коробление

Внезапное изменение формы элемента конструкции под нагрузкой

Панели обшивки с пряжками на самолете B-52 . Панели из тонкой кожи прогибаются при очень низких нагрузках. В показанном здесь случае вес передней конструкции фюзеляжа перед носовым шасси достаточен, чтобы вызвать коробление панелей. Панели с пряжками по-прежнему эффективно выдерживают сдвиг за счет диагонального натяжения. ^[1]

В строительной инженерии выпучивание – это внезапное изменение формы ( деформация ) конструктивного элемента под нагрузкой , например, изгиб колонны при сжатии или сморщивание пластины при сдвиге . Если конструкция подвергается постепенно возрастающей нагрузке, то когда нагрузка достигает критического уровня, элемент может внезапно изменить форму, и считается, что конструкция и компонент деформировались . ^[2] Критическая нагрузка Эйлера и параболическая формула Джонсона используются для определения напряжения потери устойчивости колонны.

Потеря устойчивости может произойти, даже если напряжения , возникающие в конструкции, значительно ниже тех, которые необходимы для разрушения материала, из которого состоит конструкция. Дальнейшее нагружение может привести к значительным и несколько непредсказуемым деформациям, которые могут привести к полной потере несущей способности элемента. Однако если деформации, возникающие после коробления, не приводят к полному разрушению этого элемента, элемент будет продолжать выдерживать нагрузку, вызвавшую его коробление. Если прогнутый элемент является частью более крупной совокупности компонентов, например здания, любая нагрузка, приложенная к прогнутой части конструкции, сверх той, которая вызвала прогиб элемента, будет перераспределена внутри конструкции. Некоторые самолеты спроектированы с использованием панелей тонкой обшивки, позволяющих продолжать нести нагрузку даже в пристегнутом состоянии.

Формы коробления

Столбцы

Колонна под концентрической осевой нагрузкой, демонстрирующая характерную деформацию потери устойчивости.

Эксцентриситет осевой силы приводит к возникновению изгибающего момента, действующего на балочный элемент.

Отношение эффективной длины колонны к наименьшему радиусу вращения ее поперечного сечения называется коэффициентом гибкости (иногда обозначается греческой буквой лямбда, λ). Это соотношение позволяет классифицировать столбцы и характер их отказов. Коэффициент гибкости важен для конструктивных соображений. Все нижеприведенные значения являются приблизительными и используются для удобства.

Если нагрузка на колонну приложена через центр тяжести (центр тяжести) ее поперечного сечения, она называется осевой нагрузкой . Нагрузка в любой другой точке поперечного сечения называется эксцентричной нагрузкой. Короткая колонна под действием осевой нагрузки выйдет из строя из-за прямого сжатия до того, как она прогнется, но длинная колонна, нагруженная таким же образом, выйдет из строя из-за внезапного пружинения наружу вбок (выпучивание) в режиме изгиба. Режим выпучивания при прогибе считается видом разрушения, и он обычно возникает до того, как напряжения осевого сжатия (прямое сжатие) могут вызвать разрушение материала из-за текучести или разрушения этого сжимающего элемента. Однако колонны средней длины выйдут из строя из-за сочетания прямого сжимающего напряжения и изгиба.

В частности:

• Короткая стальная колонна — это колонна, коэффициент гибкости которой не превышает 50; стальная колонна средней длины имеет коэффициент гибкости в диапазоне от примерно 50 до 200, и ее поведение определяется пределом прочности материала, в то время как можно предположить, что длинная стальная колонна имеет коэффициент гибкости более 200, и ее поведение определяется пределом прочности материала. по модулю упругости материала.
• Короткая бетонная колонна — это колонна, у которой отношение длины без опоры к наименьшему размеру поперечного сечения равно или меньше 10. Если это соотношение больше 10, она считается длинной колонной (иногда называемой тонкой колонной).
• Деревянные колонны могут быть классифицированы как короткие колонны, если отношение длины к наименьшему размеру поперечного сечения равно или меньше 10. Разделительную линию между промежуточными и длинными деревянными колоннами трудно определить. Одним из способов определения нижнего предела длинных деревянных колонн было бы установить его как наименьшее значение отношения длины к наименьшей площади поперечного сечения, которое чуть превышало бы определенную константу K материала. Поскольку K зависит от модуля упругости и допустимого сжимающего напряжения, параллельного волокну, можно видеть, что этот произвольный предел будет меняться в зависимости от породы древесины. Значение K указано в большинстве справочников по конструкции.

Теорию поведения колонн исследовал в 1757 году математик Леонард Эйлер . Он вывел формулу, названную критической нагрузкой Эйлера , которая дает максимальную осевую нагрузку, которую длинная, тонкая, идеальная колонна может выдержать без коробления. Идеальная колонка — это та, которая:

• совершенно прямой
• изготовлен из однородного материала
• свободен от первоначального стресса.

Когда приложенная нагрузка достигает нагрузки Эйлера, иногда называемой критической нагрузкой, колонна оказывается в состоянии неустойчивого равновесия . При такой нагрузке возникновение малейшей боковой силы приведет к тому, что колонна выйдет из строя, внезапно «перепрыгнув» в новую конфигурацию, и говорят, что колонна прогнулась. Вот что происходит, когда человек стоит на пустой алюминиевой банке и затем кратковременно постукивает по бокам, в результате чего она мгновенно раздавливается (вертикальные стороны банки можно понимать как бесконечную серию чрезвычайно тонких колонн). ^{[ нужна цитация ]} Формула, выведенная Эйлером для длинных тонких колонн:

$${\displaystyle F_{c}={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}$$

где

• ${\displaystyle F_{c}}$, максимальная или критическая сила (вертикальная нагрузка на колонну),
• ${\displaystyle E}$, модуль упругости ,
• ${\displaystyle I}$, наименьший момент инерции площади (второй момент площади) поперечного сечения колонны,
• ${\displaystyle L}$, неподдерживаемая длина столбца,
• ${\displaystyle K}$, коэффициент эффективной длины колонны , значение которого зависит от условий концевой опоры колонны следующим образом.
  • Оба конца закреплены (на шарнирах, свободно вращаются), . ${\displaystyle K=1.0}$
  • Для обоих концов фиксировано, . ${\displaystyle K=0.50}$
  • Один конец закреплен, а другой закреплен . ${\displaystyle K\approx 0.699}$
  • Один конец закреплен, а другой свободно перемещается вбок . ${\displaystyle K=2.0}$
• ${\displaystyle KL}$— эффективная длина колонны.

Анализ этой формулы показывает следующие факты относительно несущей способности тонких колонн.

• Упругость материала колонны, а не прочность на сжатие материала колонны, определяет продольную нагрузку колонны .
• Выпучивающая нагрузка прямо пропорциональна второму моменту площади поперечного сечения.
• Граничные условия оказывают значительное влияние на критическую нагрузку тонких колонн. Граничные условия определяют режим изгиба колонны и расстояние между точками перегиба на кривой перемещения прогибаемой колонны. Точками перегиба формы прогиба колонны являются точки, в которых кривизна колонны меняет знак, а также точки, в которых внутренние изгибающие моменты колонны равны нулю. Чем ближе точки перегиба, тем больше результирующая осевая нагрузка (распирающая нагрузка) колонны.

Демонстрационная модель, иллюстрирующая различные режимы устойчивости «Эйлера». Модель показывает, как граничные условия влияют на критическую нагрузку тонкой колонны. Столбцы идентичны, за исключением граничных условий.

Вывод из вышеизложенного заключается в том, что продольную нагрузку колонны можно увеличить, изменив ее материал на материал с более высоким модулем упругости (Е) или изменив конструкцию поперечного сечения колонны так, чтобы увеличить ее момент инерции. Последнее можно сделать, не увеличивая вес колонны, распределив материал как можно дальше от главной оси поперечного сечения колонны. Для большинства целей наиболее эффективным использованием материала колонны является трубчатая секция.

Еще один вывод, который можно почерпнуть из этого уравнения, — это влияние длины на критическую нагрузку. Удвоение неподдерживаемой длины колонны уменьшает допустимую нагрузку вчетверо. Ограничение, обеспечиваемое торцевыми соединениями колонны, также влияет на ее критическую нагрузку. Если соединения абсолютно жесткие (не допускающие поворота концов), критическая нагрузка будет в четыре раза больше, чем для аналогичной колонны, у которой концы закреплены булавками (что позволяет вращать ее концы).

Поскольку радиус инерции определяется как квадратный корень из отношения момента инерции колонны вокруг оси к площади ее поперечного сечения, приведенную выше формулу Эйлера можно переформатировать, заменив радиус инерции на : ${\displaystyle Ar^{2}}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}={\frac {\pi ^{2}E}{(l/r)^{2}}}}$$

где – напряжение, вызывающее коробление колонны, – коэффициент гибкости. ${\displaystyle \sigma =F/A}$ ${\displaystyle l/r}$

Поскольку несущие колонны обычно имеют промежуточную длину, формула Эйлера не имеет практического применения для обычного проектирования. Проблемы, вызывающие отклонения от поведения колонны в чистом Эйлере, включают несовершенства геометрии колонны в сочетании с пластичностью/нелинейным поведением материала колонны при напряжении и деформации. В результате был разработан ряд эмпирических формул столбцов, согласующихся с данными испытаний, каждая из которых отражает коэффициент гибкости. Ввиду неопределенности поведения колонн для проектирования в эти формулы вводятся соответствующие коэффициенты запаса . Одной из таких формул является формула Перри Робертсона , которая оценивает критическую нагрузку, вызывающую продольный изгиб, на основе предполагаемой небольшой начальной кривизны и, следовательно, эксцентриситета осевой нагрузки. Формула Рэнкина Гордона, названная в честь Уильяма Джона Маккорна Рэнкина и Перри Хьюджсворта Гордона (1899–1966), также основана на экспериментальных результатах и ​​предполагает, что колонна прогнется при нагрузке F _max , определяемой по формуле:

$${\displaystyle {\frac {1}{F_{\max }}}={\frac {1}{F_{e}}}+{\frac {1}{F_{c}}}}$$

где – максимальная нагрузка Эйлера, – максимальная сжимающая нагрузка. Эта формула обычно дает консервативную оценку . ${\displaystyle F_{e}}$ ${\displaystyle F_{c}}$ ${\displaystyle F_{\max }}$

Самовыпучивание

Отдельно стоящая вертикальная колонна с плотностью , модулем Юнга и площадью поперечного сечения прогнется под собственным весом, если ее высота превысит определенное критическое значение: ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle h_{\text{crit}}=\left({\frac {9B^{2}}{4}}\,{\frac {EI}{\rho gA}}\right)^{\frac {1}{3}}}$$

где – ускорение свободного падения, – второй момент площади поперечного сечения балки, – первый нуль функции Бесселя первого рода порядка −1/3, равный 1,86635086... ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle B}$

Выпучивание пластины

Пластина представляет собой трехмерную структуру, определяемую как имеющая ширину, сопоставимую с ее длиной, и толщину, которая очень мала по сравнению с двумя другими ее измерениями . Подобно колоннам, тонкие пластины испытывают неплоскостные деформации при воздействии критических нагрузок; однако, в отличие от потери устойчивости колонны, пластины под нагрузкой потери устойчивости могут продолжать нести нагрузки, называемые локальными потерями устойчивости. Это явление невероятно полезно во многих системах, поскольку позволяет проектировать системы, обеспечивающие большую нагрузочную способность.

Для прямоугольной пластины, опирающейся по каждому краю и нагруженной равномерной сжимающей силой на единицу длины, полученное основное уравнение можно сформулировать следующим образом: ^[6]

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\frac {12\left(1-\nu ^{2}\right)}{Et^{3}}}\left(-N_{x}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)}$$

где

• ${\displaystyle w}$, отклонение от плоскости
• ${\displaystyle N_{x}}$, равномерно распределенная сжимающая нагрузка
• ${\displaystyle \nu }$, коэффициент Пуассона
• ${\displaystyle E}$, модуль упругости
• ${\displaystyle t}$, толщина

Решение отклонения можно разложить на две показанные гармонические функции: ^[6]

$${\displaystyle w=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }w_{mn}\sin \left({\frac {m\pi x}{a}}\right)\sin \left({\frac {n\pi y}{b}}\right)}$$

где

• ${\displaystyle m}$, количество полусинусоидальных кривизн, возникающих в продольном направлении
• ${\displaystyle n}$, количество полусинусоидальных кривизн, возникающих по ширине
• ${\displaystyle a}$, длина образца
• ${\displaystyle b}$, ширина образца

Предыдущее уравнение можно подставить в более раннее дифференциальное уравнение, где равно 1. Можно разделить, получив уравнение для критической сжимающей нагрузки пластины: ^[6] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N_{x}}$

$${\displaystyle N_{x,cr}=k_{cr}{\frac {\pi ^{2}Et^{3}}{12\left(1-\nu ^{2}\right)b^{2}}}}$$

где коэффициент потери устойчивости определяется по формуле: ^[6] ${\displaystyle k_{cr}}$

$${\displaystyle k_{cr}=\left({\frac {mb}{a}}+{\frac {a}{mb}}\right)^{2}}$$

На коэффициент потери устойчивости влияют внешний вид образца / и количество продольных изгибов. Для увеличения числа таких кривизн соотношение сторон приводит к изменению коэффициента продольного изгиба; но каждое отношение обеспечивает минимальное значение для каждого . Это минимальное значение затем можно использовать как константу, независимую как от соотношения сторон, так и от . ^[6] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {b}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

Если напряжение находится по нагрузке на единицу площади, для критического напряжения находится следующее выражение:

$${\displaystyle \sigma _{cr}=k_{cr}{\frac {\pi ^{2}E}{12\left(1-\nu ^{2}\right)\left({\frac {b}{t}}\right)^{2}}}}$$

Из полученных уравнений видно большое сходство критических напряжений для колонны и плиты. По мере уменьшения ширины пластина действует больше как колонна, поскольку увеличивает сопротивление короблению по ширине пластины. Увеличение позволяет увеличить количество синусоидальных волн, возникающих при изгибе по длине, но также увеличивает сопротивление изгибу по ширине. ^[6] Это создает предпочтение пластины изгибаться таким образом, чтобы количество кривизн было одинаковым как по ширине, так и по длине. Из-за граничных условий, когда пластина нагружена критическим напряжением и изгибается, края, перпендикулярные нагрузке, не могут деформироваться вне плоскости и, следовательно, будут продолжать нести напряжения. Это создает неравномерную сжимающую нагрузку вдоль концов, где напряжения прикладываются к половине эффективной ширины с каждой стороны образца, определяемой следующим образом: ^[6] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle {\frac {b_{\text{eff}}}{b}}\approx {\sqrt {{\frac {\sigma _{cr}}{\sigma _{y}}}\left(1-1.022{\sqrt {\frac {\sigma _{cr}}{\sigma _{y}}}}\right)}}}$$

где

• ${\displaystyle b_{\text{eff}}}$, эффективная ширина
• ${\displaystyle \sigma _{y}}$, вызывая напряжение

По мере увеличения нагруженного напряжения эффективная ширина продолжает уменьшаться; если напряжения на концах когда-либо достигнут предела текучести, пластина выйдет из строя. Это то, что позволяет изогнутой конструкции продолжать выдерживать нагрузки. Когда осевая нагрузка, превышающая критическую нагрузку, отображается в зависимости от смещения, отображается основная траектория. Он демонстрирует сходство пластины с колонной, находящейся под продольным изгибом; однако после потери устойчивости основной путь разветвляется на вторичный путь, который изгибается вверх, обеспечивая возможность подвергаться более высоким нагрузкам, превышающим критическую нагрузку.

Изгибно-крутильное выпучивание

Испугивание при изгибе и кручении можно описать как комбинацию изгиба и скручивания элемента при сжатии. Такой режим отклонения необходимо учитывать в целях проектирования. Чаще всего это происходит в колоннах с «открытыми» поперечными сечениями и, следовательно, с низкой жесткостью на кручение, таких как швеллеры, структурные тройники, двуугольные формы и равнополочные одиночные уголки. Круглые поперечные сечения не подвергаются такому изгибу.

Боковое-крутильное выпучивание

Поперечное скручивание двутавровой балки с вертикальной силой в центре: а) продольный вид, б) поперечное сечение возле опоры, в) поперечное сечение в центре с поперечно-крутильным выпучиванием

При нагрузке на изгиб свободно опертой балки верхняя сторона находится на сжатии , а нижняя на растяжение . Если балка не поддерживается в боковом направлении (т. е. перпендикулярно плоскости изгиба) и изгибающая нагрузка увеличивается до критического предела, балка испытает боковое отклонение сжатой полки, поскольку она локально выгибается. Боковое отклонение сжатой полки ограничивается стенкой балки и растянутой полкой, но для открытого сечения режим скручивания более гибкий, следовательно, балка как скручивается, так и отклоняется вбок в режиме разрушения, известном как продольное скручивание . В широкополочных сечениях (с высокой жесткостью на боковой изгиб) режим прогиба будет преимущественно скручивающим при кручении. В узкополочных секциях жесткость на изгиб ниже, и прогиб колонны будет ближе к режиму бокового прогиба.

Использование закрытых профилей, таких как квадратные полые профили , позволит смягчить последствия бокового изгиба при кручении благодаря их высокой жесткости на кручение .

C _b — модифицирующий коэффициент, используемый в уравнении номинальной прочности на изгиб при определении потери устойчивости при поперечном кручении. Причиной этого фактора является учет неравномерных диаграмм моментов при скреплении концов сегмента балки. Консервативное значение C _b можно принять равным 1 независимо от конфигурации балки или нагрузки, но в некоторых случаях оно может быть чрезмерно консервативным. C _b всегда равно или больше 1, но не меньше. Для консолей или свесов, у которых свободный конец не закреплен, C _b равен 1. Существуют таблицы значений C _b для свободно опирающихся балок.

Если подходящее значение C _b не указано в таблицах, его можно получить по следующей формуле:

$${\displaystyle C_{b}={\frac {12.5M_{\max }}{2.5M_{\max }+3M_{A}+4M_{B}+3M_{C}}}}$$

где

• ${\displaystyle M_{\max }}$, абсолютное значение максимального момента в незакрепленном сегменте,
• ${\displaystyle M_{A}}$, абсолютное значение максимального момента в четверти точки незакрепленного сегмента,
• ${\displaystyle M_{B}}$, абсолютное значение максимального момента на средней линии незакрепленного сегмента,
• ${\displaystyle M_{C}}$, абсолютное значение максимального момента в точке три четверти незакрепленного сегмента,

Результат одинаков для всех систем единиц.

Пластиковый короб

Прочность элемента на продольный изгиб меньше, чем упругий предел прочности конструкции, если материал элемента подвергается напряжению за пределами диапазона упругого материала и в диапазоне нелинейного (пластического) поведения материала. Когда сжимающая нагрузка близка к потере устойчивости, конструкция будет значительно изгибаться, и поведение материала колонны будет отклоняться от линейного напряжения-деформации. Поведение материалов при растяжении и деформации не является строго линейным даже ниже предела текучести, следовательно, модуль упругости уменьшается по мере увеличения напряжения, и значительно, когда напряжения приближаются к пределу текучести материала. Эта уменьшенная жесткость материала снижает прочность конструкции на продольный изгиб и приводит к тому, что нагрузка на продольный изгиб становится меньше той, которая прогнозируется в предположении о линейном упругом поведении.

Более точное приближение потери устойчивости можно получить, используя вместо модуля упругости касательный модуль упругости E _t , который меньше модуля упругости. Тангенс равен модулю упругости, а затем уменьшается за пределы пропорционального предела. Касательный модуль представляет собой линию, проведенную по касательной к кривой растяжения при определенном значении деформации (на упругом участке кривой растяжения касательный модуль равен модулю упругости). Графики касательного модуля упругости для различных материалов доступны в стандартных справочниках.

Калечащий

Секции, состоящие из фланцевых пластин, таких как швеллер, все еще могут нести нагрузку в углах после того, как фланцы локально прогнуты. Повреждение – это выход из строя всего участка. ^[1]

Диагональное напряжение

Из-за тонкой обшивки, обычно используемой в аэрокосмической отрасли, обшивка может прогибаться при низких уровнях нагрузки. Однако после изгиба они не способны передавать сдвиговые усилия, а выдерживают нагрузки за счет напряжений диагонального растяжения (DT) в перемычке. Это приводит к нелинейному характеру несущей способности этих деталей. Отношение фактической нагрузки к нагрузке, при которой происходит коробление, известно как коэффициент коробления листа. ^[1] Высокие коэффициенты коробления могут привести к чрезмерному сморщиванию листов, которые затем могут выйти из строя из- за деформации складок. Хотя тонкие листы могут деформироваться, они не деформируются навсегда и не возвращаются в расстегнутое состояние при снятии приложенной нагрузки. Повторяющееся коробление может привести к усталостным разрушениям.

Листы, находящиеся под диагональным растяжением, поддерживаются ребрами жесткости, которые в результате коробления листа несут распределенную нагрузку по всей длине и, в свою очередь, могут привести к разрушению этих элементов конструкции при короблении.

Более толстые пластины могут лишь частично образовывать поле диагонального растяжения и могут продолжать нести часть нагрузки за счет сдвига. Это известно как неполное диагональное натяжение (IDT). Это поведение изучалось Вагнером, и эти лучи иногда называют лучами Вагнера. ^[1]

Диагональное натяжение также может привести к возникновению тянущей силы на любых крепежных элементах, таких как заклепки, которые используются для крепления полотна к опорным элементам. Крепежи и листы должны быть спроектированы так, чтобы их нельзя было стянуть с опор.

Динамическая потеря устойчивости

Если колонна внезапно нагружена, а затем нагрузка снята, колонна может выдержать гораздо более высокую нагрузку, чем ее статическая (медленно прикладываемая) потеря устойчивости. Это может произойти в длинной колонне без опоры, используемой в качестве падающего молота. Продолжительность сжатия на ударном конце — это время, необходимое волне напряжения для прохождения вдоль колонны к другому (свободному) концу и обратно вниз в виде волны облегчения. Максимальное выпучивание происходит вблизи ударного конца на длине волны, намного меньшей длины стержня, и при напряжении, во много раз превышающем напряжение выпучивания статически нагруженной колонны. Критическим условием того, чтобы амплитуда потери устойчивости оставалась менее чем в 25 раз превышающей эффективную непрямолинейность стержня на длине волны потери устойчивости, является

$${\displaystyle \sigma L=\rho c^{2}h}$$

где – ударное напряжение, – длина стержня, – скорость упругой волны, – меньший поперечный размер прямоугольного стержня. Поскольку длина волны пряжки зависит только от и , эта же формула справедлива для тонких цилиндрических оболочек толщиной . ^[7] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$

Теория

Энергетический метод

Часто очень сложно определить точную нагрузку потери устойчивости в сложных конструкциях с использованием формулы Эйлера из-за сложности определения константы K. Поэтому максимальная нагрузка потери устойчивости часто аппроксимируется с использованием закона сохранения энергии и в структурном анализе называется энергетическим методом. .

Первым шагом в этом методе является предположение о режиме смещения и функции, которая представляет это смещение. Эта функция должна удовлетворять наиболее важным граничным условиям, таким как смещение и вращение. Чем точнее функция смещения, тем точнее результат.

Метод предполагает, что система (колонна) является консервативной системой, в которой энергия не рассеивается в виде тепла, следовательно, энергия, добавляемая к колонне приложенными внешними силами, сохраняется в колонне в виде энергии деформации.

$${\displaystyle U_{\text{applied}}=U_{\text{strain}}}$$

В этом методе используются два уравнения (для малых деформаций) для аппроксимации энергии «деформации» (потенциальной энергии, запасенной в виде упругой деформации конструкции) и «приложенной» энергии (работы, совершаемой над системой внешними силами).

$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{\text{strain}}&={\frac {E}{2}}\int I(x)(w_{xx}(x))^{2}\,\mathrm {d} x\\U_{\text{applied}}&={\frac {P_{\text{crit}}}{2}}\int (w_{x}(x))^{2}\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$$

где – функция смещения и нижние индексы относятся к первой и второй производным смещения. ${\displaystyle w(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle xx}$

Модели с одной степенью свободы

Используя концепцию полной потенциальной энергии , можно идентифицировать четыре фундаментальные формы потери устойчивости, встречающиеся в структурных моделях с одной степенью свободы. Мы начинаем с выражения ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle V=U-P\Delta }$$

консервативная^[8] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Эти четыре формы упругого выпучивания представляют собой бифуркацию седло-узла или предельную точку ; сверхкритическая или стабильно -симметричная бифуркация; докритическая или неустойчиво-симметричная бифуркация ; и транскритическая или асимметричная бифуркация. Все эти примеры, кроме первого, представляют собой форму раздвоения вил . Простые модели для каждого из этих типов поведения потери устойчивости показаны на рисунках ниже вместе с соответствующими бифуркационными диаграммами.

Инженерные примеры

Велосипедные колеса

Обычное велосипедное колесо состоит из тонкого обода, который подвергается сильному сжимающему напряжению из-за (примерно нормального) натяжения внутрь большого количества спиц. Его можно рассматривать как нагруженную колонну, согнутую в круг. Если натяжение спиц превышает безопасный уровень или если на часть обода действует определенная боковая сила, колесо самопроизвольно принимает характерную форму седла (иногда называемую «тако» или «прингл » ), подобную трехмерному диску. Столбец Эйлера. Если это чисто упругая деформация, обод восстановит свою правильную плоскую форму, если уменьшить натяжение спиц или приложить боковую силу в противоположном направлении.

Дороги

Выпучивание — это вид разрушения материалов дорожного покрытия , в первую очередь бетона, поскольку асфальт более гибкий. Солнечное тепло поглощается поверхностью дороги, заставляя ее расширяться , заставляя соседние части прижиматься друг к другу. Если нагрузка достаточна, тротуар может подняться и треснуть без предупреждения. Пересечение искривленного участка может раздражать водителей автомобилей , что описывается как наезд на лежачий полицейский на высокой скорости.

Железнодорожные пути

Железнодорожные пути в Нидерландах пострадали от солнечного излома

Точно так же железнодорожные пути также расширяются при нагревании и могут выйти из строя из-за коробления — явления, называемого солнечным изломом . Рельсы чаще смещаются вбок, часто увлекая за собой нижележащие шпалы .

Эти аварии были признаны связанными с солнечным изломом ( более подробную информацию можно найти в Списке железнодорожных происшествий (2000–2009 гг.) ):

• 18 апреля 2002 г. сошел с рельсов автопоезд Amtrak на путях CSX недалеко от Кресент-Сити, Флорида .
• 29 июля 2002 г. компания Amtrak Capitol Limited сходила с рельсов на путях CSX , недалеко от Кенсингтона, штат Мэриленд .
• 8 июля 2010 г. крушение поезда CSX в Уокшоу, Северная Каролина .
• 6 июля 2012 г. Крушение поезда WMATA Metrorail возле станции Вест-Хяттсвилл , штат Мэриленд . ^[9]

Трубы и сосуды под давлением

Трубы и сосуды под давлением, подверженные внешнему избыточному давлению, вызванному, например, охлаждением пара внутри трубы и его конденсацией в воду с последующим значительным падением давления, могут привести к короблению из-за сжимающих окружных напряжений . Правила расчета необходимой толщины стенок или усиливающих колец приведены в различных нормах по трубопроводам и сосудам под давлением.

Супер- и гиперзвуковые авиакосмические аппараты

Аэротермический нагрев может привести к короблению поверхностных панелей на сверх- и гиперзвуковых аэрокосмических аппаратах, таких как высокоскоростные самолеты, ракеты и спускаемые аппараты. ^[10] Если коробление вызвано аэротермическими нагрузками, ситуация может еще больше усложниться из-за усиленной теплопередачи в областях, где конструкция деформируется в направлении поля потока. ^[11]

Смотрите также

• Критическая нагрузка Эйлера  - формула для количественной оценки потери устойчивости колонны при заданной нагрузке
• Геометрическая потеря устойчивости и потеря устойчивости материала  . Поглощение и передача нейтронов материалами ядерного реактора.
• Формула Перри-Робертсона
• Натяжение рельсов
• Усиление жесткости  - метод повышения жесткости и структурной целостности материалов или объектов.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Метод Вуда  - метод структурного анализа.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Выпучивание Ёсимуры  - образец выпучивания, используемый в машиностроении.

Рекомендации

1. Брюн, EF (1973). Анализ и проектирование конструкций летательных аппаратов . Индианаполис: Джейкобс.
2. Элишаков, И. Ли Ю.В. и Старнс, Дж. Х. младший, Неклассические проблемы теории упругой устойчивости, издательство Кембриджского университета, 2001, XVI + стр. 336; ISBN 0-521-78210-4 
3. Като, К. (1915). «Математическое исследование механических проблем линий электропередачи». Журнал Японского общества инженеров-механиков . 19:41 .
4. Ратцерсдорфер, Юлиус (1936). Die Knickfestigkeit von Stäben und Stabwerken [ Сопротивление изгибу элементов и рам ] (на немецком языке). Вайн, Австрия: Дж. Шпрингер. стр. 107–109. ISBN 978-3-662-24075-5.
5. Кокс, Стивен Дж.; К. Мейв Маккарти (1998). «Форма самой высокой колонны». SIAM Journal по математическому анализу . 29 (3): 547–554. дои : 10.1137/s0036141097314537.
6. Балсон, PS (1970). Теория плоских пластин . Чатто и Виндус, Лондон.
7. Линдберг, HE; Флоренция, Алабама (1987). Динамическое подавление импульсов . Издательство Мартинуса Нийхоффа . стр. 11–56, 297–298.
8. Томпсон, JMT; Хант, GW (1973). Общая теория упругой устойчивости . Лондон: Джон Уайли. ISBN 9780471859918.
9. Лусеро, Кэт (7 июля 2012 г.). «Смещение пути из-за жары - «вероятная причина» схода с рельсов зеленой линии» . DCист . Американское университетское радио. Архивировано из оригинала 04 февраля 2018 г. Проверено 21 января 2019 г.
10. Споттсвуд, С. Майкл; Бебернисс, Тимоти Дж.; Исон, Томас Г.; Перес, Рикардо А.; Донбар, Джеффри М.; Эрхардт, Дэвид А.; Райли, Закари Б. (март 2019 г.). «Исследование реакции тонкой гибкой панели на ударно-турбулентное взаимодействие пограничного слоя». Журнал звука и вибрации . 443 : 74–89. Бибкод : 2019JSV...443...74S. дои : 10.1016/j.jsv.2018.11.035 . S2CID  125479249.
11. Дауб, Деннис; Эссер, Буркард; Гюльхан, Али (апрель 2020 г.). «Эксперименты по взаимодействию высокотемпературной гиперзвуковой жидкости с конструкцией при пластической деформации». Журнал АИАА . 58 (4): 1423–1431. Бибкод : 2020AIAAJ..58.1423D. дои : 10.2514/1.J059150 .

дальнейшее чтение

• Тимошенко, ИП ; Гир, Дж. М. (1961). Теория упругой устойчивости (2-е изд.). МакГроу-Хилл.
• Ненезич, М. (2004). «Механика термопластической сплошной среды». Журнал аэрокосмических конструкций . 4 .
• Койтер, WT (1945). Устойчивость упругого равновесия (PDF) (кандидатская диссертация).
• Раджеш, Дакал; Маэкава, Коичи (2002). «Устойчивость арматуры и разрушение защитного бетона в железобетонных элементах». Журнал строительной техники . 128 (10): 1253–1262. дои : 10.1061/(ASCE) 0733-9445 (2002) 128: 10 (1253). hdl : 10092/4229 .
• Сеги, Виллиан Т. (2007). Steel Design (Четвертое изд.). США: Томсон. ISBN 978-0-495-24471-4.
• Брюн, Э.Ф. (1973). Анализ и проектирование конструкций летательных аппаратов . Индианаполис: Джейкобс.
• Элишаков, И. (2004). Разрешение загадки двадцатого века в области упругой устойчивости . Сингапур: World Scientific/Imperial College Press. ISBN 978-981-4583-53-4.

Внешние ссылки

• Полная теория и примеры экспериментальных результатов для длинных колонок доступны в виде 39-страничного PDF-документа по адресу http://lindberglce.com/tech/buklbook.htm.