Голономный базис

В математике и математической физике координатный базис или голономный базис дифференцируемого многообразия M представляет собой набор полей базисных векторов { e ₁ ,..., en }, _{определенных} в каждой точке P области многообразия как

${\displaystyle \mathbf {e} _{\alpha }=\lim _{\delta x^{\alpha }\to 0}{\frac {\delta \mathbf {s} }{\delta x^{\alpha }}},}$

где δ s — вектор смещения между точкой P и близлежащей точкой Q , координатное расстояние которой от P равно δx ^α вдоль координатной кривой x ^α (т. е. кривой на многообразии, проходящей через P , для которой изменяется локальная координата x ^α , а все остальные координаты постоянны). ^[1]

Можно связать такой базис с операторами направленной производной. Дана параметризованная кривая C на многообразии, определяемом x ^α ( λ ) с касательным вектором u знак равно u ^α e _α , где u ^α знак равно ⁠dx ^α/dλ⁠ и функция f ( x ^α ) , определенная в окрестности C , изменение f вдоль C можно записать как

${\displaystyle {\frac {df}{d\lambda }}={\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}{\frac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}=u^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}f.}$

Поскольку у нас есть u = u ^α e _α , часто проводится отождествление координатного базисного вектора e _α и оператора частной производной ⁠∂/∂ х ^α⁠ при интерпретации векторов как операторов, действующих на функции. ^[2]

Локальное условие голономности базиса { e ₁ , ..., en } состоит в том _, что все взаимные производные Ли обращаются в нуль: ^[3]

${\displaystyle \left[\mathbf {e} _{\alpha },\mathbf {e} _{\beta }\right]={\mathcal {L}}_{\mathbf {e} _{\alpha }}\mathbf {e} _{\beta }=0.}$

Базис, не являющийся голономным, называется анголономным, ^[4] неголономным или некоординатным базисом.

Учитывая метрический тензор g на многообразии M , вообще невозможно найти координатный базис, который был бы ортонормирован в любой открытой области U многообразия M. ^[5] Очевидным исключением является случай, когда M — вещественное координатное пространство Rn ^, рассматриваемое как многообразие, где g является евклидовой метрикой δ _ij e ⁱ ⊗ e ^j в каждой точке.

Рекомендации

1. М.П. Хобсон; ГП Эфстатиу; А. Н. Ласенби (2006), Общая теория относительности: введение для физиков , издательство Кембриджского университета , стр. 57
2. Т. Падманабхан (2010), Гравитация: основы и границы , Cambridge University Press , стр. 25
3. Роджер Пенроуз; Вольфганг Риндлер, Спиноры и пространство-время: Том 1, Двухспинорное исчисление и релятивистские поля , Cambridge University Press , стр. 197–199.
4. Чарльз В. Миснер; Кип С. Торн; Джон Арчибальд Уилер (1970), Гравитация , с. 210
5. Бернард Ф. Шутц (1980), Геометрические методы математической физики , Cambridge University Press , стр. 47–49, ISBN 978-0-521-29887-2

Смотрите также

• Реактивный комплект
• Тетрадный формализм
• исчисление Риччи