Конечно-порожденная абелева группа

Коммутативная группа, где каждый элемент является суммой элементов из одного конечного подмножества

В абстрактной алгебре абелева группа называется конечно порожденной, если существует конечное число элементов в таких, что каждый из можно записать в виде для некоторых целых чисел . В этом случае мы говорим, что множество является порождающим множеством или , которые порождают . Таким образом, конечно порожденные абелевы группы можно рассматривать как обобщение циклических групп. ${\displaystyle (G,+)}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\cdots +n_{s}x_{s}}$ ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{s}}$ ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{s}\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}$ ${\displaystyle G}$

Каждая конечная абелева группа конечно порождена. Конечно порожденные абелевы группы могут быть полностью классифицированы.

Примеры

• Целые числа , , представляют собой конечно порожденную абелеву группу. ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,+\right)}$
• Целые числа по модулю ${\displaystyle n}$ , , представляют собой конечную (следовательно, конечно порожденную) абелеву группу. ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+\right)}$
• Любая прямая сумма конечного числа конечно порожденных абелевых групп снова является конечно порожденной абелевой группой.
• Каждая решетка образует конечно порождённую свободную абелеву группу .

Других примеров нет (с точностью до изоморфизма). В частности, группа рациональных чисел не является конечно порожденной: ^[1] если — рациональные числа, выбрать натуральное число, взаимно простое со всеми знаменателями; тогда не может быть порождена . Группа ненулевых рациональных чисел также не является конечно порожденной. Группы действительных чисел при сложении и ненулевых действительных чисел при умножении также не являются конечно порожденными. ^{[1] [2]} ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,+\right)}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ^{*},\cdot \right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ,+\right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{*},\cdot \right)}$

Классификация

Основная теорема о конечно порожденных абелевых группах может быть сформулирована двумя способами, обобщающими две формы основной теоремы о конечных абелевых группах . Теорема в обеих формах, в свою очередь, обобщается до структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов , которая, в свою очередь, допускает дальнейшие обобщения.

Первичное разложение

Формулировка первичного разложения утверждает, что каждая конечно порожденная абелева группа G изоморфна прямой сумме первичных циклических групп и бесконечных циклических групп . Первичная циклическая группа — это группа, порядок которой является степенью простого числа . То есть, каждая конечно порожденная абелева группа изоморфна группе вида

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} /q_{1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /q_{t}\mathbb {Z} ,}$

где n ≥ 0 — ранг , а числа q ₁ , ..., q _t — степени (не обязательно различных) простых чисел. В частности, G конечен тогда и только тогда, когда n = 0. Значения n , q ₁ , ..., q _t ( с точностью до перестановки индексов) однозначно определяются G , то есть существует один и только один способ представить G в виде такого разложения.

Доказательство этого утверждения использует теорему о базисе для конечной абелевой группы : каждая конечная абелева группа является прямой суммой примарных циклических групп . Обозначим подгруппу кручения группы G как tG . Тогда G/tG является абелевой группой без кручения и, таким образом, является свободной абелевой. tG является прямым слагаемым группы G , что означает, что существует подгруппа F группы G st , где . Тогда F также является свободной абелевой. Поскольку tG конечно порождена и каждый элемент группы tG имеет конечный порядок, tG конечна. По теореме о базисе для конечной абелевой группы tG можно записать в виде прямой суммы примарных циклических групп. ${\displaystyle G=tG\oplus F}$ ${\displaystyle F\cong G/tG}$

Инвариантное факторное разложение

Мы также можем записать любую конечно порожденную абелеву группу G в виде прямой суммы вида

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} /{k_{1}}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /{k_{u}}\mathbb {Z} ,}$

где k ₁ делит k ₂ , который делит k ₃ и так далее до k _u . Опять же, ранг n и инвариантные множители k ₁ , ..., k _u однозначно определяются G (здесь с уникальным порядком). Ранг и последовательность инвариантных множителей определяют группу с точностью до изоморфизма.

Эквивалентность

Эти утверждения эквивалентны в результате китайской теоремы об остатках , которая подразумевает, что тогда и только тогда, когда j и k взаимно просты . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{jk}\cong \mathbb {Z} _{j}\oplus \mathbb {Z} _{k}}$

История

История и заслуги фундаментальной теоремы осложняются тем фактом, что она была доказана, когда теория групп еще не была хорошо устоявшейся, и поэтому ранние формы, хотя по сути и являются современным результатом и доказательством, часто формулируются для конкретного случая. Вкратце, ранняя форма конечного случая была доказана Гауссом в 1801 году, конечный случай был доказан Кронекером в 1870 году и сформулирован в терминах теории групп Фробениусом и Штикельбергером в 1878 году. [требуется ссылка] Конечно ^{представленный случай решается} нормальной формой Смита , и поэтому часто приписывается (Smith 1861), ^[3] хотя конечно порожденный случай иногда вместо этого приписывается Пуанкаре в 1900 году; ^{[ требуется ссылка ]} подробности следуют.

Теоретик групп Ласло Фукс утверждает: ^[3]

Что касается основной теоремы о конечных абелевых группах, то неясно, насколько далеко в прошлое нужно зайти, чтобы проследить ее происхождение. ... потребовалось много времени, чтобы сформулировать и доказать основную теорему в ее нынешнем виде...

Основная теорема для конечных абелевых групп была доказана Леопольдом Кронекером в 1870 году ^{[ требуется ссылка ]} с использованием доказательства в теории групп, ^[4] хотя и без формулировки его в терминах теории групп; ^[5] современное представление доказательства Кронекера дано в (Stillwell 2012), 5.2.2 Теорема Кронекера, 176–177. Это обобщило более ранний результат Карла Фридриха Гаусса из Disquisitiones Arithmeticae (1801), который классифицировал квадратичные формы; Кронекер процитировал этот результат Гаусса. Теорема была сформулирована и доказана на языке групп Фердинандом Георгом Фробениусом и Людвигом Штикельбергером в 1878 году. ^{[6] [7]} Другая формулировка в теории групп была дана учеником Кронекера Эугеном Нетто в 1882 году. ^{[8] [9]}

Основная теорема для конечно представленных абелевых групп была доказана Генри Джоном Стивеном Смитом в (Smith 1861) ^[3] , поскольку целочисленные матрицы соответствуют конечным представлениям абелевых групп (это обобщается на конечно представленные модули над областью главных идеалов), а нормальная форма Смита соответствует классификации конечно представленных абелевых групп.

Основная теорема для конечно порождённых абелевых групп была доказана Анри Пуанкаре в 1900 году с использованием матричного доказательства (которое обобщается на главные идеальные области). ^{[ требуется ссылка ]} Это было сделано в контексте вычисления гомологии комплекса, в частности числа Бетти и коэффициентов кручения размерности комплекса, где число Бетти соответствует рангу свободной части, а коэффициенты кручения соответствуют части кручения. ^[4]

Доказательство Кронекера было обобщено на конечно порождённые абелевы группы Эмми Нётер в 1926 году. ^[4]

Следствия

Иначе говоря, фундаментальная теорема гласит, что конечно порождённая абелева группа является прямой суммой свободной абелевой группы конечного ранга и конечной абелевой группы, каждая из которых единственна с точностью до изоморфизма. Конечная абелева группа является просто подгруппой кручения группы G. Ранг группы G определяется как ранг части группы G , не имеющей кручения ; это просто число n в приведенных выше формулах.

Следствием фундаментальной теоремы является то, что каждая конечно порождённая абелева группа без кручения является свободной абелевой. Конечно порождённое условие здесь существенно: является свободной от кручения, но не свободной абелевой. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Каждая подгруппа и фактор-группа конечно порождённой абелевой группы снова является конечно порождённой абелевой. Конечно порождённые абелевы группы вместе с групповыми гомоморфизмами образуют абелеву категорию , которая является подкатегорией Серра категории абелевых групп .

Неконечно порожденные абелевы группы

Обратите внимание, что не каждая абелева группа конечного ранга является конечно порожденной; группа ранга 1 является одним контрпримером, а группа ранга 0, заданная прямой суммой счетного бесконечного числа копий , является другим контрпримером. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Смотрите также

• Композиционный ряд в теореме Жордана–Гёльдера является неабелевым обобщением.

Примечания

1. Silverman & Tate (1992), стр. 102
2. де ла Арп (2000), стр. 46
3. Fuchs, László (2015) [Первоначально опубликовано в 1958 г.]. Абелевы группы . Springer. стр. 85. ISBN 978-3-319-19422-6.
4. Стиллвелл, Джон (2012). "5.2 Теорема о структуре для конечно порожденных". Классическая топология и комбинаторная теория групп . стр. 175.
5. Вуссинг, Ганс (2007) [1969]. Die Genesis des abstrackten Gruppenbegriffes. Ein Beitrag zur Entstehungsgeschichte der abstrakten Gruppentheorie [ Генезис концепции абстрактной группы: вклад в историю происхождения абстрактной теории групп. ]. п. 67.
6. Г. Фробениус, Л. Штикельбергер, Убер Груббен фон вертаушбарен Элементен, Дж. Рейне и. ангью. Матем., 86 (1878), 217–262.
7. Вуссинг (2007), стр. 234–235
8. Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra , Ойген Нетто, 1882 г.
9. Вуссинг (2007), стр. 234–235

Ссылки

• Смит, Генри Дж. Стивен (1861). «О системах линейных неопределенных уравнений и сравнений». Phil. Trans. R. Soc. Lond. 151 (1): 293–326. doi :10.1098/rstl.1861.0016. JSTOR  108738. S2CID  110730515.Перепечатано (стр. 367–409) в The Collected Mathematical Papers of Henry John Stephen Smith, Vol. I, под редакцией JWL Glaisher . Oxford: Clarendon Press (1894), xcv +603 стр.
• Silverman, Joseph H.; Tate, John Torrence (1992). Рациональные точки на эллиптических кривых . Бакалаврские тексты по математике . Springer. ISBN 978-0-387-97825-3.
• де ла Арп, Пьер (2000). Темы геометрической теории групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-31721-2.