Усеченный октаэдр

Архимедовы тела

В геометрии усеченный октаэдр — это архимедово тело , которое получается из правильного октаэдра путем удаления шести пирамид, по одной в каждой из вершин октаэдра. Усеченный октаэдр имеет 14 граней (8 правильных шестиугольников и 6 квадратов ), 36 ребер и 24 вершины. Поскольку каждая из его граней имеет точечную симметрию, усеченный октаэдр является 6 - зоноэдром . Это также многогранник Голдберга G _IV (1,1), содержащий квадратные и шестиугольные грани. Как и куб, он может замощать (или «упаковывать») трехмерное пространство, как пермутоэдр .

Усеченный октаэдр был назван «меконом» Бакминстером Фуллером . ^[1]

Его двойственный многогранник — тетракисгексаэдр . Если исходный усеченный октаэдр имеет единичную длину ребра, его двойственный тетракисгексаэдр имеет длины ребер ⁠9/8⁠ √ 2 и ⁠3/2⁠ √ 2 .

Классификации

Как архимедово тело

Усеченный октаэдр строится из правильного октаэдра путем отсечения всех вершин. Этот полученный многогранник имеет шесть квадратов и восемь шестиугольников, оставляя шесть квадратных пирамид . Учитывая, что каждая длина правильного октаэдра равна , а длина ребра квадратной пирамиды равна (квадратная пирамида является равносторонним , первым телом Джонсона ). Из свойства равносторонней квадратной пирамиды ее объем равен . Поскольку шесть равносторонних квадратных пирамид удаляются путем усечения, объем усеченного октаэдра получается путем вычитания объема правильного октаэдра из этих шести: ^[2] Площадь поверхности усеченного октаэдра может быть получена путем суммирования площади всех многоугольников, шести квадратов и восьми шестиугольников. Учитывая длину ребра , это: ^[2] ${\displaystyle 3a}$ ${\displaystyle a}$ ${\textstyle {\tfrac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{3}}(3a)^{3}-6\cdot {\frac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}=8a^{3}{\sqrt {2}}\approx 11.3137.}$$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle (6+12{\sqrt {3}})a^{2}\approx 26.7846a^{2}.}$$

3D модель усеченного октаэдра

Усеченный октаэдр является одним из тринадцати архимедовых тел . Другими словами, он имеет высокосимметричный и полуправильный многогранник с двумя или более различными правильными многоугольными гранями, которые встречаются в вершине. ^[3] Двойственный многогранник усеченного октаэдра — тетракисгексаэдр . Они оба имеют ту же трехмерную группу симметрии, что и правильный октаэдр, октаэдрическую симметрию . ^[4] Квадрат и два шестиугольника окружают каждую из его вершин, обозначая его вершинную фигуру как . ^[5] ${\displaystyle \mathrm {O} _{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle 4\cdot 6^{2}}$

Двугранный угол усеченного октаэдра между квадратом и шестиугольником равен , а между соседними шестиугольными гранями равен . ^[6] ${\textstyle \arccos(-1/{\sqrt {3}})\approx 125.26^{\circ }}$ ${\textstyle \arccos(-1/3)\approx 109.47^{\circ }}$

Как многогранник пахотного пространства

Усеченный октаэдр можно описать как пермутоэдр порядка 4 или 4-пермутоэдр , то есть его можно представить с еще более симметричными координатами в четырех измерениях: все перестановки образуют вершины усеченного октаэдра в трехмерном подпространстве . ^[7] Таким образом, каждая вершина соответствует перестановке , а каждое ребро представляет собой один попарный обмен двух элементов. Он имеет симметричную группу . ^[8] ${\displaystyle (1,2,3,4)}$ ${\displaystyle x+y+z+w=10}$ ${\displaystyle (1,2,3,4)}$ ${\displaystyle S_{4}}$

Усеченный октаэдр может быть использован в качестве пространства для заполнения. Он классифицируется как плезиоэдр , то есть его можно определить как ячейку Вороного симметричного множества Делоне . ^[9] Плезиоэдр включает параллелоэдр , многогранник, который можно перенести без вращения и заполнения пространства так, чтобы он заполнил всю грань. Существует пять трехмерных первичных параллелоэдров, один из которых — усеченный октаэдр. ^[10] В более общем смысле, каждый пермутоэдр и параллелоэдр является зоноэдром , многогранником, который является центрально-симметричным и может быть определен с помощью суммы Минковского . ^[11]

Как многогранник Голдберга

Усеченный октаэдр — это многогранник Голдберга , многогранник с шестиугольными или пятиугольными гранями. ^[12]

Приложения

В химии усеченный октаэдр представляет собой структуру содалита в каркасе кристаллов цеолита типа фожазита . ^[13]

В физике твердого тела первая зона Бриллюэна гранецентрированной кубической решетки представляет собой усеченный октаэдр. ^[14]

Усеченный октаэдр (фактически, обобщенный усеченный октаэдр) появляется в анализе ошибок модуляции индекса квантования (QIM) в сочетании с кодированием повторений. ^[15]

Вскрытие

Усеченный октаэдр можно разбить на центральный октаэдр , окруженный 8 треугольными куполами на каждой грани и 6 квадратными пирамидами над вершинами. ^[16]

Удаление центрального октаэдра и 2 или 4 треугольных куполов создает два тороида Стюарта с двугранной и тетраэдрической симметрией:

Тессеракт можно разрезать гиперплоскостью так, чтобы его сечение представляло собой усеченный октаэдр. ^[17]

Ячеечно -транзитивные битусечённые кубические соты можно также рассматривать как мозаику Вороного объёмно -центрированной кубической решётки . Усечённый октаэдр является одним из пяти трёхмерных первичных параллелоэдров .

Объекты

Сетчатые сетки для детских игровых комплексов часто имеют форму усеченного октаэдра.

• 
  Древний китайский штамп
• 
  скульптура в Бонне
• 
  Вариант кубика Рубика
• 
  модель сделана с помощью конструктора Полидрон
• 
  Кристалл пирита
• 
  кристалл болеита

Усеченный октаэдрический граф

В математической области теории графов усеченный октаэдрический граф — это граф вершин и ребер усеченного октаэдра. Он имеет 24 вершины и 36 ребер и является кубическим архимедовым графом . ^[18] Он имеет толщину книги 3 и номер очереди 2. ^[19]

Как гамильтонов кубический граф , он может быть представлен с помощью нотации LCF несколькими способами: [3, −7, 7, −3] ⁶ , [5, −11, 11, 7, 5, −5, −7, −11, 11, −5, −7, 7] ² , и [−11, 5, −3, −7, −9, 3, −5, 5, −3, 9, 7, 3, −5, 11, −3, 7, 5, −7, −9, 9, 7, −5, −7, 3]. ^[20]

Три различных гамильтоновых цикла, описанные тремя различными обозначениями LCF для усеченного октаэдрического графа

Ссылки

1. "Усеченный октаэдр". Wolfram Mathworld .
2. Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
3. Diudea, MV (2018). Многослойные полиэдральные кластеры. Springer . стр. 39. doi :10.1007/978-3-319-64123-2. ISBN 978-3-319-64123-2.
4. Koca, M.; Koca, NO (2013). «Группы Коксетера, кватернионы, симметрии многогранников и 4D-политопов». Математическая физика: Труды 13-й региональной конференции, Анталья, Турция, 27–31 октября 2010 г. World Scientific. стр. 48.
5. Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: путеводитель по дизайну. Dover Publications, Inc. стр. 78. ISBN 978-0-486-23729-9.
6. Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Канадский журнал математики . 18 : 169–200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.
7. Джонсон, Том; Едржеевски, Франк (2014). Взгляд на числа. Springer. стр. 15. doi :10.1007/978-3-0348-0554-4. ISBN 978-3-0348-0554-4.
8. Крисман, Карл-Дитер (2011). «Группа симметрии пермутаэдра». The College Mathematics Journal . 42 (2): 135–139. doi :10.4169/college.math.j.42.2.135. JSTOR  college.math.j.42.2.135.
9. Эрдаль, Р. М. (1999). «Зонотопы, кубики и гипотеза Вороного о параллелоэдрах». Европейский журнал комбинаторики . 20 (6): 527–549. doi : 10.1006/eujc.1999.0294 . MR  1703597.. Вороной предположил, что все мозаики пространств более высокой размерности, полученные с помощью трансляций одного выпуклого многогранника, комбинаторно эквивалентны мозаикам Вороного, и Эрдаль доказывает это в частном случае зонотопов . Но, как он пишет (стр. 429), гипотеза Вороного для размерностей не более четырех уже была доказана Делоне. О классификации трехмерных параллелоэдров по этим пяти типам см. Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1980). "Tilings with congruent tiles". Bulletin of the American Mathematical Society . New Series. 3 (3): 951–973. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14827-2 . MR  0585178.
10. Александров, АД (2005). "8.1 Параллелоэдры". Выпуклые многогранники . Springer. С. 349–359.
11. Йенсен, Патрик М.; Триндеруп, Камилия Х.; Даль, Андерс Б.; Даль, Ведрана А. (2019). «Зоноэдральная аппроксимация сферического структурного элемента для объемной морфологии». В Фельсберг, Михаэль; Форссен, Пер-Эрик; Синторн, Ида-Мария; Унгер, Йонас (ред.). Анализ изображений: 21-я Скандинавская конференция, SCIA 2019, Норрчёпинг, Швеция, 11–13 июня 2019 г., Труды . Springer. стр. 131–132. doi :10.1007/978-3-030-20205-7. ISBN 978-3-030-20205-7.
12. Шейн, С.; Гейд, Дж. М. (2014). «Четвертый класс выпуклых равносторонних многогранников с многогранной симметрией, связанный с фуллеренами и вирусами». Труды Национальной академии наук . 111 (8): 2920–2925. Bibcode : 2014PNAS..111.2920S. doi : 10.1073/pnas.1310939111 . ISSN  0027-8424. PMC 3939887. PMID 24516137  . 
13. Йен, Те Ф. (2007). Химические процессы для инженерной защиты окружающей среды. Imperial College Press. стр. 338. ISBN 978-1-86094-759-9.
14. Мизутани, Уитиро (2001). Введение в электронную теорию металлов. Cambridge University Press . стр. 112. ISBN 978-0-521-58709-9.
15. Перес-Гонсалес, Ф.; Баладо, Ф.; Мартин, Дж. Р. Х. (2003). «Анализ производительности существующих и новых методов сокрытия данных с известной информацией о хосте в аддитивных каналах». Труды IEEE по обработке сигналов . 51 (4): 960–980. Bibcode : 2003ITSP...51..960P. doi : 10.1109/TSP.2003.809368.
16. Доски, Алекс. «Приключения среди тороидов – Глава 5 – Простейшие (R)(A)(Q)(T) тороиды рода p=1». www.doskey.com .
17. Боровик, Александр В.; Боровик, Анна (2010), «Упражнение 14.4», Mirrors and Reflections , Universitext, Нью-Йорк: Springer, стр. 109, doi :10.1007/978-0-387-79066-4, ISBN 978-0-387-79065-7, г-н  2561378
18. Рид, Р. К.; Уилсон, Р. Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press , стр. 269
19. Вольц, Джессика; Проектирование линейных макетов с SAT. Магистерская работа, Тюбингенский университет, 2018 г.
20. Вайсштейн, Эрик В. «Усеченный октаэдрический граф». MathWorld .

• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Раздел 3–9)
• Фрейтас, Роберт А. младший (1999). "Рисунок 5.5: Равномерное заполнение пространства с использованием только усеченных октаэдров". Наномедицина, том I: Базовые возможности. Джорджтаун, Техас: Landes Bioscience . Получено 08.09.2006 .
• Gaiha, P. & Guha, SK (1977). «Смежные вершины на пермутоэдре». Журнал SIAM по прикладной математике . 32 (2): 323–327. doi :10.1137/0132025.
• Харт, Джордж У. "VRML-модель усеченного октаэдра". Виртуальные многогранники: Энциклопедия многогранников . Получено 08.09.2006 .
• Mäder, Roman. "The Uniform Polyhedra: Truncated Octahedron" . Получено 2006-09-08 .
• Александров, А.Д. (1958). Конвекс Полиэдер . Берлин: Шпрингер. п. 539. ИСБН 3-540-23158-7.
• Кромвель, П. (1997). Многогранники . Великобритания: Кембридж. стр. 79–86 Архимедовы тела . ISBN 0-521-55432-2.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Усеченный октаэдр» («Архимедово тело») на MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. "Усеченный октаэдрический граф". MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Пермутоэдр». MathWorld .
• Клитцинг, Ричард. «Трехмерные выпуклые однородные многогранники x3x4o - toe».
• Редактируемая и печатная развертка усеченного октаэдра с интерактивным 3D-просмотром