Тензор кручения

Способ характеристики поворота или закручивания движущейся рамы по кривой

Развертка единичной окружности в евклидовом пространстве с четырьмя различными вариантами плоской связности, сохраняющей евклидову метрику, определяемую как , где — постоянный скаляр, соответственно: . Все полученные кривые имеют длину дуги , кривизну и соответствующее кручение (в смысле Френе-Серре ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=\tau \,e_{i}\times e_{j}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau =0.01,0.1,0.5,1.0}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \tau }$

В дифференциальной геометрии тензор кручения — это тензор , который связан с любой аффинной связью . Тензор кручения — это билинейное отображение двух входных векторов , которое производит выходной вектор, представляющий смещение в касательном пространстве, когда касательное пространство развертывается (или «катится») вдоль бесконечно малого параллелограмма, стороны которого равны . Он кососимметричен по своим входам, поскольку развертывание по параллелограмму в противоположном направлении производит противоположное смещение, подобно тому, как винт движется в противоположных направлениях, когда он закручен в двух направлениях. ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle T(X,Y)}$ ${\displaystyle X,Y}$

Кручение особенно полезно при изучении геометрии геодезических . При наличии системы параметризованных геодезических можно указать класс аффинных связностей, имеющих эти геодезические, но отличающихся своими кручениями. Существует уникальная связь, которая поглощает кручение , обобщая связность Леви-Чивиты на другие, возможно, неметрические ситуации (например, геометрию Финслера ). Разница между связью с кручением и соответствующей связью без кручения — это тензор, называемый тензором конторсии . Поглощение кручения также играет фундаментальную роль в изучении G-структур и метода эквивалентности Картана . Кручение также полезно при изучении непараметризованных семейств геодезических через связанную проективную связность . В теории относительности такие идеи были реализованы в форме теории Эйнштейна–Картана .

Определение

Пусть M — многообразие с аффинной связностью на касательном расслоении (которое также называется ковариантной производной ) ∇. Тензор кручения (иногда называемый тензором Картана ( кручения ) ) ∇ — это векторнозначная 2-форма, определенная на векторных полях X и Y по формуле ^[1]

${\displaystyle T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}$

где [ X , Y ] — скобка Ли двух векторных полей. По правилу Лейбница , T ( fX , Y ) = T ( X , fY ) = fT ( X , Y ) для любой гладкой функции f . Таким образом, T является тензорным , несмотря на то, что определяется в терминах связности , которая является дифференциальным оператором первого порядка: она дает 2-форму на касательных векторах, тогда как ковариантная производная определена только для векторных полей.

Компоненты тензора кручения

Компоненты тензора кручения в терминах локального базиса ( e ₁ , ..., e _n ) сечений касательного расслоения можно вывести, положив X = e _i , Y = e _j и введя коэффициенты коммутатора γ ^k _ij e _k  := [ e _i , e _j ] . Тогда компоненты кручения равны ^[2] ${\displaystyle T^{c}{}_{ab}}$

${\displaystyle T^{k}{}_{ij}:=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.}$

Вот коэффициенты связности, определяющие связность. Если базис голономный , то скобки Ли равны нулю, . Так что . В частности (см. ниже), в то время как геодезические уравнения определяют симметричную часть связности, тензор кручения определяет антисимметричную часть. ${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}}$ ${\displaystyle \gamma ^{k}{}_{ij}=0}$ ${\displaystyle T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}}$

Форма кручения

Форма кручения , альтернативная характеристика кручения, применяется к расслоению фрейма F M многообразия M . Это главное расслоение снабжено формой связи ω , gl ( n )-значной единичной формой, которая отображает вертикальные векторы в генераторы правого действия в gl ( n ) и эквивариантно переплетает правое действие GL( n ) на касательном расслоении F M с присоединенным представлением на gl ( n ). Расслоение фрейма также несет каноническую единичную форму θ со значениями в R ⁿ , определенную в фрейме u ∈ F _x M (рассматриваемом как линейная функция u  : R ⁿ → T _x M ) по ^[3]

${\displaystyle \theta (X)=u^{-1}(\pi _{*}(X))}$

где π  : F M → M — проекционное отображение для главного расслоения, а π∗ — его прямой проталкивание. Форма кручения тогда ^[4]

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta .}$

Эквивалентно, Θ = Dθ , где D — внешняя ковариантная производная, определяемая связью.

Форма кручения является (горизонтальной) тензорной формой со значениями в R ⁿ , что означает, что при правильном действии g ∈ GL( n ) она преобразуется эквивариантно :

${\displaystyle R_{g}^{*}\Theta =g^{-1}\cdot \Theta }$

где g действует в правой части через свое сопряженное представление в Rn ^.

Форма кручения в раме

Форма кручения может быть выражена в терминах формы связи на базовом многообразии M , записанной в конкретной системе координат касательного расслоения ( e ₁ , ..., e _n ) . Форма связи выражает внешнюю ковариантную производную этих базовых сечений: ^[5]

${\displaystyle D\mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} _{j}{\omega ^{j}}_{i}.}$

Форма припоя для касательного расслоения (относительно этой системы отсчета) — это дуальный базис θ ⁱ ∈ T ^∗ M для e _i , так что θ ⁱ ( e _j ) = δ ⁱ _j ( дельта Кронекера ). Тогда торсионная 2-форма имеет компоненты

${\displaystyle \Theta ^{k}=d\theta ^{k}+{\omega ^{k}}_{j}\wedge \theta ^{j}={T^{k}}_{ij}\theta ^{i}\wedge \theta ^{j}.}$

В крайнем правом выражении,

${\displaystyle {T^{k}}_{ij}=\theta ^{k}\left(\nabla _{\mathbf {e} _{i}}\mathbf {e} _{j}-\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}-\left[\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\right]\right)}$

являются компонентами тензора кручения, как указано в предыдущем определении.

Легко показать, что Θ ⁱ преобразуется тензорно в том смысле, что если другая система отсчета

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{i}=\mathbf {e} _{j}{g^{j}}_{i}}$

для некоторой обратимой матричнозначной функции ( g ^j _i ), то

${\displaystyle {\tilde {\Theta }}^{i}={\left(g^{-1}\right)^{i}}_{j}\Theta ^{j}.}$

Другими словами, Θ — это тензор типа (1, 2) (имеющий один контравариантный и два ковариантных индекса).

В качестве альтернативы, форма припоя может быть охарактеризована независимым от фрейма образом как T M -значная единая форма θ на M, соответствующая тождественному эндоморфизму касательного расслоения при изоморфизме двойственности End(T M ) ≈ T M ⊗ T ^∗ M . Тогда торсионная 2-форма является сечением

${\displaystyle \Theta \in {\text{Hom}}\left({\textstyle \bigwedge }^{2}{\rm {T}}M,{\rm {T}}M\right)}$

предоставлено

${\displaystyle \Theta =D\theta ,}$

где D — внешняя ковариантная производная . ( Дополнительные сведения см. в форме связи .)

Неприводимое разложение

Тензор кручения можно разложить на две неприводимые части: часть без следов и часть, содержащую члены следов. Используя индексную нотацию , след T задается как

${\displaystyle a_{i}=T^{k}{}_{ik},}$

и часть без следов - это

${\displaystyle B^{i}{}_{jk}=T^{i}{}_{jk}+{\frac {1}{n-1}}\delta ^{i}{}_{j}a_{k}-{\frac {1}{n-1}}\delta ^{i}{}_{k}a_{j},}$

где δ ⁱ _j — символ Кронекера .

По сути, человек имеет

${\displaystyle T\in \operatorname {Hom} \left({\textstyle \bigwedge }^{2}{\rm {T}}M,{\rm {T}}M\right).}$

След T , tr T , является элементом T ^∗ M , определяемым следующим образом. Для каждого фиксированного вектора X ∈ T M , T определяет элемент T ( X ) из Hom(T M , T M ) посредством

${\displaystyle T(X):Y\mapsto T(X\wedge Y).}$

Тогда (tr T )( X ) определяется как след этого эндоморфизма. То есть,

${\displaystyle (\operatorname {tr} \,T)(X){\stackrel {\text{def}}{=}}\operatorname {tr} (T(X)).}$

Тогда часть T без следов равна

${\displaystyle T_{0}=T-{\frac {1}{n-1}}\iota (\operatorname {tr} \,T),}$

где ι обозначает внутреннее произведение .

Кривизна и тождества Бьянки

Тензор кривизны ∇ — это отображение T M × T M → End(T M ), определенное на векторных полях X , Y и Z следующим образом:

${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z.}$

Для векторов в точке это определение не зависит от того, как векторы расширяются до векторных полей вдали от точки (таким образом, оно определяет тензор, во многом похожий на кручение).

Тождества Бианки связывают кривизну и кручение следующим образом. ^[6] Пусть обозначает циклическую сумму по X , Y и Z. Например, ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R\left(X,Y\right)Z\right):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y.}$

Тогда справедливы следующие тождества:

1. Первая личность Бьянки:

   ${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R\left(X,Y\right)Z\right)={\mathfrak {S}}\left(T\left(T(X,Y),Z\right)+\left(\nabla _{X}T\right)\left(Y,Z\right)\right)}$

2. Вторая личность Бьянки:

   ${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(\left(\nabla _{X}R\right)\left(Y,Z\right)+R\left(T\left(X,Y\right),Z\right)\right)=0}$

Форма кривизны и тождества Бьянки

Форма кривизны — это gl ( n )-значная 2-форма

${\displaystyle \Omega =D\omega =d\omega +\omega \wedge \omega }$

где, опять же, D обозначает внешнюю ковариантную производную. В терминах формы кривизны и формы кручения соответствующие тождества Бьянки имеют вид ^[7]

1. ${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta }$
2. ${\displaystyle D\Omega =0.}$

Более того, можно восстановить тензоры кривизны и кручения из форм кривизны и кручения следующим образом. В точке u F _x M имеем ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}R(X,Y)Z&=u\left(2\Omega \left(\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y)\right)\right)\left(u^{-1}(Z)\right),\\T(X,Y)&=u\left(2\Theta \left(\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y)\right)\right),\end{aligned}}}$

где снова u  : R ⁿ → T _x M — функция, задающая рамку в волокне, а выбор подъема векторов через π ⁻¹ не имеет значения, поскольку формы кривизны и кручения горизонтальны (они обращаются в нуль на неоднозначных вертикальных векторах).

Характеристика и интерпретация

Кручение — это способ характеристики величины скольжения или скручивания, которое совершает плоскость при качении по поверхности или аффинному многообразию более высокой размерности . ^[9]

Например, рассмотрим прокатку плоскости по небольшому кругу, нарисованному на сфере. Если плоскость не скользит и не скручивается, то, когда плоскость катится по всему кругу, она также будет описывать окружность на плоскости. Оказывается, плоскость будет вращаться (несмотря на то, что при прокатке не было никакого скручивания), эффект, вызванный кривизной сферы . Но вычерченная кривая все равно будет окружностью, и, в частности, замкнутой кривой, которая начинается и заканчивается в одной и той же точке. С другой стороны, если плоскость катится по сфере, но ей позволяют скользить или скручиваться в процессе, то путь, который окружность очерчивает на плоскости, может быть гораздо более общей кривой, которая даже не обязательно должна быть замкнутой. Кручение — это способ количественной оценки этого дополнительного скольжения и скручивания при прокатке плоскости по кривой.

Таким образом, тензор кручения можно интуитивно понять, взяв небольшую схему параллелограмма со сторонами, заданными векторами v и w , в пространстве и прокатывая касательное пространство вдоль каждой из четырех сторон параллелограмма, отмечая точку контакта по мере ее движения. Когда схема будет завершена, отмеченная кривая будет смещена из плоскости параллелограмма на вектор, обозначенный . Таким образом, тензор кручения является тензором: (билинейная) функция двух входных векторов v и w , которая производит выходной вектор . Он кососимметричен по аргументам v и w , что отражает тот факт, что прохождение схемы в противоположном направлении отменяет первоначальное смещение, во многом так же, как закручивание винта в противоположных направлениях смещает винт в противоположных направлениях. Таким образом, тензор кручения связан с кручением кривой , хотя и отличается от него , как это появляется в формулах Френе-Серре : кручение связи измеряет смещение развернутой кривой из ее плоскости, в то время как кручение кривой также является смещением из ее соприкасающейся плоскости . В геометрии поверхностей геодезическое кручение описывает, как поверхность скручивается вокруг кривой на поверхности. Сопутствующее понятие кривизны измеряет, как движущиеся системы координат катятся вдоль кривой без проскальзывания или скручивания. ${\displaystyle T(v,w)}$ ${\displaystyle T(v,w)}$

Пример

Рассмотрим (плоское) евклидово пространство . На нем мы устанавливаем связь, которая является плоской, но с ненулевым кручением, определяемую на стандартной евклидовой системе координат (евклидовым) векторным произведением : Рассмотрим теперь параллельный перенос вектора вдоль оси, начиная с начала координат. Параллельное векторное поле, таким образом, удовлетворяет , и дифференциальному уравнению Таким образом , и решение имеет вид . ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}$ $${\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=e_{i}\times e_{j}.}$$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle X(x)=a(x)e_{2}+b(x)e_{3}}$ ${\displaystyle X(0)=e_{2}}$ $${\displaystyle {\begin{array}{rl}0={\dot {X}}&=\nabla _{e_{1}}X={\dot {a}}e_{2}+{\dot {b}}e_{3}+ae_{1}\times e_{2}+be_{1}\times e_{3}\\&=({\dot {a}}-b)e_{2}+({\dot {b}}+a)e_{3}.\end{array}}}$$ ${\displaystyle {\dot {a}}=b,{\dot {b}}=-a}$ ${\displaystyle X=\cos x\,e_{2}-\sin x\,e_{3}}$

Теперь кончик вектора , перемещаясь вдоль оси, описывает спираль. Таким образом, мы видим, что при наличии кручения параллельный перенос имеет тенденцию закручивать рамку вокруг направления движения, аналогично роли, которую играет кручение в классической дифференциальной геометрии кривых . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle e_{1}}$ $${\displaystyle x\,e_{1}+\cos x\,e_{2}-\sin x\,e_{3}.}$$

Разработка

Одна из интерпретаций кручения включает в себя развертывание кривой. ^[10] Предположим, что задана кусочно-гладкая замкнутая петля , основанная в точке , где . Мы предполагаем, что гомотопно нулю. Кривая может быть развернута в касательное пространство в следующим образом. Пусть будет параллельным кофреймом вдоль , и пусть будет координатами на , индуцированными . Развертка — это кривая, в координатах которой удовлетворяют дифференциальному уравнению Если кручение равно нулю, то развернутая кривая также является замкнутой петлей (так что ). С другой стороны, если кручение не равно нулю, то развернутая кривая может не быть замкнутой, так что . Таким образом, развертывание петли при наличии кручения может стать смещенным, аналогично винтовой дислокации . ^[11] ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)=p}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \theta ^{i}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle \theta ^{i}(p)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle x^{i}=x^{i}(t)}$ $${\displaystyle dx^{i}=\gamma ^{*}\theta ^{i}.}$$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)={\tilde {\gamma }}(1)}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)\not ={\tilde {\gamma }}(1)}$

Вышеизложенные соображения можно сделать более количественными, рассмотрев небольшой параллелограмм, исходящий из точки , со сторонами . Тогда касательный бивектор к параллелограмму равен . Развертка этого параллелограмма, использующая связь, больше не замкнута в общем случае, и смещение при обходе петли является переносом на вектор , где - тензор кручения, вплоть до членов более высокого порядка в . Это смещение напрямую аналогично вектору Бюргерса в кристаллографии. ^{[12] [13]} ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle v,w\in T_{p}M}$ ${\displaystyle v\wedge w\in \Lambda ^{2}T_{p}M}$ ${\displaystyle \Theta (v,w)}$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle v,w}$

В более общем случае можно также перемещать движущуюся рамку вдоль кривой . Линейное преобразование, которому подвергается рамка между , определяется кривизной соединения. Вместе линейное преобразование рамки и перенос начальной точки из в составляют голономию соединения. ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle t=0,t=1}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)}$

Кручение нити

В материаловедении , и особенно в теории упругости , идеи кручения также играют важную роль. Одна из проблем моделирует рост виноградных лоз, фокусируясь на вопросе о том, как виноградным лозам удается обвиваться вокруг объектов. ^[14] Сама виноградная лоза моделируется как пара эластичных нитей, обвивающихся друг вокруг друга. В состоянии минимизации энергии виноградная лоза естественным образом растет в форме спирали . Но виноградная лоза также может быть растянута, чтобы максимизировать ее протяженность (или длину). В этом случае кручение виноградной лозы связано с кручением пары нитей (или, что эквивалентно, кручению поверхности ленты, соединяющей нити), и оно отражает разницу между максимизирующей длину (геодезической) конфигурацией виноградной лозы и ее конфигурацией минимизации энергии.

Кручение и вихреобразование

В гидродинамике кручение естественным образом связано с вихревыми линиями .

Предположим, что задана связь в трех измерениях с кривизной 2-формы и кручением 2-формы . Пусть будет кососимметричным тензором Леви-Чивиты , и Тогда тождества Бианки Из тождеств Бианки следует, что и Это уравнения, которым удовлетворяет равновесная сплошная среда с плотностью момента . ^[15] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Omega _{a}^{b}}$ ${\displaystyle \Theta ^{a}=D\theta ^{a}}$ ${\displaystyle \eta _{abc}}$ $${\displaystyle t_{a}={\tfrac {1}{2}}\eta _{abc}\wedge \Omega ^{bc},}$$ $${\displaystyle s_{ab}=-\eta _{abc}\wedge \Theta ^{c}.}$$ $${\displaystyle D\Omega _{b}^{a}=0,\quad D\Theta ^{a}=\Omega _{b}^{a}\wedge \theta ^{b}.}$$ ${\displaystyle Dt_{a}=0}$ $${\displaystyle Ds_{ab}=\theta _{a}\wedge t_{b}-\theta _{b}\wedge t_{a}.}$$ ${\displaystyle s_{ab}}$

Геодезические и поглощение кручения

Предположим, что γ ( t ) — кривая на M. Тогда γ — аффинно параметризованная геодезическая при условии, что

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0}$

для всего времени t в области γ . (Здесь точка обозначает дифференцирование по t , которое сопоставляет с γ касательный вектор, направленный вдоль него.) Каждая геодезическая однозначно определяется своим начальным касательным вектором в момент времени t = 0 , . ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)}$

Одно из применений кручения связи включает геодезический спрей связи: грубо говоря, семейство всех аффинно параметризованных геодезических. Кручение — это неоднозначность классификации связей в терминах их геодезических спреев:

• Две связности ∇ и ∇′, имеющие одинаковые аффинно параметризованные геодезические (т.е. одинаковый геодезический спрей), отличаются только кручением. ^[16]

Точнее, если X и Y — пара касательных векторов в точке p ∈ M , то пусть

${\displaystyle \Delta (X,Y)=\nabla _{X}{\tilde {Y}}-\nabla '_{X}{\tilde {Y}}}$

будет разностью двух связей, вычисленной в терминах произвольных расширений X и Y от p . По правилу произведения Лейбница видно, что Δ на самом деле не зависит от того, как расширены X и Y ′ (поэтому он определяет тензор на M ). Пусть S и A будут симметричными и чередующимися частями Δ:

${\displaystyle S(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)+\Delta (Y,X)\right)}$

${\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)-\Delta (Y,X)\right)}$

Затем

• ${\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)}$— разность тензоров кручения.
• ∇ и ∇′ определяют одни и те же семейства аффинно параметризованных геодезических тогда и только тогда, когда S ( X , Y ) = 0 .

Другими словами, симметричная часть разности двух связей определяет, имеют ли они одинаковые параметризованные геодезические, тогда как косая часть разности определяется относительными кручениями двух связей. Другое следствие:

• Для любой аффинной связности ∇ существует единственная свободная от кручения связность ∇′ с тем же семейством аффинно параметризованных геодезических. Разница между этими двумя связностями на самом деле является тензором, тензором конторсии .

Это обобщение фундаментальной теоремы римановой геометрии на общие аффинные (возможно, неметрические) связности. Выделение единственной связности без кручения, подчиненной семейству параметризованных геодезических, известно как поглощение кручения и является одним из этапов метода эквивалентности Картана .

Смотрите также

• Тензор конторсии
• поле Кертрайт
• Тензор кривизны
• Связь Леви-Чивита
• Коэффициент кручения
• Кручение кривых

Примечания

1. Кобаяши и Номидзу (1963), Глава III, Теорема 5.1
2. Кобаяши и Номидзу (1963), Глава III, Предложение 7.6
3. Кобаяши и Номидзу (1963), Глава III, Раздел 2
4. Кобаяши и Номидзу (1963), Глава III, Теорема 2.4
5. Кобаяши и Номидзу (1963), Глава III, Раздел 7
6. Кобаяши и Номидзу 1963, Том 1, Предложение III.5.2.
7. Кобаяши и Номидзу 1963, Том 1, III.2.
8. Кобаяши и Номидзу 1963, Том 1, III.5.
9. Hehl, FW, & Obukhov, YN (2007). Кручение Эли Картана в геометрии и теории поля, эссе. Препринт arXiv arXiv:0711.1535.
10. Кобаяши и Номидзу (1963), Глава III, Раздел 4
11. Bilby, BA, Bullough, R., & Smith, E. (1955). Непрерывные распределения дислокаций: новое применение методов неримановой геометрии. Труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки, 231(1185), 263-273.
12. «Крутение», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
13. Озакин, А. и Явари, А. (2014). Аффинная разработка замкнутых кривых в многообразиях Вейценбека и вектор Бюргерса механики дислокаций. Математика и механика твердого тела , 19(3), 299-307.
14. Горели и др. 2006.
15. Траутман (1980) Комментарии к статье Эли Картана: Sur une обобщение понятия де-ла-курбюра де Римана и les espaces a torsion . В Бергманне, П.Г. и Де Саббата, V. Космология и гравитация: вращение, кручение, вращение и супергравитация (том 58). Springer Science & Business Media.
16. См. Спивак (1999) Том II, Приложение 1 к Главе 6. См. также Бишоп и Голдберг (1980), раздел 5.10.

Ссылки

• Бишоп, Р. Л .; Голдберг, С. И. (1980), Тензорный анализ на многообразиях , Dover Publications
• Картан, Э. (1923), «Sur les variétés à connexion affine, et la theorie de la relativité généralisée (première party)», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325–412, doi : 10.24033/asens.751
• Картан, Э. (1924), «Sur les variétés à connexion affine, et la theorie de la relativité généralisée (première party) (Suite)», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 41 : 1–25, doi : 10.24033/asens.753
• Эльзановски, М.; Эпштейн, М. (1985), «Геометрическая характеристика гиперупругой однородности», Архив рациональной механики и анализа , 88 (4): 347–357, Bibcode : 1985ArRMA..88..347E, doi : 10.1007/BF00250871, S2CID  120127682
• Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R. (2006), "Модели упругого роста" (PDF) , BIOMAT-2006 , Springer-Verlag , архивировано из оригинала (PDF) 29.12.2006
• Hehl, FW; von der Heyde, P.; Kerlick, GD; Nester, JM (1976), "Общая теория относительности со спином и кручением: основы и перспективы", Rev. Mod. Phys. , 48 (3): 393–416, Bibcode : 1976RvMP...48..393H, doi : 10.1103/revmodphys.48.393, 393.
• Киббл, TWB (1961), «Лоренц-инвариантность и гравитационное поле», J. Math. Phys. , 2 (2): 212–221, Bibcode : 1961JMP.....2..212K, doi : 10.1063/1.1703702, 212.
• Кобаяси, С.; Номидзу, К. (1963), Основы дифференциальной геометрии , т. 1 и 2 (новое издание), Wiley-Interscience (опубликовано в 1996 году), ISBN 0-471-15733-3
• Поплавски, Нью-Джерси (2009), Пространство-время и поля , arXiv : 0911.0334 , Bibcode : 2009arXiv0911.0334P
• Схоутен, Дж. А. (1954), Исчисление Риччи , Springer-Verlag
• Шредингер, Э. (1950), Структура пространства-времени , Cambridge University Press
• Sciama, DW (1964), "Физическая структура общей теории относительности", Rev. Mod. Phys. , 36 (1): 463, Bibcode : 1964RvMP...36..463S, doi : 10.1103/RevModPhys.36.463
• Спивак, М. (1999), Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию, Том II , Хьюстон, Техас: Publish or Perish, ISBN 0-914098-71-3

Внешние ссылки

• Билл Терстон (2011) Интерпретация кручения с помощью качения без проскальзывания, URL (версия: 2011-01-27).