Конгруэнтное число

Треугольник с площадью 6, соответствующее число.

В теории чисел конгруэнтное число — это целое положительное число , которое представляет собой площадь прямоугольного треугольника с тремя рациональными сторонами. ^{[1] [2]} Более общее определение включает все положительные рациональные числа, обладающие этим свойством. ^[3]

Последовательность (целых) конгруэнтных чисел начинается с

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116, 117, 118, 119, 120, ... (последовательность A003273 в OEIS )

Таблица конгруэнтных чисел: n ≤ 120

Например, 5 — конгруэнтное число, потому что оно представляет собой площадь треугольника (20/3, 3/2, 41/6). Точно так же 6 — конгруэнтное число, поскольку оно представляет собой площадь треугольника (3,4,5). 3 и 4 не являются равными числами.

Если q — конгруэнтное число, то s ² q также является конгруэнтным числом для любого натурального числа s (просто умножив каждую сторону треугольника на s ), и наоборот. Это приводит к наблюдению, что является ли ненулевое рациональное число q конгруэнтным числом, зависит только от его вычета в группе

${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}/\mathbb {Q} ^{*2},}$

где – множество ненулевых рациональных чисел. ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}$

Каждый класс вычетов в этой группе содержит ровно одно целое число без квадратов , и поэтому, когда речь идет о конгруэнтных числах, обычно рассматривают только положительные целые числа без квадратов.

Задача о совпадающих числах

Вопрос об определении того, является ли данное рациональное число конгруэнтным числом, называется проблемой конгруэнтных чисел . Эта проблема (по состоянию на 2019 год) не была доведена до успешного решения. Теорема Таннелла дает легко проверяемый критерий определения того, является ли число конгруэнтным; но его результат основан на гипотезе Бёрча и Суиннертона-Дайера , которая до сих пор не доказана.

Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике , названная в честь Пьера де Ферма , утверждает, что ни одно квадратное число не может быть конгруэнтным числом. Однако в том виде, в котором каждое конгруум (разница между последовательными элементами в арифметической прогрессии из трех квадратов) не является квадратным, это было уже известно (без доказательства) Фибоначчи . ^[4] Каждое сравнение является конгруэнтным числом, а каждое конгруэнтное число является произведением конгруума и квадрата рационального числа. ^[5] Однако определить, является ли число конгруумом, гораздо проще, чем определить, конгруэнтно ли оно, поскольку существует параметризованная формула для конгруума, для которой необходимо проверить только конечное число значений параметров. ^[6]

Решения

n — конгруэнтное число тогда и только тогда, когда система

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=u^{2}}$, ${\displaystyle x^{2}+ny^{2}=v^{2}}$

имеет решение где , и являются целыми числами. ^[7] ${\displaystyle x,y,u}$ ${\displaystyle v}$

Учитывая решение, три числа , и будут находиться в арифметической прогрессии с общей разностью . ${\displaystyle u^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle v^{2}}$ ${\displaystyle ny^{2}}$

Более того, если существует одно решение (где правые части — квадраты), то их бесконечно много: по любому решению можно вычислить другое решение из ^[8] ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x',y')}$

${\displaystyle x'=(xu)^{2}+n(yv)^{2},}$

${\displaystyle y'=2xyuv.}$

Например, при , уравнения: ${\displaystyle n=6}$

${\displaystyle x^{2}-6y^{2}=u^{2},}$

${\displaystyle x^{2}+6y^{2}=v^{2}.}$

Одно из решений (так что ). Другое решение ${\displaystyle x=5,y=2}$ ${\displaystyle u=1,v=7}$

${\displaystyle x'=(5\cdot 1)^{2}+6(2\cdot 7)^{2}=1201,}$

${\displaystyle y'=2\cdot 5\cdot 2\cdot 1\cdot 7=140.}$

С этим новым и новые правые части по-прежнему остаются квадратами: ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle y'}$

${\displaystyle u'^{2}=1201^{2}-6\cdot 140^{2}=1324801=1151^{2},}$

${\displaystyle v'^{2}=1201^{2}+6\cdot 140^{2}=1560001=1249^{2}.}$

Использование , как указано выше, дает ${\displaystyle x'=1201,y'=140,u',v'}$

${\displaystyle u''=1,727,438,169,601}$

${\displaystyle v''=2,405,943,600,001}$

Учитывая , и , можно получить , и такое, что ${\displaystyle x,y,u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$, и ${\displaystyle {\frac {ab}{2}}=n}$

от

${\displaystyle a={\frac {v-u}{y}},\quad b={\frac {v+u}{y}},\quad c={\frac {2x}{y}}.}$

Тогда и – катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника площадью . ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n}$

Вышеуказанные значения производят . Значения дают . Оба этих прямоугольных треугольника имеют площадь . ${\displaystyle (x,y,u,v)=(5,2,1,7)}$ ${\displaystyle (a,b,c)=(3,4,5)}$ ${\displaystyle (1201,140,1151,1249)}$ ${\displaystyle (a,b,c)=(7/10,120/7,1201/70)}$ ${\displaystyle n=6}$

Связь с эллиптическими кривыми

Вопрос о том, конгруэнтно ли данное число, оказывается эквивалентным условию положительного ранга некоторой эллиптической кривой . ^[3] Альтернативный подход к этой идее представлен ниже (его, по сути, также можно найти во введении к статье Таннелла).

Предположим, a , b , c — числа (не обязательно положительные или рациональные), которые удовлетворяют следующим двум уравнениям:

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}+b^{2}&=c^{2},\\{\tfrac {1}{2}}ab&=n.\end{aligned}}}$

Затем положите x = n ( a + c )/ b и y = 2 n ² ( a + c )/ b ² . Расчет показывает

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x}$

и y не равен 0 (если y = 0 , то a = − c , поэтому b = 0 , но ( 1 ⁄ 2 ) ab = n не равно нулю, противоречие).

И наоборот, если x и y — числа, удовлетворяющие приведенному выше уравнению, и y не равно 0, установите a = ( x ² − n ² )/ y , b = 2 nx / y и c = ( x ² + n ² )/ й . Расчет показывает, что эти три числа удовлетворяют двум уравнениям для a , b и c , приведенным выше.

Эти два соответствия между ( a , b , c ) и ( x , y ) являются обратными друг другу, поэтому мы имеем взаимно однозначное соответствие между любым решением двух уравнений в a , b и c и любым решением уравнения относительно x и y , где y не равен нулю. В частности, из формул в двух соответствиях для рационального n мы видим, что a , b и c рациональны тогда и только тогда, когда соответствующие x и y рациональны, и наоборот. (Мы также имеем, что все a , b и c положительны тогда и только тогда, когда x и y положительны; из уравнения y ² = x ³ − xn ² = x ( x ² − n ² ) мы видим, что если x и y положительны, то x ² − n ² должно быть положительным, поэтому формула для a положительна.)

Таким образом, положительное рациональное число n конгруэнтно тогда и только тогда, когда уравнение y ² = x ³ − n ² x имеет рациональную точку с y , не равным 0. Это можно показать (как применение теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии ), что единственными точками кручения на этой эллиптической кривой являются точки с y , равным 0, следовательно, существование рациональной точки с y , отличным от нуля, эквивалентно утверждению, что эллиптическая кривая имеет положительный ранг.

Другой подход к решению — начать с целочисленного значения n , обозначаемого как N , и решить

${\displaystyle N^{2}=ed^{2}+e^{2}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}c&=n^{2}/e+e\\a&=2n\\b&=n^{2}/e-e\end{aligned}}}$

Текущий прогресс

Например, известно, что для простого числа p справедливо следующее: ^[9]

• если p ≡ 3 ( mod 8) , то p не является конгруэнтным числом, но 2 p — конгруэнтное число.
• если p ≡ 5 (mod 8) , то p — конгруэнтное число.
• если p ≡ 7 (mod 8) , то p и 2 p — конгруэнтные числа.

Также известно, что в каждом из классов конгруэнтности 5, 6, 7 (mod 8) для любого заданного k существует бесконечно много конгруэнтных чисел без квадратов с k простыми делителями. ^[10]

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. «Согласованное число». Математический мир .
2. Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел ([3-е изд.] изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 195–197. ISBN 0-387-20860-7. OCLC  54611248.
3. Коблиц, Нил (1993), Введение в эллиптические кривые и модульные формы , Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 3, ISBN 0-387-97966-2
4. Оре, Эйстейн (2012), Теория чисел и ее история, Courier Dover Corporation, стр. 202–203, ISBN 978-0-486-13643-1.
5. Конрад, Кейт (осень 2008 г.), «Проблема конгруэнтных чисел» (PDF) , Математическое обозрение Гарвардского колледжа , 2 (2): 58–73, заархивировано из оригинала (PDF) 20 января 2013 г..
6. Дарлинг, Дэвид (2004), Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона, John Wiley & Sons, стр. 77, ISBN 978-0-471-66700-1.
7. Успенский, СП ; Хислет, Массачусетс (1939). Элементарная теория чисел . Том. 2. МакГроу Хилл. п. 419.
8. Диксон, Леонард Юджин (1966). История теории чисел . Том. 2. Челси. стр. 468–469.
9. Пол Монски (1990), «Мнимые точки Хегнера и конгруэнтные числа», Mathematische Zeitschrift , 204 (1): 45–67, doi : 10.1007/BF02570859, S2CID  121911966
10. Тиан, Йе (2014), «Согласованные числа и точки Хигнера», Cambridge Journal of Mathematics , 2 (1): 117–161, arXiv : 1210.8231 , doi : 10.4310/CJM.2014.v2.n1.a4, MR  3272014 , S2CID  55390076.

Рекомендации

• Альтер, Рональд (1980), «Проблема конгруэнтных чисел», American Mathematical Monthly , 87 (1), Математическая ассоциация Америки: 43–45, doi : 10.2307/2320381, JSTOR  2320381
• Чандрасекар, В. (1998), «Проблема конгруэнтных чисел» (PDF) , Resonance , 3 (8): 33–45, doi : 10.1007/BF02837344, S2CID  123495100
• Диксон, Леонард Юджин (2005), «Глава XVI», История теории чисел , Dover Books on Mathematics, vol. II: Диофантовый анализ, Dover Publications, ISBN 978-0-486-44233-4– см. историю проблемы.
• Гай, Ричард (2004), Нерешенные проблемы теории чисел , Сборники задач по математике (Книга 1) (3-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-20860-2, Збл  1058.11001– В нем дано много ссылок.
• Таннелл, Джерролд Б. (1983), «Классическая диофантова задача и модульные формы веса 3/2», Inventiones Mathematicae , 72 (2): 323–334, Бибкод : 1983InMat..72..323T, doi : 10.1007/ BF01389327, hdl : 10338.dmlcz/137483

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Согласованное число». Математический мир .
• Краткое обсуждение текущего состояния проблемы со многими ссылками можно найти в книге Алисы Сильверберг «Открытые вопросы по арифметической алгебраической геометрии» (Постскриптум).
• Триллион треугольников — математики разрешили первый триллион случаев (условно гипотезе Бёрча и Суиннертона-Дайера ).