постоянная Эрмита

Константа, относящаяся к плотной упаковке сфер

В математике постоянная Эрмита , названная в честь Шарля Эрмита , определяет, какой длины может быть самый короткий элемент решетки в евклидовом пространстве .

Константа γ _n для целых чисел n > 0 определяется следующим образом. Для решетки L в евклидовом пространстве R ⁿ с единичным кообъемом, т. е. vol( R ⁿ / L ) = 1, пусть λ ₁ ( L ) обозначает наименьшую длину ненулевого элемента L . Тогда √ γ _n является максимумом λ ₁ ( L ) по всем таким решеткам L .

Квадратный корень в определении постоянной Эрмита — вопрос исторической условности.

Альтернативно, постоянную Эрмита γ _n можно определить как квадрат максимальной систолы плоского n -мерного тора единичного объема.

Пример

Постоянная Эрмита известна в размерностях 1–8 и 24.

Для n = 2 имеем γ ₂ = ⁠2/√ 3⁠ . Это значение достигается гексагональной решеткой целых чисел Эйзенштейна . ^[1]

Оценки

Известно, что ^[2]

${\displaystyle \gamma _{n}\leq \left({\frac {4}{3}}\right)^{\frac {n-1}{2}}.}$

Более сильная оценка, предложенная Гансом Фредериком Блихфельдтом ^[3], такова ^[4]:

${\displaystyle \gamma _{n}\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)\Gamma \left(2+{\frac {n}{2}}\right)^{\frac {2}{n}},}$

где - гамма-функция . ${\displaystyle \Gamma (x)}$

Смотрите также

• Неравенство тора Лёвнера

Ссылки

1. Касселс (1971) стр. 36
2. Китаока (1993) стр. 36
3. Блихфельдт, ХФ (1929). «Минимальное значение квадратичных форм и плотнейшая упаковка сфер». Math. Ann . 101 : 605–608. doi :10.1007/bf01454863. JFM  55.0721.01. S2CID  123648492.
4. Китаока (1993) стр. 42

• Cassels, JWS (1997). Введение в геометрию чисел. Классика математики (переиздание издания 1971 года). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-61788-4.
• Китаока, Ёсиюки (1993). Арифметика квадратичных форм . Cambridge Tracts in Mathematics. Том 106. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Збл  0785.11021.
• Шмидт, Вольфганг М. (1996). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения . Конспект лекций по математике. Т. 1467 (2-е изд.). Springer-Verlag . С. 9. ISBN 3-540-54058-X. Збл  0754.11020.