Константа (математика)

В математике слово константа имеет несколько значений. Как прилагательное, оно относится к недисперсности (т.е. неизменности относительно некоторого другого значения ); как существительное, оно имеет два различных значения:

Фиксированное и четко определенное число или другой неизменный математический объект , или символ , его обозначающий. ^[1]^[2] Термины математическая константа или физическая константа иногда используются для различения этого значения. ^[3]
Функция , значение которой остается неизменным (т. е. постоянная функция ). ^[4] Такая константа обычно представлена переменной , которая не зависит от основной рассматриваемой переменной(ых).

Например, общая квадратичная функция обычно записывается как:

ax^{2}+bx+c\,,

где $a$ , $b$ и $c$ — константы ( коэффициенты или параметры), а $x$ — переменная — заполнитель для аргумента изучаемой функции. Более явный способ обозначить эту функцию —

x\mapsto ax^{2}+bx+c\,,

что делает статус функции-аргумента $x$ (и, соответственно, постоянство $a$ , $b$ и $c$ ) понятным. В этом примере $a$ , $b$ и $c$ являются коэффициентами многочлена . Поскольку $c$ встречается в члене, который не включает $x$ , он называется постоянным членом многочлена и может рассматриваться как коэффициент $x$ $0$ . В более общем смысле, любой многочленный член или выражение нулевой степени (без переменной) является константой. ^[5]^{: 18}

Постоянная функция

Константа может использоваться для определения постоянной функции , которая игнорирует свои аргументы и всегда возвращает одно и то же значение. ^[6] Постоянная функция одной переменной, например , имеет график в виде горизонтальной линии, параллельной оси x . ^[7] Такая функция всегда принимает одно и то же значение (в данном случае 5), поскольку переменная не появляется в выражении, определяющем функцию. $f(x)=5$

Контекстная зависимость

Контекстно-зависимый характер понятия «константа» можно увидеть в следующем примере из элементарного исчисления:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}2^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {2^{x+h}-2^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}2^{x}{\frac {2^{h}-1}{h}}\\[8pt]&=2^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {2^{h}-1}{h}}&&{\text{поскольку }}x{\text{ является константой (т. е. не зависит от }}h{\text{)}}\\[8pt]&=2^{x}\cdot \mathbf {константа,} &&{\text{где }}\mathbf {константа} {\text{ означает не зависящий от }}x.\end{aligned}}

«Константа» означает не зависящая от некоторой переменной; не изменяющаяся при изменении этой переменной. В первом случае выше это означает не зависящая от h ; во втором случае это означает не зависящая от x . Константа в более узком контексте может рассматриваться как переменная в более широком контексте.

Известные математические константы

Некоторые значения часто встречаются в математике и традиционно обозначаются определенным символом. Эти стандартные символы и их значения называются математическими константами. Вот некоторые примеры:

0 ( ноль ).
1 ( один ), натуральное число после нуля.
$π$ ( пи ), константа, представляющая отношение длины окружности к ее диаметру, приблизительно равная 3,141592653589793238462643. ^[8]
$е$ , приблизительно равно 2,718281828459045235360287.^[9]
$i$ , мнимая единица , такая что $i 2 = -1$ . ^[10]
${\sqrt {2}}$ ( квадратный корень из 2 ), длина диагонали квадрата со сторонами, равными единице, приблизительно равная 1,414213562373095048801688. ^[11]
$φ$ ( золотое сечение ), приблизительно равно 1,618033988749894848204586, или алгебраически, . ^[12] $1+{\sqrt {5}} \over 2$

Константы в исчислении

В исчислении константы обрабатываются несколькими способами в зависимости от операции. Например, производная (скорость изменения) постоянной функции равна нулю. Это происходит потому, что константы по определению не изменяются. Следовательно, их производная равна нулю.

Наоборот, при интегрировании постоянной функции константа умножается на переменную интегрирования.

Во время вычисления предела константа остается такой же, какой она была до и после вычисления.

Интеграция функции одной переменной часто включает в себя константу интегрирования . Это возникает из-за того, что интеграл является обратной (противоположной) производной, что означает, что цель интегрирования — восстановить исходную функцию до дифференцирования. Производная постоянной функции равна нулю, как отмечено выше, а дифференциальный оператор является линейным оператором, поэтому функции, которые отличаются только постоянным членом, имеют одинаковую производную. Чтобы признать это, к неопределенному интегралу добавляется константа интегрирования ; это гарантирует, что все возможные решения включены. Константа интегрирования обычно записывается как «c» и представляет собой константу с фиксированным, но неопределенным значением.

Примеры

Если $f$ — постоянная функция, такая что для каждого $x,$ то $f(x)=72$

{\begin{align}f'(x)&=0\\\int f(x)\,dx&=72x+c\\\lim _{x\rightarrow 0}f(x)&=72\end{align}}

Смотрите также

Ссылки

^ Соболев, СК (составитель). Индивидуальная константа. Спрингер . ISBN 1402006098. Получено 2024-09-05 . {{cite book}}: |website=проигнорировано ( помощь )
^ Соболев, СК (составитель). Постоянный. Спрингер . ISBN 1402006098. Получено 2024-09-05 . {{cite book}}: |website=проигнорировано ( помощь )
^ "Определение КОНСТАНТЫ". www.merriam-webster.com . Получено 2021-11-09 .
^ Weisstein, Eric W. "Constant". mathworld.wolfram.com . Получено 2020-08-08 .
^ Foerster, Paul A. (2006). Алгебра и тригонометрия: функции и приложения, издание для учителя (классическое издание). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall . ISBN 0-13-165711-9.
^ Тантон, Джеймс (2005). Энциклопедия математики. Нью-Йорк: Факты в деле. ISBN 0-8160-5124-0. OCLC 56057904.
^ "Алгебра". tutorial.math.lamar.edu . Получено 2021-11-09 .
^ Арндт, Йорг; Хенель, Кристоф (2001). Пи – освобожден . Спрингер. п. 240. ИСБН 978-3540665724.
^ Weisstein, Eric W. "e". mathworld.wolfram.com . Получено 2021-11-09 .
^ Weisstein, Eric W. "i". mathworld.wolfram.com . Получено 2021-11-09 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Константа Пифагора». mathworld.wolfram.com . Получено 09.11.2021 .
^ Weisstein, Eric W. "Золотое сечение". mathworld.wolfram.com . Получено 2021-11-09 .

Внешние ссылки

Медиа, связанные с Constants на Wikimedia Commons