповые расширения свободных абелевых групп конечного ранга с помощью конечно порождённых нильпотентных групп без кручения.
• Каждое солвмногообразие асферично . Среди всех компактных однородных пространств солвмногообразия могут быть охарактеризованы свойствами асферичности и наличия разрешимой фундаментальной группы.

Полнота

Пусть — действительная алгебра Ли . Она называется полной алгеброй Ли, если каждое отображение ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (X)\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},X\in {\mathfrak {g}}}$

в своем присоединенном представлении является гиперболическим, т.е. имеет только действительные собственные значения . Пусть G — разрешимая группа Ли, алгебра Ли которой полна . Тогда для любой замкнутой подгруппы G солвмногообразие является полным солвмногообразием . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G/\Gamma }$

Ссылки

• Ауслендер, Луис (1973), «Изложение структуры солвмногообразий. Часть I: Алгебраическая теория» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 79 (2): 227–261, doi : 10.1090/S0002-9904-1973-13134-9 , MR  0486307
  • — (1973), «Часть II: $G$-индуцированные потоки», Bull. Amer. Math. Soc. , 79 (2): 262–285, doi : 10.1090/S0002-9904-1973-13139-8 , MR  0486308
• Купер, Дэрил; Шарлеманн, Мартин (1999), «Структура разбиений Хегора солвмногообразия» (PDF) , Труды 6-й конференции по геометрии и топологии Гёкова, Турецкий математический журнал , 23 (1): 1–18, ISSN  1300-0098, MR  1701636
• Горбацевич, В.В. (2001) [1994], "Solv multiple", Энциклопедия математики , EMS Press