Множественность (математика)

Количество раз, которое необходимо посчитать объект, чтобы общая формула стала верной

В математике кратность члена мультимножества — это количество раз, которое он появляется в мультимножестве. Например, количество раз, когда заданный многочлен имеет корень в заданной точке, — это кратность этого корня.

Понятие кратности важно для того, чтобы иметь возможность правильно считать, не указывая исключений (например, двойные корни считаются дважды). Отсюда и выражение «считается с кратностью».

Если кратность игнорируется, это можно подчеркнуть, подсчитав количество отдельных элементов, например, «количество отдельных корней». Однако всякий раз, когда формируется множество (в отличие от мультимножества), кратность автоматически игнорируется, без необходимости использования термина «отдельный».

Кратность простого множителя

В разложении на простые множители кратность простого множителя является его -адической оценкой . Например, разложение на простые множители целого числа 60 имеет вид ${\displaystyle p}$

60 = 2 × 2 × 3 × 5,

кратность простого множителя 2 равна 2 , тогда как кратность каждого из простых множителей 3 и 5 равна 1. Таким образом, 60 имеет четыре простых множителя, допускающих кратности, но только три различных простых множителя.

Кратность корня многочлена

Пусть будет полем и будет многочленом от одной переменной с коэффициентами в . Элемент является корнем кратности , если существует многочлен такой, что и . Если , то называется простым корнем . Если , то называется кратным корнем . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a\in F}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s(a)\neq 0}$ ${\displaystyle p(x)=(x-a)^{k}s(x)}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle a}$

Например, многочлен имеет корни 1 и −4 и может быть записан как . Это означает, что 1 является корнем кратности 2, а −4 является простым корнем (кратности 1). Кратность корня — это число вхождений этого корня в полную факторизацию многочлена, с помощью основной теоремы алгебры . ${\displaystyle p(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4}$ ${\displaystyle p(x)=(x+4)(x-1)^{2}}$

Если — корень кратности многочлена, то он является корнем кратности производной этого многочлена, если только характеристика базового поля не является делителем k , в этом случае — корень кратности по крайней мере производной. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k}$

Дискриминант многочлена равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень .

Поведение полиномиальной функции вблизи кратного корня

График x ³  + 2 x ²  − 7 x  + 4 с простым корнем (кратность 1) при x=−4 и корнем кратности 2 при x=1. График пересекает ось x в простом корне. Он касается оси x в кратном корне и не пересекает ее, так как кратность четная.

График полиномиальной функции f касается оси x в действительных корнях полинома. График касается ее в кратных корнях f и не касается в простых корнях. График пересекает ось x в корнях нечетной кратности и не пересекает ее в корнях четной кратности.

Ненулевая полиномиальная функция всюду неотрицательна тогда и только тогда, когда все ее корни имеют четную кратность и существует такое, что . ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x_{0})>0}$

Кратность решения нелинейной системы уравнений

Для уравнения с решением с одной переменной кратность равна, если ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(x_{*})=f'(x_{*})=\cdots =f^{(k-1)}(x_{*})=0}$и ${\displaystyle f^{(k)}(x_{*})\neq 0.}$

Другими словами, дифференциальный функционал , определяемый как производная функции при , исчезает при для значений вплоть до . Эти дифференциальные функционалы охватывают векторное пространство, называемое двойственным пространством Маколея при , ^[1] и его размерность равна кратности как нулю . ${\displaystyle \partial _{j}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{j!}}{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle \partial _{0},\partial _{1},\cdots ,\partial _{k-1}}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle f}$

Пусть будет системой уравнений переменных с решением , где есть отображение из в или из в . Существует также двойственное пространство Маколея дифференциальных функционалов при , в котором каждый функционал обращается в нуль при . Размерность этого двойственного пространства Маколея — это кратность решения уравнения . Двойственное пространство Маколея образует структуру кратности системы в решении. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle R^{m}}$ ${\displaystyle C^{n}}$ ${\displaystyle C^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

Например, решение системы уравнений в виде с ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\left[{\begin{array}{c}\sin(x_{1})-x_{2}+x_{1}^{2}\\x_{1}-\sin(x_{2})+x_{2}^{2}\end{array}}\right]}$

имеет кратность 3, поскольку двойственное пространство Маколея

${\displaystyle \operatorname {span} \{\partial _{00},\partial _{10}+\partial _{01},-\partial _{10}+\partial _{20}+\partial _{11}+\partial _{02}\}}$

имеет размерность 3, где обозначает дифференциальный функционал, примененный к функции в точке . ${\displaystyle \partial _{ij}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{i!j!}}{\frac {\partial ^{i+j}}{\partial x_{1}^{i}\,\partial x_{2}^{j}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$

Кратность всегда конечна, если решение изолировано, инвариантна относительно возмущений в том смысле, что -кратное решение становится кластером решений с объединенной кратностью при возмущении в комплексных пространствах и идентична кратности пересечения в полиномиальных системах. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Кратность пересечения

В алгебраической геометрии пересечение двух подмногообразий алгебраического многообразия является конечным объединением неприводимых многообразий . Каждому компоненту такого пересечения приписывается кратность пересечения . Это понятие локально в том смысле, что его можно определить, посмотрев на то, что происходит в окрестности любой общей точки этого компонента. Отсюда следует, что без потери общности мы можем рассмотреть, чтобы определить кратность пересечения, пересечение двух аффинных многообразий (подмногообразий аффинного пространства).

Таким образом, для двух аффинных многообразий V ₁ и V ₂ рассмотрим неприводимую компоненту W пересечения V ₁ и V ₂ . Пусть d — размерность W , а P — любая общая точка W . Пересечение W с d гиперплоскостями в общем положении, проходящими через P , имеет неприводимую компоненту, которая сводится к единственной точке P . Следовательно, локальное кольцо в этой компоненте координатного кольца пересечения имеет только один простой идеал , и, следовательно, является артиновым кольцом . Таким образом, это кольцо является конечномерным векторным пространством над основным полем. Его размерность — это кратность пересечения V ₁ и V ₂ в W .

Это определение позволяет нам точно сформулировать теорему Безу и ее обобщения.

Это определение обобщает кратность корня многочлена следующим образом. Корни многочлена f — это точки на аффинной прямой , которые являются компонентами алгебраического множества, определяемого многочленом. Координатное кольцо этого аффинного множества равно , где K — алгебраически замкнутое поле, содержащее коэффициенты f . Если — факторизация f , то локальное кольцо R в простом идеале равно Это векторное пространство над K , имеющее кратность корня в качестве размерности. ${\displaystyle R=K[X]/\langle f\rangle ,}$ ${\displaystyle f(X)=\prod _{i=1}^{k}(X-\alpha _{i})^{m_{i}}}$ ${\displaystyle \langle X-\alpha _{i}\rangle }$ ${\displaystyle K[X]/\langle (X-\alpha )^{m_{i}}\rangle .}$ ${\displaystyle m_{i}}$

Это определение кратности пересечения, которое по сути принадлежит Жану-Пьеру Серру в его книге Локальная алгебра , работает только для теоретико-множественных компонентов (также называемых изолированными компонентами ) пересечения, а не для вложенных компонентов . Были разработаны теории для обработки вложенного случая (см. Теорию пересечений для получения подробной информации).

В комплексном анализе

Пусть z ₀ будет корнем голоморфной функции f , и пусть n будет наименьшим положительным целым числом, таким, что n - ^я производная f , вычисленная в z _{0 ,} отлична от нуля. Тогда степенной ряд f относительно z ₀ начинается с n ^-го члена, и говорят, что f имеет корень кратности (или «порядка»)  n . Если n  = 1, корень называется простым корнем. ^[4]

Мы также можем определить кратность нулей и полюсов мероморфной функции . Если у нас есть мероморфная функция , берем разложения Тейлора функций g и h относительно точки z ₀ , и находим первый ненулевой член в каждом (обозначим порядок членов m и n соответственно) тогда если m  =  n , то точка имеет ненулевое значение. Если то точка является нулем кратности Если , то точка имеет полюс кратности ${\textstyle f={\frac {g}{h}},}$ ${\displaystyle m>n,}$ ${\displaystyle m-n.}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle n-m.}$

Ссылки

1. DJ Bates, AJ Sommese, JD Hauenstein и CW Wampler (2013). Численное решение полиномиальных систем с помощью Bertini . SIAM. стр. 186–187.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. BH Dayton, T.-Y. Li и Z. Zeng (2011). «Множественные нули нелинейных систем». Mathematics of Computation . 80 (276): 2143–2168. arXiv : 2103.05738 . doi :10.1090/s0025-5718-2011-02462-2. S2CID  9867417.
3. Маколей, Ф. С. (1916). Алгебраическая теория модульных систем . Cambridge Univ. Press 1994, перепечатка оригинала 1916 года.
4. (Кранц 1999, стр. 70)

• Кранц, С. Г. Справочник по комплексным переменным . Бостон, Массачусетс: Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-4011-8 .