Свойство конечного пересечения

В общей топологии , разделе математики , непустое семейство A подмножеств множества называется имеющим свойство конечного пересечения (FIP), если пересечение по любой конечной подколлекции множества непусто . Оно обладает сильным свойством конечного пересечения (SFIP), если пересечение по любой конечной подколлекции множества бесконечно. Множества со свойством конечного пересечения также называются центрированными системами и подбазами фильтров . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Свойство конечного пересечения может быть использовано для переформулирования топологической компактности в терминах замкнутых множеств ; это его наиболее известное применение. Другие применения включают доказательство того, что некоторые совершенные множества несчетны, и построение ультрафильтров .

Определение

Пусть будет множеством и непустым семейством подмножеств ; то есть является подмножеством множества мощности . Тогда говорят , что имеет свойство конечного пересечения, если каждое непустое конечное подсемейство имеет непустое пересечение; говорят, что оно имеет свойство сильного конечного пересечения, если это пересечение всегда бесконечно. [ ^1] ${\textstyle X}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$

В символах имеет FIP, если для любого выбора конечного непустого подмножества должна существовать точка Аналогично имеет SFIP, если для любого выбора такого существует бесконечно много таких . ^[1] ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle {\mathcal {B}}}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ $${\displaystyle x\in \bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}{B}{\text{.}}}$$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle {\mathcal {B}}}$ ${\textstyle x}$

При изучении фильтров общее пересечение семейства множеств называется ядром, во многом от той же этимологии, что и подсолнечник . Семьи с пустым ядром называются свободными ; те, у которых ядро ​​непустое, — фиксированными. ^[2]

Семейства примеров и не примеров

Пустое множество не может принадлежать ни одной коллекции со свойством конечного пересечения.

Достаточным условием для свойства пересечения FIP является непустое ядро. Обратное, как правило, ложно, но справедливо для конечных семейств; то есть, если является конечным, то имеет свойство конечного пересечения тогда и только тогда, когда оно фиксировано. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Попарное пересечение

Свойство конечного пересечения строго сильнее , чем попарное пересечение; в семействе есть попарные пересечения, но нет FIP. ${\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}\}}$

В более общем случае пусть будет положительным целым числом, большим единицы , и . Тогда любое подмножество с меньшим количеством элементов имеет непустое пересечение, но не имеет FIP. ${\textstyle n\in \mathbb {N} \setminus \{1\}}$ ${\textstyle [n]=\{1,\dots ,n\}}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}=\{[n]\setminus \{j\}:j\in [n]\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$

Конструкции торцевого типа

Если — убывающая последовательность непустых множеств, то семейство обладает свойством конечного пересечения (и даже является π –системой ). Если включения строгие , то допускает также сильное свойство конечного пересечения. ${\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\cdots }$ ${\textstyle {\mathcal {A}}=\left\{A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\cdots }$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$

В более общем смысле, любой объект, полностью упорядоченный по включению, имеет FIP. ${\textstyle {\mathcal {A}}}$

При этом ядро ​​может быть пустым: если , то ядром является пустое множество . Аналогично семейство интервалов также имеет (S)FIP, но пустое ядро. ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle A_{j}=\{j,j+1,j+2,\dots \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \left\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \right\}}$

«Универсальные» наборы и свойства

Семейство всех подмножеств Бореля с мерой Лебега имеет FIP, как и семейство множеств comeagre . Если — бесконечное множество, то фильтр Фреше (семейство ) имеет FIP. Все они являются свободными фильтрами ; они замкнуты вверх и имеют пустое бесконечное пересечение. ^{[3] [4]} ${\displaystyle [0,1]}$ ${\textstyle 1}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle \{X\setminus C:C{\text{ finite}}\}}$

Если и для каждого положительного целого числа подмножество — это в точности все элементы из , имеющие цифру в ^-ом десятичном знаке , то любое конечное пересечение непусто — просто возьмем в этих конечных числах и в остальных. Но пересечение для всех пусто, поскольку ни один элемент из не имеет всех нулевых цифр. ${\displaystyle X=(0,1)}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i\geq 1}$ ${\displaystyle (0,1)}$

Расширение наземного комплекса

Свойство (сильного) конечного пересечения является характеристикой семейства , а не базового множества . Если семейство на множестве допускает (S)FIP и , то также является семейством на множестве с FIP (соотв. SFIP). ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle X\subseteq Y}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle Y}$

Сгенерированные фильтры и топологии

Если есть множества с , то семейство имеет FIP; это семейство называется главным фильтром на , сгенерированным . Подмножество имеет FIP по той же причине: ядра содержат непустое множество . Если есть открытый интервал, то множество фактически равно ядрам или , и поэтому является элементом каждого фильтра. Но в общем случае ядро ​​фильтра не обязательно должно быть элементом фильтра. ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle K\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{S\subseteq X:K\subseteq S\}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{I\subseteq \mathbb {R} :K\subseteq I{\text{ and }}I{\text{ an open interval}}\}}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle {\mathcal {B}}}$

Правильный фильтр на множестве имеет свойство конечного пересечения. Каждый подбазис соседства в точке топологического пространства имеет FIP, и то же самое верно для каждого базиса соседства и каждого фильтра соседства в точке (потому что каждый из них, в частности, также является подбазисом соседства).

Отношение кπ-системы и фильтры

π –система – это непустое семейство множеств, замкнутое относительно конечных пересечений. Множество всех конечных пересечений одного или нескольких множеств из называется π –системой, порожденной , поскольку это наименьшая π –система, имеющая в качестве подмножества. $${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})=\left\{A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}:1\leq n<\infty {\text{ and }}A_{1},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}\right\}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$

Закрытие вверх в - это набор ${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})}$ ${\textstyle X}$ $${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}=\left\{S\subseteq X:P\subseteq S{\text{ for some }}P\in \pi ({\mathcal {A}})\right\}{\text{.}}}$$

Для любого семейства свойство конечного пересечения эквивалентно любому из следующих: ${\textstyle {\mathcal {A}}}$

• π -система, порожденная , не имеет пустого множества в качестве элемента; то есть, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \varnothing \notin \pi ({\mathcal {A}}).}$
• Множество обладает свойством конечного пересечения. ${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})}$
• Набор представляет собой (правильный) ^{[примечание 1]} предварительный фильтр . ${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})}$
• Семейство является подмножеством некоторого (правильного) предварительного фильтра . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• Замыкание вверх является (правильным) фильтром на . В этом случае называется фильтром на , сгенерированным , поскольку это минимальный (по отношению к ) фильтр на , который содержит в качестве подмножества. ${\textstyle \pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}}$ ${\textstyle X}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$является подмножеством некоторого (правильного) ^{[примечание 1]} фильтра. ^[1]

Приложения

Компактность

Свойство конечного пересечения полезно для формулировки альтернативного определения компактности :

Теорема  —  Пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое семейство замкнутых подмножеств, обладающее свойством конечного пересечения, имеет непустое пересечение. ^{[5] [6]}

Эта формулировка компактности используется в некоторых доказательствах теоремы Тихонова .

Несчетность совершенных пространств

Другое распространенное применение — доказательство того, что действительные числа неисчислимы .

Теорема  —  Пусть — непустое компактное хаусдорфово пространство , удовлетворяющее свойству, что никакое одноточечное множество не является открытым . Тогда — несчетное . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Все условия в формулировке теоремы являются необходимыми:

1. Мы не можем исключить условие Хаусдорфа; счетное множество (содержащее по крайней мере две точки) с недискретной топологией компактно, имеет более одной точки и удовлетворяет свойству, что никакие одноточечные множества не являются открытыми, но не является несчетным.
2. Мы не можем исключить условие компактности, как показывает множество рациональных чисел .
3. Мы не можем исключить условие, что одноточечные множества не могут быть открытыми, как показывает любое конечное пространство с дискретной топологией .

Доказательство

Мы покажем, что если непусто и открыто, и если является точкой из , то существует окрестность , замыкание которой не содержит ( ' может быть или не быть в ). Выберите отличное от (если , то должно существовать такое , иначе было бы открытое множество из одной точки; если это возможно, так как непусто). Затем по условию Хаусдорфа выберем непересекающиеся окрестности и из и соответственно. Тогда будет окрестность , содержащаяся в , замыкание которой не содержит желаемого. ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V\subset U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle y\in U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\notin U,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle K\cap U}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$

Теперь предположим , что является биекцией , и пусть обозначает образ Пусть будет первым открытым множеством и выберем окрестность , замыкание которой не содержит Во-вторых, выберем окрестность, замыкание которой не содержит Продолжим этот процесс, выбрав окрестность , замыкание которой не содержит Тогда набор удовлетворяет свойству конечного пересечения, и, следовательно, пересечение их замыканий непусто в силу компактности Следовательно, в этом пересечении есть точка . Ни одна не может принадлежать этому пересечению, поскольку не принадлежит замыканию Это означает, что не равно для всех и не является сюръективным ; противоречие. Следовательно, несчетно. ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle \left\{x_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{1}\subset X}$ ${\displaystyle x_{1}.}$ ${\displaystyle U_{2}\subset U_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}.}$ ${\displaystyle U_{n+1}\subset U_{n}}$ ${\displaystyle x_{n+1}.}$ ${\displaystyle \left\{U_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Следствие  —  Каждый замкнутый интервал с несчетен. Следовательно, несчетен. ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Следствие  —  Каждое совершенное локально компактное хаусдорфово пространство несчетно.

Доказательство

Пусть — совершенное, компактное, хаусдорфово пространство, тогда теорема немедленно подразумевает, что является несчетным. Если — совершенное, локально компактное хаусдорфово пространство, которое не является компактным, то одноточечная компактификация является совершенным, компактным хаусдорфовым пространством. Следовательно, одноточечная компактификация является несчетным. Поскольку удаление точки из несчетного множества все еще оставляет несчетное множество, является также несчетным. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ультрафильтры

Пусть непустое, имеющее свойство конечного пересечения. Тогда существует ультрафильтр (в ), такой что Этот результат известен как лемма об ультрафильтре . ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\subseteq 2^{X}.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 2^{X}}$ ${\displaystyle F\subseteq U.}$

Смотрите также

• Фильтр (теория множеств)  – Семейство множеств, представляющих «большие» множества
• Фильтры в топологии  – использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Система соседств  – (для точки x) совокупность всех соседств для точки xPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Ультрафильтр (теория множеств)  – Максимальный собственный фильтрPages displaying short descriptions of redirect targets

Ссылки

Примечания

1. Фильтр или предварительный фильтр на набореправильный илиневырожденным, если он не содержит пустое множество в качестве элемента. Как и многие − но не все − авторы, эта статья потребует невырожденности как части определений "prefilter" и "filter".

Цитаты

1. Джоши 1983, стр. 242−248.
2. Долецки и Майнард 2016, стр. 27–29, 33–35.
3. Бурбаки 1987, стр. 57–68.
4. Вилански 2013, стр. 44–46.
5. Манкрес 2000, стр. 169.
6. Пространство компактно тогда и только тогда, когда любое семейство замкнутых множеств, имеющих fip, имеет непустое пересечение в PlanetMath .
7. Чирмаз, Ласло; Хайнал, Андраш (1994), Matematikai logika (на венгерском языке) , Будапешт: Университет Этвеша Лоранда.

Общие источники

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Том. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063.
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Comfort, William Wistar; Negrepontis, Stylianos (1974). Теория ультрафильтров . Том 211. Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-06604-2. OCLC  1205452.
• Часар, Акош (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клары. Бристоль, Англия: ISBN Adam Hilger Ltd. 0-85274-275-4. OCLC  4146011.
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Convergence Foundations Of Topology . Нью-Джерси: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Джоши, К. Д. (1983). Введение в общую топологию . Нью-Йорк: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC  9218750.
• Кутрас, Костас Д.; Мойзес, Христос; Номикос, Христос; Цапроунис, Константинос; Зикос, Йоргос (20 октября 2021 г.). «О слабых фильтрах и ультрафильтрах: теория множеств из (и для) представления знаний». Logic Journal of the IGPL . 31 : 68–95. doi :10.1093/jigpal/jzab030.
• MacIver R., David (1 июля 2004 г.). "Фильтры в анализе и топологии" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2007-10-09.(Содержит вводный обзор фильтров в топологии и метрических пространствах.)
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе издание). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.
• Вилански, Альберт (17 октября 2008 г.) [1970]. Топология для анализа . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC  227923899.

Внешние ссылки

• «Свойство конечного пересечения». PlanetMath .