Свободная абелева группа

Алгебра формальных сумм

В математике свободная абелева группа — это абелева группа с базисом . Быть абелевой группой означает, что это множество с операцией сложения, которая является ассоциативной , коммутативной и обратимой. Базис, также называемый целочисленным базисом , — это подмножество , такое, что каждый элемент группы может быть однозначно выражен как целочисленная комбинация конечного числа базисных элементов. Например, двумерная целочисленная решетка образует свободную абелеву группу с покоординатным сложением в качестве операции и с двумя точками (1,0) и (0,1) в качестве ее базиса. Свободные абелевы группы обладают свойствами, которые делают их похожими на векторные пространства , и могут быть эквивалентно названы свободными -модулями , свободными модулями над целыми числами. Теория решеток изучает свободные абелевы подгруппы действительных векторных пространств. В алгебраической топологии свободные абелевы группы используются для определения цепных групп , а в алгебраической геометрии они используются для определения делителей . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Элементы свободной абелевой группы с базисом можно описать несколькими эквивалентными способами. К ним относятся формальные суммы по , которые являются выражениями вида , где каждое является ненулевым целым числом, каждое является отдельным базисным элементом, и сумма имеет конечное число членов. В качестве альтернативы элементы свободной абелевой группы можно рассматривать как знаковые мультимножества , содержащие конечное число элементов , причем кратность элемента в мультимножестве равна его коэффициенту в формальной сумме. Другой способ представления элемента свободной абелевой группы — как функция от до целых чисел с конечным числом ненулевых значений; для этого функционального представления групповая операция — это поточечное сложение функций. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\textstyle \sum a_{i}b_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Каждое множество имеет свободную абелеву группу с в качестве своего базиса. Эта группа уникальна в том смысле, что любые две свободные абелевы группы с одним и тем же базисом изоморфны . Вместо того чтобы строить ее, описывая ее отдельные элементы, свободную абелеву группу с базисом можно построить как прямую сумму копий аддитивной группы целых чисел, с одной копией на член . В качестве альтернативы свободную абелеву группу с базисом можно описать представлением с элементами в качестве ее генераторов и с коммутаторами пар членов в качестве ее соотношений. Ранг свободной абелевой группы — это мощность базиса; любые два базиса для одной и той же группы дают один и тот же ранг, и любые две свободные абелевы группы с одинаковым рангом изоморфны. Каждая подгруппа свободной абелевой группы сама является свободной абелевой; этот факт позволяет понимать общую абелеву группу как фактор свободной абелевой группы по "отношениям" или как коядро инъективного гомоморфизма между свободными абелевыми группами. Единственными свободными абелевыми группами, которые являются свободными группами, являются тривиальная группа и бесконечная циклическая группа . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Определение и примеры

Решетка на евклидовой плоскости . Добавление любых двух синих точек решетки дает еще одну точку решетки; группа, образованная этой операцией сложения, является свободной абелевой группой.

Свободная абелева группа — это абелева группа , имеющая базис. ^[1] Здесь быть абелевой группой означает, что она описывается набором своих элементов и бинарной операцией над , условно обозначаемой как аддитивная группа символом (хотя это не обязательно должно быть обычное сложение чисел), которые подчиняются следующим свойствам: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle +}$

• Операция является коммутативной и ассоциативной , то есть для всех элементов , , и из , и . Поэтому при объединении двух или более элементов из с помощью этой операции порядок и группировка элементов не влияют на результат. ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x+y=y+x}$ ${\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}$ ${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle S}$содержит элемент идентичности (условно обозначаемый ) со свойством, что для каждого элемента , . ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+0=0+x=x}$
• Каждый элемент в имеет обратный элемент , такой что . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle x+(-x)=0}$

Базис — это подмножество элементов со свойством, что каждый элемент из может быть сформирован уникальным способом путем выбора конечного числа базисных элементов из , выбора ненулевого целого числа для каждого из выбранных базисных элементов и сложения копий базисных элементов , для которых является положительным, и копий для каждого базисного элемента, для которых является отрицательным. ^[2] В качестве особого случая элемент тождества всегда может быть сформирован таким образом как комбинация нулевых базисных элементов, в соответствии с обычным соглашением для пустой суммы , и не должно быть возможности найти какую-либо другую комбинацию, которая представляет тождество. ^[3] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle -k_{i}}$ ${\displaystyle -b_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}}$

Целые числа , ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ при обычной операции сложения, образуют свободную абелеву группу с базисом . Целые ${\displaystyle \{1\}}$ числа являются коммутативными и ассоциативными, с в качестве аддитивной единицы и с каждым целым числом, имеющим аддитивную инверсию , его отрицание. Каждое неотрицательное число является суммой копий , а каждое отрицательное целое число является суммой копий , поэтому свойство базиса также выполняется. ^[1] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle -1}$

Примером, в котором групповая операция отличается от обычного сложения чисел, являются положительные рациональные числа , которые образуют свободную абелеву группу с обычной операцией умножения чисел и с простыми числами в качестве их основания. Умножение является коммутативным и ассоциативным, с числом в качестве его тождества и с в качестве обратного элемента для каждого положительного рационального числа . Тот факт, что простые числа образуют основу для умножения этих чисел, следует из фундаментальной теоремы арифметики , согласно которой каждое положительное целое число может быть однозначно разложено на множители в произведение конечного числа простых чисел или их обратных. Если — положительное рациональное число, выраженное в простейших терминах, то может быть выражено как конечная комбинация простых чисел, появляющихся в факторизациях и . Количество копий каждого простого числа для использования в этой комбинации является его показателем в факторизации или отрицанием его показателя в факторизации . [ ^4] ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle q=a/b}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Многочлены одной переменной с целыми коэффициентами образуют свободную абелеву группу относительно сложения многочленов, со степенями в качестве базиса. Как абстрактная группа, это то же самое, что ( изоморфная группа ) мультипликативной группе положительных рациональных чисел. Один из способов сопоставить эти две группы друг с другом, показывая, что они изоморфны, состоит в том, чтобы переинтерпретировать показатель степени th простого числа в мультипликативной группе рациональных чисел как вместо этого дать коэффициент в соответствующем многочлене, или наоборот. Например, рациональное число имеет показатели степени для первых трех простых чисел и будет соответствовать таким образом многочлену, имеющему те же коэффициенты для его постоянных, линейных и квадратичных членов. Поскольку эти отображения просто переинтерпретируют те же числа, они определяют биекцию между элементами двух групп. И поскольку групповая операция умножения положительных рациональных чисел действует аддитивно на показатели степеней простых чисел, так же, как групповая операция сложения многочленов действует на коэффициенты многочленов, эти отображения сохраняют групповую структуру; они являются гомоморфизмами . Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом, и его существование показывает, что эти две группы имеют одинаковые свойства. ^[5] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x^{i-1}}$ ${\displaystyle 5/27}$ ${\displaystyle 0,-3,1}$ ${\displaystyle 2,3,5}$ ${\displaystyle -3x+x^{2}}$ ${\displaystyle 0,-3,1}$

Хотя представление каждого элемента группы в терминах данного базиса уникально, свободная абелева группа, как правило, имеет более одного базиса, и различные базисы, как правило, приводят к различным представлениям ее элементов. Например, если заменить любой элемент базиса на его обратный, то получится другой базис. В качестве более подробного примера, двумерная целочисленная решетка , состоящая из точек на плоскости с целыми декартовыми координатами , образует свободную абелеву группу относительно сложения векторов с базисом . ^[1] Для этого базиса элемент можно записать , где «умножение» определено так, что, например, . Нет другого способа записать в том же базисе. Однако с другим базисом, таким как , это можно записать как . Обобщая этот пример, каждая решетка образует конечно-порожденную свободную абелеву группу. ^[6] -мерная целочисленная решетка имеет естественный базис , состоящий из положительных целых единичных векторов , но у нее также есть много других базисов: если — целочисленная матрица с определителем , то строки образуют базис, и наоборот, каждый базис целочисленной решетки имеет этот вид. ^[7] Более подробную информацию о двумерном случае см. в разделе фундаментальная пара периодов . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \{(1,0),(0,1)\}}$ ${\displaystyle (4,3)}$ ${\displaystyle (4,3)=4\cdot (1,0)+3\cdot (0,1)}$ ${\displaystyle \ 4\cdot (1,0):=(1,0)+(1,0)+(1,0)+(1,0)}$ ${\displaystyle (4,3)}$ ${\displaystyle \{(1,0),(1,1)\}}$ ${\displaystyle (4,3)=(1,0)+3\cdot (1,1)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d\times d}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle M}$

Конструкции

Каждый набор может быть базисом свободной абелевой группы, которая единственна с точностью до изоморфизмов групп. Свободная абелева группа для данного базисного набора может быть построена несколькими различными, но эквивалентными способами: как прямая сумма копий целых чисел, как семейство целочисленных функций, как знаковый мультимножество или посредством представления группы .

Произведения и суммы

Прямое произведение групп состоит из кортежей элемента из каждой группы в произведении с покомпонентным сложением. Прямое произведение двух свободных абелевых групп само является свободной абелевой группой с базой — несвязным объединением баз двух групп. ^[8] В более общем смысле прямое произведение любого конечного числа свободных абелевых групп является свободной абелевой группой. Например, -мерная целочисленная решетка изоморфна прямому произведению копий целочисленной группы . Тривиальная группа также считается свободной абелевой группой с базой — пустым множеством . ^[9] Ее можно интерпретировать как пустое произведение , прямое произведение нулевых копий . [ ^10] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Для бесконечных семейств свободных абелевых групп прямое произведение не обязательно является свободным абелевым. ^[8] Например, группа Бэра–Шпекера , несчетная группа , образованная как прямое произведение счетного числа копий , была показана в 1937 году Райнхольдом Бэром как не свободная абелева, ^[11] хотя Эрнст Шпекер доказал в 1950 году, что все ее счетные подгруппы являются свободными абелевыми. ^[12] Вместо этого, чтобы получить свободную абелеву группу из бесконечного семейства групп, следует использовать прямую сумму, а не прямое произведение. Прямая сумма и прямое произведение одинаковы, когда они применяются к конечному числу групп, но различаются на бесконечных семействах групп. В прямой сумме элементы снова являются кортежами элементов из каждой группы, но с ограничением, что все, кроме конечного числа этих элементов, являются тождественными для своей группы. Прямая сумма бесконечного числа свободных абелевых групп остается свободной абелевой. Он имеет основу, состоящую из кортежей, в которых все элементы, кроме одного, являются тождественными, а оставшийся элемент является частью основы для своей группы. ^[8] ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Каждая свободная абелева группа может быть описана как прямая сумма копий , с ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ одной копией для каждого члена ее базиса. ^{[13] [14]} Эта конструкция позволяет любому множеству стать базисом свободной абелевой группы. ^[15] ${\displaystyle B}$

Целочисленные функции и формальные суммы

При наличии множества ${\displaystyle B}$ можно определить группу , элементами которой являются функции от до целых чисел, где скобки в верхнем индексе указывают, что включены только функции с конечным числом ненулевых значений. Если и — две такие функции, то — функция, значения которой являются суммами значений в и : то есть, . Эта операция поточечного сложения дает структуру абелевой группы. ^[16] ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$

Каждый элемент из данного множества соответствует члену , функции для которой и для которой для всех . Каждая функция из однозначно является линейной комбинацией конечного числа базисных элементов: Таким образом, эти элементы образуют базис для , и является свободной абелевой группой. Таким образом, каждое множество можно сделать базисом свободной абелевой группы. ^[16] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ ${\displaystyle e_{x}}$ ${\displaystyle e_{x}(x)=1}$ ${\displaystyle e_{x}(y)=0}$ ${\displaystyle y\neq x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ $${\displaystyle f=\sum _{\{x\mid f(x)\neq 0\}}f(x)e_{x}.}$$ ${\displaystyle e_{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ ${\displaystyle B}$

Элементы также могут быть записаны как формальные суммы , выражения в виде суммы конечного числа членов, где каждый член записан как произведение ненулевого целого числа с отдельным членом . Эти выражения считаются эквивалентными, когда они имеют одинаковые члены, независимо от порядка членов, и их можно складывать, формируя объединение членов, добавляя целые коэффициенты для объединения членов с тем же базисным элементом и удаляя члены, для которых эта комбинация дает нулевой коэффициент. ^[4] Их также можно интерпретировать как знаковые мультимножества конечного числа элементов . [ ^17] ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Презентация

Представление группы — это набор элементов, которые порождают группу (это означает, что все элементы группы могут быть выражены как произведения конечного числа порождающих), вместе с «реляторами», произведениями порождающих, которые дают элемент тождества. Элементы группы, определенные таким образом, являются классами эквивалентности последовательностей порождающих и их обратных, при отношении эквивалентности , которое позволяет вставлять или удалять любую пару релятор или генератор-обратный как непрерывную подпоследовательность. Свободная абелева группа с базисом имеет представление, в котором порождающие являются элементами , а реляционные — коммутаторами пар элементов . Здесь коммутатор двух элементов и является произведением ; установка этого произведения в тождество приводит к равенству , так что и коммутируют. В более общем случае, если все пары порождающих коммутируют, то все пары произведений порождающих также коммутируют. Следовательно, группа, генерируемая этим представлением, является абелевой, а реляторы представления образуют минимальный набор реляторов, необходимых для обеспечения ее абелевости. ^[18] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x^{-1}y^{-1}xy}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle yx}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Когда множество генераторов конечно, представление свободной абелевой группы также конечно, поскольку имеется только конечное число различных коммутаторов для включения в представление. Этот факт, вместе с тем фактом, что каждая подгруппа свободной абелевой группы является свободной абелевой (ниже), можно использовать для того, чтобы показать, что каждая конечно порожденная абелева группа конечно порождена. Так, если конечно порождено множеством , то это фактор свободной абелевой группы по свободной абелевой подгруппе, подгруппе, порожденной соотношениями представления . Но поскольку эта подгруппа сама является свободной абелевой, она также конечно порождена, и ее базис (вместе с коммутаторами над ) образует конечное множество соотношений для представления . [ ^19] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$

Как модуль

Модули над целыми числами определяются аналогично векторным пространствам над действительными числами или рациональными числами : они состоят из систем элементов, которые могут быть добавлены друг к другу, с операцией скалярного умножения на целые числа, которая совместима с этой операцией сложения. Каждая абелева группа может рассматриваться как модуль над целыми числами, с операцией скалярного умножения, определенной следующим образом: ^[20]

Однако, в отличие от векторных пространств, не все абелевы группы имеют базис, отсюда и специальное название «свободный» для тех, у которых он есть. Свободный модуль — это модуль, который может быть представлен в виде прямой суммы по его базовому кольцу , поэтому свободные абелевы группы и свободные -модули являются эквивалентными понятиями: каждая свободная абелева группа является (с операцией умножения выше) свободным -модулем, и каждый свободный -модуль происходит из свободной абелевой группы таким образом. ^[21] Помимо прямой суммы, другим способом объединения свободных абелевых групп является использование тензорного произведения -модулей . Тензорное произведение двух свободных абелевых групп всегда является свободным абелевым, с базисом, который является декартовым произведением баз для двух групп в произведении. ^[22] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Многие важные свойства свободных абелевых групп могут быть обобщены на свободные модули над областью главных идеалов . Например, подмодули свободных модулей над областями главных идеалов свободны, факт, который Хэтчер (2002) пишет, допускает «автоматическое обобщение» гомологической машины на эти модули. ^[23] Кроме того, теорема о том, что каждый проективный -модуль свободен, обобщается таким же образом. ^[24] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Характеристики

Универсальная собственность

Свободная абелева группа с базисом обладает следующим универсальным свойством : для каждой функции из в абелеву группу существует единственный гомоморфизм групп из в , который продолжается . ^{[4] [9]} Здесь гомоморфизм групп — это отображение из одной группы в другую, которое согласуется с законом группового произведения: выполнение произведения до или после отображения дает тот же результат. По общему свойству универсальных свойств это показывает, что «эта» абелева группа базы единственна с точностью до изоморфизма. Следовательно, универсальное свойство можно использовать в качестве определения свободной абелевой группы базы . Единственность группы, определяемой этим свойством, показывает, что все остальные определения эквивалентны. ^[15] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Именно из-за этого универсального свойства свободные абелевы группы называются «свободными»: они являются свободными объектами в категории абелевых групп , категории , которая имеет абелевы группы в качестве своих объектов и гомоморфизмы в качестве своих стрелок. Отображение из базиса в его свободную абелеву группу является функтором , сохраняющим структуру отображением категорий, из множеств в абелевы группы, и сопряжено с забывающим функтором из абелевых групп в множества. ^[25] Однако свободная абелева группа не является свободной группой, за исключением двух случаев: свободная абелева группа имеет пустой базис (ранг нуль, дающий тривиальную группу ) или имеет только один элемент в базисе (ранг один, дающий бесконечную циклическую группу ). ^{[9] [26]} Другие абелевы группы не являются свободными группами, потому что в свободных группах должны отличаться от , если и являются различными элементами базиса, в то время как в свободных абелевых группах два произведения должны быть идентичны для всех пар элементов. В общей категории групп требование того, чтобы было дополнительным ограничением, является требованием , тогда как в категории абелевых групп это является необходимым свойством. ^[27] ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle ba}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ab=ba}$

Классифицировать

Каждые два базиса одной и той же свободной абелевой группы имеют одинаковую мощность , поэтому мощность базиса образует инвариант группы, известный как ее ранг. ^{[28] [29]} Две свободные абелевы группы изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый ранг. ^[4] Свободная абелева группа конечно порождена тогда и только тогда, когда ее ранг является конечным числом , и в этом случае группа изоморфна . ^[30] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

Это понятие ранга может быть обобщено от свободных абелевых групп до абелевых групп, которые не обязательно свободны. Ранг абелевой группы определяется как ранг свободной абелевой подгруппы группы , для которой фактор -группа является группой кручения . Эквивалентно, это мощность максимального подмножества группы , которая порождает свободную подгруппу. Ранг является групповым инвариантом: он не зависит от выбора подгруппы. ^[31] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/F}$ ${\displaystyle G}$

Подгруппы

Каждая подгруппа свободной абелевой группы сама является свободной абелевой группой. Этот результат Ричарда Дедекинда ^[32] был предшественником аналогичной теоремы Нильсена–Шрайера о том, что каждая подгруппа свободной группы свободна, и является обобщением того факта, что каждая нетривиальная подгруппа бесконечной циклической группы является бесконечной циклической . Доказательство требует аксиомы выбора . ^[25] Доказательство с использованием леммы Цорна (одно из многих эквивалентных предположений аксиомы выбора) можно найти в книге Сержа Ланга « Алгебра» . ^[33] Соломон Лефшец и Ирвинг Каплански утверждают, что использование принципа полного упорядочения вместо леммы Цорна приводит к более интуитивному доказательству. ^[14]

В случае конечно порожденных свободных абелевых групп доказательство проще, не требует аксиомы выбора и приводит к более точному результату. Если — подгруппа конечно порожденной свободной абелевой группы , то — свободна и существует базис из и положительных целых чисел (то есть каждый из них делит следующий) такой, что — базис из Более того, последовательность зависит только от и , а не от базиса. ^[34] Конструктивное доказательство части теоремы о существовании дает любой алгоритм, вычисляющий нормальную форму Смита матрицы целых чисел. ^[35] Уникальность следует из того факта, что для любого наибольший общий делитель миноров ранга матрицы не изменяется во время вычисления нормальной формы Смита и является произведением в конце вычисления. [ 36 ^] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}}$ ${\displaystyle (d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r\leq k}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d_{1}\cdots d_{r}}$

Кручение и делимость

Все свободные абелевы группы являются группами без кручения , что означает, что не существует неединичного элемента группы и ненулевого целого числа, такого, что . Наоборот, все конечно порожденные абелевы группы без кручения являются свободными абелевыми. ^{[9] [37]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle nx=0}$

Аддитивная группа рациональных чисел представляет собой пример абелевой группы без кручения (но не конечно порожденной), которая не является свободной абелевой. ^[38] Одна из причин, по которой она не является свободной абелевой, заключается в том, что она делима , что означает, что для каждого элемента и каждого ненулевого целого числа можно выразить как скалярное кратное другого элемента  . Напротив, нетривиальные свободные абелевы группы никогда не являются делимыми, потому что в свободной абелевой группе базисные элементы не могут быть выражены как кратные других элементов. ^[39] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ny}$ ${\displaystyle y=x/n}$

Симметрия

Симметрии любой группы можно описать как групповые автоморфизмы , обратимые гомоморфизмы из группы в себя. В неабелевых группах они далее подразделяются на внутренние и внешние автоморфизмы, но в абелевых группах все нетождественные автоморфизмы являются внешними. Они образуют другую группу, группу автоморфизмов данной группы, при операции композиции . Группа автоморфизмов свободной абелевой группы конечного ранга — это общая линейная группа , которая может быть описана конкретно (для определенного базиса группы свободных автоморфизмов) как множество обратимых целочисленных матриц при операции умножения матриц . Их действие как симметрий на свободной абелевой группе — это просто умножение матрицы на вектор. ^[40] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

Группы автоморфизмов двух свободных абелевых групп бесконечного ранга имеют одинаковые теории первого порядка , если и только если их ранги являются эквивалентными кардиналами с точки зрения логики второго порядка . Этот результат зависит от структуры инволюций свободных абелевых групп, автоморфизмов, которые являются своими собственными обратными. При наличии базиса для свободной абелевой группы можно найти инволюции, которые отображают любой набор непересекающихся пар базисных элементов друг в друга или которые отрицают любое выбранное подмножество базисных элементов, оставляя другие базисные элементы фиксированными. И наоборот, для каждой инволюции свободной абелевой группы можно найти базис группы, для которого все базисные элементы меняются местами в парах, отрицаются или остаются неизменными инволюцией. ^[41]

Отношение к другим группам

Если свободная абелева группа является фактором двух групп , то является прямой суммой . ^[4] ${\displaystyle A/B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B\oplus A/B}$

Для произвольной абелевой группы всегда существует свободная абелева группа и сюръективный групповой гомоморфизм из в . Один из способов построения сюръекции на заданную группу состоит в том, чтобы позволить быть свободной абелевой группой над , представленной в виде формальных сумм. Тогда сюръекция может быть определена путем отображения формальных сумм в в соответствующие суммы членов . То есть сюръекция отображает , где — целочисленный коэффициент базисного элемента в заданной формальной сумме, первая сумма находится в , а вторая сумма находится в . ^{[29] [42]} Эта сюръекция является уникальным групповым гомоморфизмом, который расширяет функцию , и поэтому ее построение можно рассматривать как пример универсального свойства. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F=\mathbb {Z} ^{(A)}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}e_{x}\mapsto \sum _{\{x\mid a_{x}\neq 0\}}a_{x}x,}$$ ${\displaystyle a_{x}}$ ${\displaystyle e_{x}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e_{x}\mapsto x}$

Когда и являются такими, как указано выше, ядро ​​сюръекции из в также является свободной абелевой группой, поскольку является подгруппой (подгруппы элементов, отображенных в единицу). Следовательно, эти группы образуют короткую точную последовательность , в которой и являются свободными абелевыми группами и изоморфны фактор -группе . Это свободное разрешение группы . ^[2] Более того, предполагая аксиому выбора, ^[43] свободные абелевы группы являются в точности проективными объектами в категории абелевых групп . ^{[4] [44]} ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle 0\to G\to F\to A\to 0}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F/G}$ ${\displaystyle A}$

Приложения

Алгебраическая топология

В алгебраической топологии формальная сумма -мерных симплексов называется -цепью, а свободная абелева группа, имеющая набор -симплексов в качестве своего базиса, называется цепной группой. ^[45] Симплексы обычно берутся из некоторого топологического пространства , например, как набор -симплексов в симплициальном комплексе или набор сингулярных -симплексов в многообразии . Любой -мерный симплекс имеет границу, которая может быть представлена ​​как формальная сумма -мерных симплексов, и универсальное свойство свободных абелевых групп позволяет расширить этот граничный оператор до гомоморфизма групп из -цепей в -цепи. Система цепных групп, связанных граничными операторами таким образом, образует цепной комплекс , а изучение цепных комплексов составляет основу теории гомологии . ^[46] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k-1)}$

Алгебраическая геометрия и комплексный анализ

Рациональная функция имеет ноль четвертого порядка в точке 0 (черная точка в центре графика) и простые полюса в четырех комплексных числах и (белые точки на концах четырех лепестков). Она может быть представлена ​​(с точностью до скаляра) делителем , где — базисный элемент для комплексного числа в свободной абелевой группе над комплексными числами. ${\displaystyle z^{4}/(z^{4}-1)}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \pm i}$ ${\displaystyle 4e_{0}-e_{1}-e_{-1}-e_{i}-e_{-i}}$ ${\displaystyle e_{z}}$ ${\displaystyle z}$

Каждая рациональная функция над комплексными числами может быть связана со знаковым мультимножеством комплексных чисел , нулями и полюсами функции (точками, где ее значение равно нулю или бесконечности). Кратность точки в этом мультимножестве является ее порядком как нуля функции или отрицанием ее порядка как полюса. Затем сама функция может быть восстановлена ​​из этих данных с точностью до скалярного множителя, как Если эти мультимножества интерпретируются как члены свободной абелевой группы над комплексными числами, то произведение или частное двух рациональных функций соответствует сумме или разности двух членов группы. Таким образом, мультипликативная группа рациональных функций может быть разложена на мультипликативную группу комплексных чисел (связанные скалярные множители для каждой функции) и свободную абелеву группу над комплексными числами. Рациональные функции, которые имеют ненулевое предельное значение на бесконечности ( мероморфные функции на сфере Римана ), образуют подгруппу этой группы, в которой сумма кратностей равна нулю. ^[47] ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ $${\displaystyle f(q)=\prod (q-c_{i})^{m_{i}}.}$$

Эта конструкция была обобщена в алгебраической геометрии до понятия дивизора . Существуют различные определения дивизоров, но в общем случае они образуют абстракцию подмногообразия коразмерности один алгебраического многообразия , множества точек решения системы полиномиальных уравнений . В случае, когда система уравнений имеет одну степень свободы (ее решения образуют алгебраическую кривую или риманову поверхность ), подмногообразие имеет коразмерность один, когда оно состоит из изолированных точек, и в этом случае дивизор снова является знаковым мультимножеством точек из многообразия. ^[48] Мероморфные функции на компактной римановой поверхности имеют конечное число нулей и полюсов, а их дивизоры образуют подгруппу свободной абелевой группы над точками поверхности, при этом умножение или деление функций соответствует сложению или вычитанию элементов группы. Чтобы быть делителем, элемент свободной абелевой группы должен иметь кратности, сумма которых равна нулю, и соответствовать некоторым дополнительным ограничениям, зависящим от поверхности. ^[47]

Групповые кольца

Целочисленное групповое кольцо для любой группы — это кольцо, аддитивная группа которого является свободной абелевой группой над . [ ^49] Когда является конечной и абелевой, мультипликативная группа единиц в имеет структуру прямого произведения конечной группы и конечно порожденной свободной абелевой группы. ^{[50] [51]} ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

Ссылки

1. Sims, Charles C. (1994), "Раздел 8.1: Свободные абелевы группы", Вычисления с конечно представленными группами , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 48, Cambridge University Press, стр. 320, doi :10.1017/CBO9780511574702, ISBN 0-521-43213-8, г-н  1267733
2. Vick, James W. (1994), Теория гомологии: Введение в алгебраическую топологию, Graduate Texts in Mathematics, т. 145, Springer, стр. 4, 70, ISBN 9780387941264
3. Некоторые источники определяют свободные абелевы группы условием, что единственным представлением тождества является пустая сумма, а не рассматривают ее как частный случай уникального представления всех элементов группы; см., например, Sims (1994).
4. Фукс, Ласло (2015), «Раздел 3.1: Свобода и проективность», Абелевы группы , Springer Monographs in Mathematics, Cham: Springer, стр. 75–80, doi :10.1007/978-3-319-19422-6, ISBN 978-3-319-19421-9, МР  3467030
5. Брэдли, Дэвид М. (2005), Подсчет положительных рациональных чисел: краткий обзор , arXiv : math/0509025 , Bibcode : 2005math......9025B
6. Моллин, Ричард А. (2011), Расширенная теория чисел с приложениями, CRC Press, стр. 182, ISBN 9781420083293
7. Бремнер, Мюррей Р. (2011), Редукция базиса решетки: Введение в алгоритм LLL и его приложения, CRC Press, стр. 6, ISBN 9781439807026
8. Hungerford (1974), Упражнение 5, стр. 75.
9. Ли, Джон М. (2010), «Свободные абелевы группы», Введение в топологические многообразия , Graduate Texts in Mathematics, т. 202 (2-е изд.), Springer, стр. 244–248, ISBN 9781441979407
10. Как прямо указано, например, в Hartley, Brian; Турулл, Александр (1994), «О характерах взаимно простых групп операторов и соответствии характеров Глаубермана», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1994 (451): 175–219, doi : 10.1515/crll.1994.451.175, MR  1277300 , S2CID  118116330, доказательство леммы 2.3: «тривиальная группа является прямым произведением пустого семейства групп»
11. Бэр, Рейнхольд (1937), «Абелевы группы без элементов конечного порядка», Duke Mathematical Journal , 3 (1): 68–122, doi :10.1215/S0012-7094-37-00308-9, hdl : 10338.dmlcz/100591 , MR  1545974
12. Спекер, Эрнст (1950), «Аддитивная группа фон Фольгена Ганзера Залена», Portugaliae Math. , 9 : 131–140, МР  0039719
13. Mac Lane, Saunders (1995), Гомология, Классика математики, Springer, стр. 93, ISBN 9783540586623
14. Каплански, Ирвинг (2001), Теория множеств и метрические пространства, AMS Chelsea Publishing Series, т. 298, Американское математическое общество, стр. 124–125, ISBN 9780821826942
15. Hungerford, Thomas W. (1974), "II.1 Свободные абелевы группы", Алгебра , Graduate Texts in Mathematics, т. 73, Springer, стр. 70–75, ISBN 9780387905181, См., в частности, теорему 1.1, стр. 72–73, и замечания после нее.
16. Joshi, KD (1997), Прикладные дискретные структуры, New Age International, стр. 45–46, ISBN 9788122408263
17. ван Глаббек, Роб; Гольц, Урсула ; Шике-Уффманн, Йенс-Вольфхард (2013), «О характеристике распределяемости», Логические методы в информатике , 9 (3): 3:17, 58, arXiv : 1309.3883 , doi : 10.2168/LMCS-9(3:17) 2013, МР  3109601, S2CID  17046529
18. Хангерфорд (1974), Упражнение 3, стр. 75.
19. Джонсон, Д.Л. (2001), Симметрии, серия по математике для бакалавриата Springer, Springer, стр. 71, ISBN 9781852332709
20. Сахаи, Вивек; Бист, Викас (2003), Алгебра, Alpha Science International Ltd., стр. 152, ISBN 9781842651575
21. Ротман, Джозеф Дж. (2015), Advanced Modern Algebra, Американское математическое общество, стр. 450, ISBN 9780821884201
22. Корнер, ALS (2008), «Группы единиц порядков в Q-алгебрах», Модели, модули и абелевы группы , Вальтер де Грюйтер, Берлин, стр. 9–61, doi :10.1515/9783110203035.9, MR  2513226. См., в частности, доказательство леммы H.4, стр. 36, которое использует этот факт.
23. Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Cambridge University Press, стр. 196, ISBN 9780521795401
24. Вермани, Л.Р. (2004), Элементарный подход к гомологической алгебре, Монографии и обзоры по чистой и прикладной математике, CRC Press, стр. 80, ISBN 9780203484081
25. Blass, Andreas (1979), «Инъективность, проективность и аксиома выбора», Transactions of the American Mathematical Society , 255 : 31–59, doi : 10.1090/S0002-9947-1979-0542870-6 , JSTOR  1998165, MR  0542870. О связи со свободными объектами см. Следствие 1.2. Пример 7.1 дает модель теории множеств без выбора и несвободную проективную абелеву группу в этой модели, которая является подгруппой свободной абелевой группы , где — множество атомов, а — конечное целое число. Бласс пишет, что эта модель делает использование выбора существенным при доказательстве того, что каждая проективная группа свободна; по тем же соображениям она также показывает, что выбор существенен при доказательстве того, что подгруппы свободных групп свободны. ${\displaystyle P}$ ${\textstyle {\bigl (}\mathbb {Z} ^{(A)}{\bigr )}^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$
26. Хангерфорд (1974), Упражнение 4, стр. 75.
27. Хангерфорд (1974), стр. 70.
28. Хангерфорд (1974), Теорема 1.2, стр. 73.
29. Хофманн, Карл Х.; Моррис, Сидней А. (2006), Структура компактных групп: Учебник для студентов - Справочник для экспертов, De Gruyter Studies in Mathematics, т. 25 (2-е изд.), Вальтер де Грюйтер, стр. 640, ISBN 9783110199772
30. Мачи, Антонио (2012), "Теорема 4.10", Группы: Введение в идеи и методы теории групп , Unitext, т. 58, Милан: Springer, стр. 172, doi :10.1007/978-88-470-2421-2, ISBN 978-88-470-2420-5, г-н  2987234
31. Ротман, Джозеф Дж. (1988), Введение в алгебраическую топологию, Graduate Texts in Mathematics, т. 119, Springer, стр. 61–62, ISBN 9780387966786
32. Джонсон, Д. Л. (1980), Темы теории групповых представлений , серия лекций Лондонского математического общества, т. 42, Cambridge University Press, стр. 9, ISBN 978-0-521-23108-4, МР  0695161
33. Приложение 2 §2, стр. 880 из Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001
34. Хангерфорд (1974), Теорема 1.6, стр. 74.
35. Джонсон (2001), стр. 71–72.
36. Норман, Кристофер (2012), «1.3 Уникальность нормальной формы Смита», Конечно-порожденные абелевы группы и подобие матриц над полем , серия Springer по математике для бакалавриата, Springer, стр. 32–43, Bibcode : 2012fgag.book.....N, ISBN 9781447127307
37. Хангерфорд (1974), Упражнение 9, стр. 75.
38. Хангерфорд (1974), Упражнение 10, стр. 75.
39. Хангерфорд (1974), Упражнение 4, стр. 198.
40. Bridson, Martin R. ; Vogtmann, Karen (2006), "Automorphism groups of free groups, surface groups and free abelian groups", in Farb, Benson (ed.), Problems on mapping class groups and related topics , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 74, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 301–316, arXiv : math/0507612 , doi :10.1090/pspum/074/2264548, MR  2264548, S2CID  17710182
41. Толстых, Владимир (2005), «Что группа автоморфизмов свободной абелевой группы A знает об A ?», в Blass, Andreas ; Zhang, Yi (ред.), Logic and its Applications , Contemporary Mathematics, т. 380, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, стр. 283–296, arXiv : math/0701752 , doi :10.1090/conm/380/07117, MR  2167584, S2CID  18107280
42. Хангерфорд (1974), Теорема 1.4, стр. 74.
43. Теорема о том, что свободные абелевы группы проективны, эквивалентна аксиоме выбора; см. Мур, Грегори Х. (2012), Аксиома выбора Цермело: ее происхождение, развитие и влияние, Courier Dover Publications, стр. xii, ISBN 9780486488417
44. Гриффит, Филлип А. (1970), Теория бесконечных абелевых групп , Чикагские лекции по математике, Издательство Чикагского университета, стр. 18, ISBN 0-226-30870-7
45. Каваньяро, Кэтрин ; Хейт, Уильям Т. II (2001), Словарь классической и теоретической математики, Полный словарь математики, т. 3, CRC Press, стр. 15, ISBN 9781584880509
46. Эдельсбруннер, Герберт ; Харер, Джон (2010), Вычислительная топология: Введение, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 79–81, ISBN 9780821849255
47. Дедекинд, Ричард ; Вебер, Генрих (2012), Теория алгебраических функций одной переменной, История математики, т. 39, Перевод Джона Стиллвелла , Американское математическое общество, стр. 13–15, ISBN 9780821890349
48. Миранда, Рик (1995), Алгебраические кривые и римановы поверхности, Graduate Studies in Mathematics , т. 5, Американское математическое общество, стр. 129, ISBN 9780821802687
49. Стайн, Шерман К.; Сабо, Шандор (1994), Алгебра и мозаика: гомоморфизмы на службе геометрии , Carus Mathematical Monographs, т. 25, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, стр. 198, ISBN 0-88385-028-1, г-н  1311249
50. Хигман, Грэм (1940), «Единицы групповых колец», Труды Лондонского математического общества , Вторая серия, 46 : 231–248, doi :10.1112/plms/s2-46.1.231, MR  0002137
51. Аюб, Рэймонд Г.; Аюб, Кристин (1969), «О групповом кольце конечной абелевой группы», Бюллетень Австралийского математического общества , 1 (2): 245–261, doi : 10.1017/S0004972700041496 , MR  0252526