Циркумконический и инконический

Коническое сечение, проходящее через вершины треугольника или касающееся его сторон.

В евклидовой геометрии окружность , описанная окружностью, представляет собой коническое сечение , проходящее через три вершины треугольника , ^[1] а инконическое сечение представляет собой коническое сечение, вписанное в стороны треугольника, возможно, продолженные . ^[2]

Предположим, что A, B, C — различные неколлинеарные точки, и пусть △ ABC обозначает треугольник, вершинами которого являются A, B, C. Следуя общепринятой практике, A обозначает не только вершину, но и угол ∠ BAC при вершине A , и аналогично для B и C как углов в △ ABC . Пусть длины сторон △ ABC . ${\displaystyle a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|,}$

В трилинейных координатах общая окружность является геометрическим местом точек, удовлетворяющих уравнению ${\displaystyle X=x:y:z}$

${\displaystyle uyz+vzx+wxy=0,}$

для некоторой точки u  : v  : w . Изогональное сопряжение каждой точки X на описанной окружности, кроме A, B, C , является точкой на прямой

${\displaystyle ux+vy+wz=0.}$

Эта линия пересекает описанную окружность треугольника △ ABC в 0, 1 или 2 точках в зависимости от того, является ли описанная окружность эллипсом, параболой или гиперболой.

Общая инконика касается трех сторон треугольника △ ABC и задается уравнением

${\displaystyle u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0.}$

Центры и касательные линии

Циркумконический

Центром общей окружности является точка

${\displaystyle u(-au+bv+cw):v(au-bv+cw):w(au+bv-cw).}$

Прямые, касательные к общей описанной окружности в вершинах A, B, C, равны соответственно

${\displaystyle {\begin{aligned}wv+vz&=0,\\uz+wx&=0,\\vx+uy&=0.\end{aligned}}}$

Инконический

Центром общей инконики является точка

${\displaystyle cv+bw:aw+cu:bu+av.}$

Прямые, касательные к общей инконике, являются боковыми линиями △ ABC , заданными уравнениями x = 0 , y = 0 , z = 0 .

Другие особенности

Циркумконический

• Каждая некруглая описанная коника пересекает описанную окружность △ ABC в точке, отличной от A, B, C , часто называемой четвертой точкой пересечения , заданной трилинейными координатами.

${\displaystyle (cx-az)(ay-bx):(ay-bx)(bz-cy):(bz-cy)(cx-az)}$

• Если — точка на общей описанной конике, то касательная к конике в точке P определяется выражением ${\displaystyle P=p:q:r}$

${\displaystyle (vr+wq)x+(wp+ur)y+(uq+vp)z=0.}$

• Общая циркумконика сводится к параболе тогда и только тогда, когда

${\displaystyle u^{2}a^{2}+v^{2}b^{2}+w^{2}c^{2}-2vwbc-2wuca-2uvab=0,}$

и к прямоугольной гиперболе тогда и только тогда, когда

${\displaystyle u\cos A+v\cos B+w\cos C=0.}$

• Из всех треугольников, вписанных в данный эллипс, центроид того, который имеет наибольшую площадь, совпадает с центром эллипса. ^{[3] : с.147} Данный эллипс, проходящий через три вершины этого треугольника и имеющий центр в его центроиде, называется эллипсом окружности Штейнера этого треугольника .

Инконический

• Общая инконика сводится к параболе тогда и только тогда, когда

${\displaystyle ubc+vca+wab=0,}$

в этом случае она касается снаружи одной из сторон треугольника и касается продолжений двух других сторон .

• Предположим, что ⁠ ⁠ ${\displaystyle p_{1}:q_{1}:r_{1}}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle p_{2}:q_{2}:r_{2}}$ — различные точки, и пусть

${\displaystyle X=(p_{1}+p_{2}t):(q_{1}+q_{2}t):(r_{1}+r_{2}t).}$

Поскольку параметр t изменяется в диапазоне действительных чисел , геометрическое место точек X представляет собой линию. Определить

${\displaystyle X^{2}=(p_{1}+p_{2}t)^{2}:(q_{1}+q_{2}t)^{2}:(r_{1}+r_{2}t)^{2}.}$

Геометрическое место точек X ² — это инконика, обязательно эллипс , заданный уравнением

${\displaystyle L^{4}x^{2}+M^{4}y^{2}+N^{4}z^{2}-2M^{2}N^{2}yz-2N^{2}L^{2}zx-2L^{2}M^{2}xy=0,}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=q_{1}r_{2}-r_{1}q_{2},\\M&=r_{1}p_{2}-p_{1}r_{2},\\N&=p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}.\end{aligned}}}$

• Точка внутри треугольника является центром вписанного в треугольник тогда и только тогда, когда точка лежит внутри треугольника, вершины которого лежат в серединах сторон исходного треугольника. ^{[3] : стр.139} Для заданной точки внутри этого срединного треугольника вписанный в эту точку эллипс с центром в этой точке является единственным. ^{[3] : стр.142}
• Вписанный эллипс с наибольшей площадью — это вписанный эллипс Штейнера , также называемый срединным вписанным эллипсом, с центром в центроиде треугольника . ^{[3] : стр.145} В общем случае отношение площади вписанного эллипса к площади треугольника, выраженное в суммарных барицентрических координатах ( α, β, γ ) центра вписанного эллипса, равно ^{[3] : стр.143}

${\displaystyle {\frac {\text{Area of inellipse}}{\text{Area of triangle}}}=\pi {\sqrt {(1-2\alpha )(1-2\beta )(1-2\gamma )}},}$

которая максимизируется барицентрическими координатами центроида α = β = γ = ⅓ .

• Линии, соединяющие точки касания любого вписанного треугольника с противоположными вершинами треугольника, пересекаются в одной точке. ^{[3] : стр.148}

Расширение до четырехугольников

Все центры вписанных эллипсов данного четырехугольника лежат на отрезке прямой, соединяющем середины диагоналей четырехугольника . ^{[3] : с.136}

Примеры

• Циркумконики
  • Описанная окружность — единственная окружность , проходящая через три вершины треугольника.
  • Эллипс Штейнера , уникальный эллипс, проходящий через три вершины треугольника и центрированный в его центроиде.
  • Гипербола Киперта , уникальная коническая кривая, проходящая через три вершины треугольника, его центроид и ортоцентр.
  • Гипербола Ержабека — прямоугольная гипербола с центром в окружности треугольника , проходящей через три вершины треугольника, а также через его центр описанной окружности , ортоцентр и другие известные центры.
  • Гипербола Фейербаха — прямоугольная гипербола, проходящая через ортоцентр треугольника, точку Нагеля и другие примечательные точки, и имеющая центр на окружности девяти точек.
• Инконики
  • Вписанная окружность — единственная окружность, которая касается изнутри трех сторон треугольника.
  • Эллипс Штейнера — уникальный эллипс, касающийся трех сторон треугольника в их серединах.
  • Эллипс Мандарта , уникальный эллипс, касательный к сторонам треугольника в точках соприкосновения его вневписанных окружностей.
  • парабола Киперта
  • парабола Yff

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Circumconic". Из MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Circumconic.html
2. Weisstein, Eric W. "Inconic". Из MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Inconic.html
3. Чакериан, ГД «Искаженный взгляд на геометрию». Гл. 7 в Mathematical Plums (редактор Р. Хонсбергер). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979.

Внешние ссылки

• Circumconic в MathWorld
• Инконический в MathWorld