Кососимметричная матрица

Форма матрицы

В математике , особенно в линейной алгебре , кососимметричная (или антисимметричная или антиметрическая ^[1] ) матрица — это квадратная матрица , транспонирование которой равно ее отрицательному значению. То есть оно удовлетворяет условию ^{[2] : с. 38}

${\displaystyle A{\text{ skew-symmetric}}\quad \iff \quad A^{\textsf {T}}=-A.}$

С точки зрения элементов матрицы, если обозначает элемент в -й строке и -м столбце, то условие кососимметричности эквивалентно ${\textstyle a_{ij}}$ ${\textstyle i}$ ${\textstyle j}$

${\displaystyle A{\text{ skew-symmetric}}\quad \iff \quad a_{ji}=-a_{ij}.}$

Пример

Матрица

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&2&-45\\-2&0&-4\\45&4&0\end{bmatrix}}}$

является кососимметричным, поскольку

${\displaystyle -A={\begin{bmatrix}0&-2&45\\2&0&4\\-45&-4&0\end{bmatrix}}=A^{\textsf {T}}.}$

Характеристики

Всюду мы предполагаем, что все элементы матрицы принадлежат полю , характеристика которого не равна 2. То есть мы предполагаем, что 1 + 1 ≠ 0 , где 1 обозначает мультипликативное тождество, а 0 — аддитивное тождество данного поля. Если характеристика поля равна 2, то кососимметричная матрица — это то же самое, что и симметричная матрица . ${\textstyle \mathbb {F} }$

• Сумма двух кососимметричных матриц кососимметрична.
• Скаляр, кратный кососимметричной матрице, является кососимметричным.
• Элементы на диагонали кососимметричной матрицы равны нулю, следовательно, ее след равен нулю.
• Если действительная кососимметричная матрица и действительное собственное значение , то , т.е. ненулевые собственные значения кососимметричной матрицы недействительны. ${\textstyle A}$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \lambda =0}$
• Если – действительная кососимметричная матрица, то обратима , где – единичная матрица. ${\textstyle A}$ ${\textstyle I+A}$ ${\textstyle I}$
• Если – кососимметричная матрица, то – симметричная отрицательная полуопределенная матрица . ${\textstyle A}$ ${\textstyle A^{2}}$

Структура векторного пространства

В результате первых двух свойств, приведенных выше, набор всех кососимметричных матриц фиксированного размера образует векторное пространство . Пространство кососимметричных матриц имеет размерность ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1).}$

Обозначим пространство матриц. Кососимметричная матрица определяется скалярами (количеством элементов над главной диагональю ); симметричная матрица определяется скалярами (количеством элементов на главной диагонали или выше нее). Обозначим через пространство кососимметричных матриц и обозначим пространство симметричных матриц. Если тогда ${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1)}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$ ${\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle {\mbox{Sym}}_{n}}$ ${\textstyle n\times n}$ ${\textstyle A\in {\mbox{Mat}}_{n}}$

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(A+A^{\mathsf {T}}\right).}$$

Обратите внимание, что и Это верно для каждой квадратной матрицы с элементами из любого поля , характеристика которого отличается от 2. Тогда, поскольку и ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A-A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A+A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}.}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}+{\mbox{Sym}}_{n}}$ ${\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}\cap {\mbox{Sym}}_{n}=\{0\},}$

$${\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}\oplus {\mbox{Sym}}_{n},}$$

прямую сумму ${\displaystyle \oplus }$

Обозначим через стандартное скалярное произведение на . Действительная матрица кососимметрична тогда и только тогда, когда ${\textstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\textstyle A}$

$${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =-\langle x,Ay\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$$

Это также эквивалентно for all (один из выводов очевиден, другой — простое следствие for all и ). ${\textstyle \langle x,Ax\rangle =0}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle \langle x+y,A(x+y)\rangle =0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Поскольку это определение не зависит от выбора базиса , кососимметрия — это свойство, которое зависит только от линейного оператора и выбора скалярного произведения . ${\displaystyle A}$

${\displaystyle 3\times 3}$Кососимметричные матрицы можно использовать для представления перекрестных произведений в виде умножения матриц.

Кроме того, если – кососимметричная (или косоэрмитова ) матрица, то для всех . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x^{T}Ax=0}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$

Определитель

Пусть – кососимметричная матрица . Определитель удовлетворяет _ _ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(-A)=(-1)^{n}\det(A).}$

В частности, если нечетно и поскольку основное поле не имеет характеристики 2, определитель обращается в нуль. Следовательно, все кососимметричные матрицы нечетной размерности являются сингулярными, поскольку их определители всегда равны нулю. Этот результат называется теоремой Якоби в честь Карла Густава Якоби (Eves, 1980). ${\displaystyle n}$

Четномерный случай более интересен. Оказывается, что определитель для четного можно записать как квадрат многочлена от элементов , что впервые было доказано Кэли: ^[3] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det(A)=\operatorname {Pf} (A)^{2}.}$

Этот многочлен называется пфаффианом и обозначается . Таким образом, определитель вещественной кососимметричной матрицы всегда неотрицательен. Однако этот последний факт элементарно можно доказать следующим образом: собственные значения вещественной кососимметричной матрицы чисто мнимые (см. ниже) и каждому собственному значению соответствует сопряженное собственное значение той же кратности; следовательно, поскольку определитель является произведением собственных значений, каждое из которых повторяется в соответствии со своей кратностью, из этого сразу следует, что определитель, если он не равен 0, является положительным действительным числом. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)}$

Число различных членов в разложении определителя кососимметричной матрицы порядка уже рассматривалось Кэли, Сильвестром и Пфаффом. Из-за сокращений это число весьма мало по сравнению с числом членов общей матрицы порядка , которая равна . Последовательность (последовательность A002370 в OEIS ) ${\displaystyle s(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle s(n)}$

1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0, …

и это закодировано в экспоненциальной производящей функции

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {s(n)}{n!}}x^{n}=\left(1-x^{2}\right)^{-{\frac {1}{4}}}\exp \left({\frac {x^{2}}{4}}\right).}$

Последнее уступает асимптотике (при четном) ${\displaystyle n}$

${\displaystyle s(n)=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}2^{\frac {3}{4}}\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)\left({\frac {n}{e}}\right)^{n-{\frac {1}{4}}}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).}$

Количество положительных и отрицательных членов составляет примерно половину от общего количества, хотя их разница по мере увеличения принимает все большие положительные и отрицательные значения (последовательность A167029 в OEIS ). ${\displaystyle n}$

Перекрестное произведение

Кососимметричные матрицы размером три на три можно использовать для представления векторных произведений в виде умножения матриц. Рассмотрим векторы и Затем, определив матрицу ${\textstyle \mathbf {a} =\left(a_{1}\ a_{2}\ a_{3}\right)^{\textsf {T}}}$ ${\textstyle \mathbf {b} =\left(b_{1}\ b_{2}\ b_{3}\right)^{\textsf {T}}.}$

${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}},}$

векторное произведение можно записать как

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} .}$

В этом можно сразу убедиться, вычислив обе части предыдущего уравнения и сравнив каждый соответствующий элемент результатов.

На самом деле у одного есть

${\displaystyle [\mathbf {a\times b} ]_{\times }=[\mathbf {a} ]_{\times }[\mathbf {b} ]_{\times }-[\mathbf {b} ]_{\times }[\mathbf {a} ]_{\times };}$

т.е. коммутатор кососимметричных матриц размером три на три можно отождествить с векторным произведением трехвекторов. Поскольку кососимметричные матрицы размером три на три являются алгеброй Ли группы вращений, это проясняет связь между трехмерным пространством , векторным произведением и трехмерными вращениями. Более подробную информацию о бесконечно малых вращениях можно найти ниже. ${\textstyle SO(3)}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$

Спектральная теория

Поскольку матрица аналогична своей собственной транспонированной, они должны иметь одинаковые собственные значения. Отсюда следует, что собственные значения кососимметричной матрицы всегда входят в пары ± λ (за исключением нечетномерного случая, когда имеется дополнительное неспарное собственное значение 0). Согласно спектральной теореме для вещественной кососимметричной матрицы все ненулевые собственные значения являются чисто мнимыми и, следовательно, имеют форму , в которой каждое из них действительно. ${\displaystyle \lambda _{1}i,-\lambda _{1}i,\lambda _{2}i,-\lambda _{2}i,\ldots }$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$

Реальные кососимметричные матрицы являются нормальными матрицами (они коммутируют со своими сопряженными ) и, таким образом, подчиняются спектральной теореме , которая утверждает, что любая действительная кососимметричная матрица может быть диагонализирована унитарной матрицей . Поскольку собственные значения вещественной кососимметричной матрицы мнимые, диагонализировать их с помощью действительной матрицы невозможно. Однако любую кососимметричную матрицу можно привести к блочно-диагональной форме специальным ортогональным преобразованием . ^{[4] [5]} В частности, любую действительную кососимметричную матрицу можно записать в виде где – ортогональна и ${\displaystyle 2n\times 2n}$ ${\displaystyle A=Q\Sigma Q^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

для действительного положительно-определенного . Ненулевые собственные значения этой матрицы равны ±λ _k i . В нечетномерном случае Σ всегда имеет хотя бы одну строку и столбец нулей. ${\displaystyle \lambda _{k}}$

В более общем смысле, каждая комплексная кососимметричная матрица может быть записана в форме где является унитарной и имеет приведенную выше блочно-диагональную форму, но при этом остается действительной положительно определенной. Это пример разложения Юлы комплексной квадратной матрицы. ^[6] ${\displaystyle A=U\Sigma U^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$

Кососимметричные и чередующиеся формы

Кососимметричной формой в векторном пространстве над полем произвольной характеристики называется билинейная форма ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \varphi :V\times V\mapsto K}$

такой, что для всех в ${\displaystyle v,w}$ ${\displaystyle V,}$

${\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v).}$

Это определяет форму с желаемыми свойствами для векторных пространств над полями с характеристикой, отличной от 2, но в векторном пространстве над полем с характеристикой 2 это определение эквивалентно определению симметричной формы, поскольку каждый элемент является собственным аддитивным обратным. .

Если векторное пространство находится над полем произвольной характеристики, включая характеристику 2, мы можем определить знакопеременную форму как билинейную форму, такую, что для всех векторов в ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \varphi (v,v)=0.}$

Это эквивалентно кососимметричной форме, когда поле не имеет характеристики 2, как видно из

${\displaystyle 0=\varphi (v+w,v+w)=\varphi (v,v)+\varphi (v,w)+\varphi (w,v)+\varphi (w,w)=\varphi (v,w)+\varphi (w,v),}$

откуда

${\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v).}$

Билинейная форма будет представлена ​​матрицей такой , что при выборе базиса и, наоборот, матрица on порождает форму, отправляющую на Для каждой из симметричных, кососимметричных и чередующихся форм представляющие матрицы являются симметричными, косыми -симметричные и чередующиеся соответственно. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi (v,w)=v^{\textsf {T}}Aw}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle (v,w)}$ ${\displaystyle v^{\textsf {T}}Aw.}$

Бесконечно малые вращения

Кососимметричные матрицы над полем действительных чисел образуют касательное пространство к вещественной ортогональной группе в единичной матрице; формально — специальная ортогональная алгебра Ли . В этом смысле кососимметричные матрицы можно рассматривать как бесконечно малые вращения . ${\displaystyle O(n)}$

Другой способ сказать это состоит в том, что пространство кососимметричных матриц образует алгебру Ли группы Ли. Скобка Ли в этом пространстве задается коммутатором : ${\displaystyle o(n)}$ ${\displaystyle O(n).}$

${\displaystyle [A,B]=AB-BA.\,}$

Легко проверить, что коммутатор двух кососимметричных матриц снова кососимметричен:

${\displaystyle {\begin{aligned}{[}A,B{]}^{\textsf {T}}&=B^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}-A^{\textsf {T}}B^{\textsf {T}}\\&=(-B)(-A)-(-A)(-B)=BA-AB=-[A,B]\,.\end{aligned}}}$

Тогда матричная экспонента кососимметричной матрицы является ортогональной матрицей : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}.}$

Образ экспоненциального отображения алгебры Ли всегда лежит в компоненте связности группы Ли, содержащей единицу. В случае группы Ли этот компонент связности представляет собой специальную ортогональную группу , состоящую из всех ортогональных матриц с определителем 1. Поэтому определитель будет иметь +1. Более того, поскольку экспоненциальное отображение связной компактной группы Ли всегда сюръективно, оказывается, что любую ортогональную матрицу с единичным определителем можно записать как экспоненту некоторой кососимметрической матрицы. В особо важном случае размерности экспоненциальное представление ортогональной матрицы сводится к хорошо известной полярной форме комплексного числа единичного модуля. Действительно, если специальная ортогональная матрица имеет вид ${\displaystyle O(n),}$ ${\displaystyle SO(n),}$ ${\displaystyle R=\exp(A)}$ ${\displaystyle n=2,}$ ${\displaystyle n=2,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&-b\\b&\,a\end{bmatrix}},}$

с . Поэтому, положив и можно записать ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$ ${\displaystyle a=\cos \theta }$ ${\displaystyle b=\sin \theta ,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\,\cos \,\theta \end{bmatrix}}=\exp \left(i\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&\,0\end{bmatrix}}\right),}$

что в точности соответствует полярной форме комплексного числа единичного модуля. ${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}$

Экспоненциальное представление ортогональной матрицы порядка также можно получить, исходя из того, что в размерности любую специальную ортогональную матрицу можно записать как где ортогонально, а S - блочная диагональная матрица с блоками порядка 2 плюс один порядка 1, если является странным; поскольку каждый отдельный блок порядка 2 также является ортогональной матрицей, он допускает экспоненциальную форму. Соответственно, матрица  S записывается как экспонента кососимметричной блочной матрицы приведенной выше формы, так что экспонента кососимметричной матрицы . И наоборот, сюръективность экспоненциального отображения вместе с вышеупомянутой блочной диагонализацией для косо- симметричных матриц, подразумевает блочную диагонализацию ортогональных матриц. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R=QSQ^{\textsf {T}},}$ ${\displaystyle Q}$ ${\textstyle \lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle S=\exp(\Sigma ),}$ ${\displaystyle R=Q\exp(\Sigma )Q^{\textsf {T}}=\exp(Q\Sigma Q^{\textsf {T}}),}$ ${\displaystyle Q\Sigma Q^{\textsf {T}}.}$

без координат

Более внутренне (т. е. без использования координат) кососимметричные линейные преобразования в векторном пространстве со скалярным произведением могут быть определены как бивекторы в пространстве, которые являются суммами простых бивекторов ( 2-лопасти ) . Соответствие определяется выражением отобразить где – ковектор, двойственный вектору ; в ортонормированных координатах это в точности элементарные кососимметричные матрицы. Эта характеристика используется при интерпретации ротора векторного поля (естественно, 2-вектора) как бесконечно малого вращения или «завитка», отсюда и название. ${\displaystyle V}$ ${\textstyle v\wedge w.}$ ${\textstyle v\wedge w\mapsto v^{*}\otimes w-w^{*}\otimes v,}$ ${\textstyle v^{*}}$ ${\textstyle v}$

Кососимметризуемая матрица

Матрица называется кососимметризуемой, если существует обратимая диагональная матрица, такая что кососимметричная. Для реальных матриц иногда добавляется условие наличия положительных элементов. ^[7] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle DA}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle D}$

Смотрите также

• Преобразование Кэли
• Симметричная матрица
• Косо-эрмитова матрица
• Симплектическая матрица
• Симметрия в математике

Рекомендации

1. Ричард А. Реймент; К.Г. Йорескуг ; Лесли Ф. Маркус (1996). Прикладной факторный анализ в естественных науках . Издательство Кембриджского университета. п. 68. ИСБН 0-521-57556-7.
2. Липшуц, Сеймур; Липсон, Марк (сентябрь 2005 г.). Очерк теории и проблем линейной алгебры Шаума . МакГроу-Хилл. ISBN 9780070605022.
3. Кэли, Артур (1847). «Sur les determinants gauches» [О перекосе определителей]. Журнал Крелля . 38 : 93–96.Перепечатано в Cayley, A. (2009). «Сюр-ле-детерминант гош». Сборник математических статей . Том. 1. С. 410–413. дои : 10.1017/CBO9780511703676.070. ISBN 978-0-511-70367-6.
4. Воронов, Теодор. Пфаффиан , в: Краткая энциклопедия суперсимметрии и некоммутативных структур в математике и физике, под ред. С. Дуплидж, В. Сигел, Дж. Баггер (Берлин, Нью-Йорк: Springer 2005), с. 298.
5. Зумино, Бруно (1962). «Нормальные формы комплексных матриц». Журнал математической физики . 3 (5): 1055–1057. Бибкод : 1962JMP.....3.1055Z. дои : 10.1063/1.1724294.
6. Юла, округ Колумбия (1961). «Нормальная форма матрицы под унитарной конгруэнтной группой». Может. Дж. Математика . 13 : 694–704. дои : 10.4153/CJM-1961-059-8 .
7. Фомин, Сергей; Зелевинский, Андрей (2001). «Кластерные алгебры I: Основы». arXiv : math/0104151v1 .

дальнейшее чтение

• Ивс, Ховард (1980). Элементарная теория матриц . Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-63946-8.
• Супруненко, Д.А. (2001) [1994], «Кососимметричная матрица», Энциклопедия Математики , EMS Press
• Эйткен, AC (1944). «О количестве различных членов в разложении симметричных и косых определителей». Эдинбургская математика. Примечания . 34 : 1–5. дои : 10.1017/S0950184300000070 .

Внешние ссылки

• «Антисимметричная матрица». Вольфрам Математический мир .
• Беннер, Питер; Кресснер, Дэниел. «HAPACK - Программное обеспечение для решения (косых) гамильтоновых задач на собственные значения».
• Уорд, Колорадо; Грей, ЖЖ (1978). «Алгоритм 530: алгоритм вычисления собственной системы кососимметричных матриц и класса симметричных матриц [F2]». Транзакции ACM в математическом программном обеспечении . 4 (3): 286. дои : 10.1145/355791.355799 . S2CID  8575785.Фортран Фортран90