Угол

Фигура, образованная двумя лучами, встречающимися в общей точке.

Зеленый угол, образованный двумя красными лучами в декартовой системе координат.

В евклидовой геометрии угол — это фигура, образованная двумя лучами , называемыми сторонами угла, имеющими общую конечную точку, называемую вершиной угла. ^[1] Углы, образованные двумя лучами, также называются плоскими, поскольку они лежат в плоскости , содержащей лучи. Углы также образуются при пересечении двух плоскостей; они называются двугранными углами . Две пересекающиеся кривые также могут определять угол, который представляет собой угол лучей, лежащих по касательной к соответствующим кривым в точке их пересечения.

Величина угла называется угловой мерой или просто «углом» . Угол поворота — это мера , традиционно определяемая как отношение длины дуги окружности к ее радиусу , и может быть отрицательным числом . В случае геометрического угла дуга центрируется в вершине и ограничивается сторонами. В случае вращения дуга центрируется в центре вращения и ограничивается любой другой точкой и ее изображением при вращении.

История и этимология

Слово угол происходит от латинского слова angulus , что означает «угол». Родственные слова включают греческое ἀγκύλος ( ankylos ), означающее «кривой, изогнутый», и английское слово « лодыжка ». Оба связаны с протоиндоевропейским корнем *ank- , означающим «сгибаться» или «поклоняться». ^[2]

Евклид определяет плоский угол как наклон друг к другу в плоскости двух прямых, которые встречаются друг с другом и не лежат прямо по отношению друг к другу. По мнению метафизика-неоплатоника Прокла , угол должен быть либо качеством, либо количеством, либо отношением. Первое понятие, угол как качество, использовал Евдем Родосский , который рассматривал угол как отклонение от прямой линии ; второй, угол как качество, Карп Антиохийский , который рассматривал его как интервал или пространство между пересекающимися линиями; Евклид принял третье: угол как отношение. ^[3]

Определение углов

В математических выражениях принято использовать греческие буквы ( α , β , γ , θ , φ ,...) в качестве переменных , обозначающих величину некоторого угла ^[4] (символ π для этой цели обычно не используется во избежание путаница с константой, обозначенной этим символом ). Также используются строчные латинские буквы ( a ,  b ,  c ,...). В тех случаях, когда это не сбивает с толку, угол может обозначаться заглавной римской буквой, обозначающей его вершину. Примеры см. на рисунках в этой статье.

Три определяющие точки могут также определять углы в геометрических фигурах. Например, угол с вершиной А, образованный лучами AB и AC (то есть полупрямыми, проходящими от точки A через точки B и C), обозначается ∠BAC или . Если нет риска путаницы, угол иногда может обозначаться только одной вершиной (в данном случае «угол А»). ${\displaystyle {\widehat {\rm {BAC}}}}$

Другими словами, угол, обозначаемый, скажем, как ∠BAC, может относиться к любому из четырех углов: угол по часовой стрелке от B до C вокруг A, угол против часовой стрелки от B до C вокруг A, угол по часовой стрелке от C до B вокруг A , или угол против часовой стрелки от C до B вокруг A, где направление измерения угла определяет его знак (см. § Углы со знаком ). Однако во многих геометрических ситуациях из контекста очевидно, что имеется в виду положительный угол, меньший или равный 180 градусам, и в этих случаях не возникает никакой двусмысленности. В противном случае, чтобы избежать двусмысленности, могут быть приняты специальные соглашения, так что, например, ∠BAC всегда относится к углу против часовой стрелки (положительный) от B к C вокруг A, а ∠CAB - к углу против часовой стрелки (положительный) от C к B вокруг A.

Типы

Индивидуальные углы

Существует некоторая общая терминология для углов, мера которых всегда неотрицательна (см. § Углы со знаком ):

• Угол, равный 0° или не повернутый, называется нулевым углом. ^[5]
• Угол, меньший прямого угла (менее 90°), называется острым углом ^[6] («острый» означает « острый »).
• Угол, равный ⁠1/4⁠  поворот (90° или ⁠π/2⁠ радиан) называется прямым углом . Две прямые, образующие прямой угол, называются нормальными , ортогональными или перпендикулярными . ^[7]
• Угол, больший прямого угла и меньший прямого угла (между 90° и 180°), называется тупым углом ^[6] («тупой» означает «тупой»).
• Угол, равный ⁠1/2⁠  поворот (180° или π радиан) называется прямым углом . ^[5]
• Угол, больший прямого угла, но менее 1 оборота (между 180° и 360°), называется рефлекторным углом .
• Угол, равный 1 обороту (360° или 2 π радиан), называется полным углом , полным углом , круглым углом или перигоном .
• Угол, не кратный прямому углу, называется косым .

Названия, интервалы и единицы измерения показаны в таблице ниже:

Вертикальные и.mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#0f4dc9}@media(prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#0f4dc9}}соседнийпары углов

Углы А и В — пары вертикальных углов; углы C и D являются парой вертикальных углов. Здесь используются штриховки, чтобы показать равенство углов.

При пересечении двух прямых в одной точке образуются четыре угла. Попарно эти углы называются в соответствии с их расположением относительно друг друга.

• Пара противоположных друг другу углов, образованная двумя пересекающимися прямыми линиями, образующими Х-образную форму, называется вертикальными углами , или противоположными углами, или вертикально противоположными углами . Они сокращенно обозначаются как верт. опп. ∠с . ^[8]

  Равенство вертикально противоположных углов называется теоремой о вертикальном угле . Евдем Родосский приписал доказательство Фалесу Милетскому . ^{[9] [10]} Предложение показало, что, поскольку оба вертикальных угла являются дополнительными к обоим соседним углам, вертикальные углы равны по мере. Согласно исторической заметке, ^[10] когда Фалес посетил Египет, он заметил, что всякий раз, когда египтяне рисовали две пересекающиеся линии, они измеряли вертикальные углы, чтобы убедиться, что они равны. Фалес пришел к выводу, что можно доказать, что все вертикальные углы равны, если принять некоторые общие понятия, такие как:

  • Все прямые углы равны.
  • Равные, добавленные к равным, равны.
  • Равные, вычтенные из равных, равны.

  Когда два смежных угла образуют прямую, они являются дополнительными. Следовательно, если мы предположим, что величина угла A равна x , то величина угла C будет равна 180° − x . Точно так же величина угла D будет равна 180° − x . И угол C , и угол D имеют размеры, равные 180 ° - x , и равны. Поскольку угол B является дополнительным к обоим углам C и D , любая из этих угловых мер может использоваться для определения меры угла B. Используя меру угла C или угла D , мы находим, что мера угла B равна 180° - (180° - x ) = 180° - 180° + x = x . Следовательно, и угол А , и угол В имеют меры, равные х , и равны по мере.

  

  Углы А и В смежные.

• Смежные углы , часто сокращаемые как прил. ∠s — это углы, имеющие общую вершину и ребро, но не имеющие общих внутренних точек. Другими словами, это углы, расположенные рядом или примыкающие друг к другу, имеющие общее «плечо». Смежные углы, которые в сумме образуют прямой угол, прямой угол или полный угол, являются особыми и называются соответственно дополнительными , дополнительными и дополнительными углами (см. § Объединение пар углов ниже).

Трансверсаль — это линия , которая пересекает пару (часто параллельных) линий и связана с внешними углами , внутренними углами , альтернативными внешними углами , альтернативными внутренними углами , соответствующими углами и последовательными внутренними углами . ^[11]

Объединение пар углов

Постулат сложения углов гласит, что если B находится внутри угла AOC, то

$${\displaystyle m\angle \mathrm {AOC} =m\angle \mathrm {AOB} +m\angle \mathrm {BOC} }$$

То есть мера угла АОС есть сумма меры угла АОВ и меры угла ВОС.

Три специальные пары углов включают суммирование углов:

Дополнительные углы a и b ( b — дополнение к a , а a — дополнение к b ).

• Дополнительные углы - это пары углов, сумма мер которых равна одному прямому углу ( ⁠1/4⁠ поворот, 90° или ⁠π/2⁠ радианы). ^[12] Если два дополнительных угла смежны, их необщие стороны образуют прямой угол. В евклидовой геометрии два острых угла прямоугольного треугольника дополняют друг друга, поскольку сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов, а прямой угол составляет 90 градусов.

  Прилагательное комплементарное происходит от латинского комплементума , связанного с глаголом complere , «наполнять». Острый угол «заполняется» своим дополнением, образуя прямой угол.

  Разность между углом и прямым углом называется дополнением угла. ^[13]

  Если углы A и B дополнительны, выполняются следующие соотношения: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin ^{2}A+\sin ^{2}B=1&&\cos ^{2}A+\cos ^{2}B=1\\[3pt]&\tan A=\cot B&&\sec A=\csc B\end{aligned}}}$$

  ( Тангенс угла равен котангенсу его дополнения, а его секанс равен косекансу его дополнения.)

  Приставка « со- » в названиях некоторых тригонометрических отношений относится к слову «дополнительные».

  

  Углы a и b являются дополнительными углами.

• Два угла, сумма которых образует прямой угол ( ⁠1/2⁠ поворот, 180°, или π радиан) называются дополнительными углами . ^[14]

  Если два дополнительных угла смежны (т. е. имеют общую вершину и имеют только одну сторону), их необщие стороны образуют прямую линию . Такие углы называются линейной парой углов . ^[15] Однако дополнительные углы не обязательно должны находиться на одной линии и могут быть разделены в пространстве. Например, смежные углы параллелограмма являются дополнительными, а противоположные углы вписанного четырехугольника (все вершины которого лежат на одной окружности) являются дополнительными.

  Если точка P является внешней по отношению к окружности с центром O, и если касательные линии, проходящие из P, касаются окружности в точках T и Q, то ∠TPQ и ∠TOQ являются дополнительными.

  Синусы дополнительных углов равны. Их косинусы и тангенсы (если они не определены) равны по величине, но имеют противоположные знаки.

  В евклидовой геометрии любая сумма двух углов треугольника является дополнительной к третьему, поскольку сумма внутренних углов треугольника является прямым углом.

  

  Углы AOB и COD сопряжены, так как образуют полный угол. Учитывая звездные величины, 45° + 315° = 360°.

• Два угла, сумма которых составляет полный угол (1 оборот, 360° или 2 π радиан), называются дополнительными углами или сопряженными углами . ^[16]

  Разность между углом и полным углом называется дополнением угла или сопряжением угла.

Углы, связанные с многоугольниками

Внутренние и внешние углы

• Угол, являющийся частью простого многоугольника, называется внутренним, если он лежит внутри этого простого многоугольника. Простой вогнутый многоугольник имеет хотя бы один внутренний угол, то есть рефлекторный угол.
  В евклидовой геометрии сумма внутренних углов треугольника равна π радиан , 180° или ⁠.1/2⁠ поворот; меры внутренних углов простого выпуклого четырехугольника в сумме составляют 2 π радиан, 360° или 1 оборот. В общем, сумма внутренних углов простого выпуклого многоугольника с n сторонами составляет ( n  - 2) π  радиан, или ( n  - 2)180 градусов, ( n  - 2)2 прямых углов или ( n  - 2) ⁠1/2⁠  поворот.
• Дополнение внутреннего угла называется внешним углом ; то есть внутренний угол и внешний угол образуют линейную пару углов. В каждой вершине многоугольника есть два внешних угла, каждый из которых определяется продолжением одной из двух сторон многоугольника, которые встречаются в вершине; эти два угла вертикальны и, следовательно, равны. Внешний угол измеряет величину поворота, которую необходимо совершить в вершине, чтобы обвести многоугольник. ^[17] Если соответствующий внутренний угол является рефлекторным, внешний угол следует считать отрицательным . Даже в непростом многоугольнике можно определить внешний угол. Тем не менее, чтобы определить знак меры внешнего угла, придется выбрать ориентацию плоскости (или поверхности ).
  В евклидовой геометрии сумма внешних углов простого выпуклого многоугольника, если в каждой вершине предполагается только один из двух внешних углов, будет равна одному полному обороту (360 °). Внешний угол здесь можно назвать дополнительным внешним углом . Внешние углы обычно используются в программах Logo Turtle при рисовании правильных многоугольников.
• В треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса другого внутреннего угла совпадают (встречаются в одной точке) . ^{[18] : 149}
• В треугольнике три точки пересечения, каждая из которых представляет собой биссектрису внешнего угла с противоположной расширенной стороной , лежат на одной прямой . ^{[18] : с. 149}
• В треугольнике три точки пересечения: две между биссектрисой внутреннего угла и противоположной стороной и третья между биссектрисой другого внешнего угла и продолженной противоположной стороной являются коллинеарными. ^{[18] : 149}
• Некоторые авторы используют название « внешний угол» простого многоугольника для обозначения дополнительного внешнего угла ( а не дополнения!) внутреннего угла. ^[19] Это противоречит приведенному выше использованию.

Углы, связанные с плоскостью

• Угол между двумя плоскостями (например, двумя смежными гранями многогранника ) называется двугранным углом . ^[13] Его можно определить как острый угол между двумя линиями, нормальными к плоскостям.
• Угол между плоскостью и пересекающей прямой равен девяносто градусов минус угол между пересекающей линией и линией, проходящей через точку пересечения и перпендикулярной плоскости.

Измерение углов

Размер геометрического угла обычно характеризуется величиной наименьшего поворота, преобразующего один из лучей в другой. Углы одинаковой величины называются равными или равными по мере .

В некоторых контекстах, например, при определении точки на круге или описании ориентации объекта в двух измерениях относительно базовой ориентации, углы, которые отличаются точно кратно полному повороту , фактически эквивалентны. В других контекстах, таких как определение точки на спиральной кривой или описание совокупного вращения объекта в двух измерениях относительно базовой ориентации, углы, которые отличаются ненулевым кратным полного оборота, не являются эквивалентными.

Мера угла θ равна ⁠с/р⁠ радианы .

Чтобы измерить угол θ , рисуют дугу окружности с центром в вершине угла, например, с помощью циркуля . Отношение длины s дуги к радиусу r круга представляет собой число радиан в угле: ^[20] Традиционно в математике и системе СИ радиан рассматривается как равный безразмерной единице 1, таким образом обычно опускается. $${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}\,\mathrm {rad} .}$$

Затем угол, выраженный в другой угловой единице, можно получить путем умножения угла на подходящую константу преобразования вида ⁠к/2 π⁠ , где k — мера полного поворота, выраженная в выбранных единицах измерения (например, k = 360° для градусов или 400 град для градианов ):

$${\displaystyle \theta ={\frac {k}{2\pi }}\cdot {\frac {s}{r}}.}$$

Определенное таким образом значение θ не зависит от размера круга: если изменить длину радиуса, то длина дуги изменится в той же пропорции, поэтому соотношение s / r не изменится. ^{[номер 1]}

Единицы

Определение 1 радиана

На протяжении всей истории углы измерялись в различных единицах . Они известны как угловые единицы , причем наиболее современными единицами являются градус (°), радиан (рад) и градиан (град), хотя на протяжении всей истории использовались и многие другие . ^[22] Большинство единиц углового измерения определены так, что один оборот (т. е. угол, образованный окружностью круга в его центре) равен n единицам для некоторого целого числа n . Двумя исключениями являются радиан (и его десятичные дробные) и часть диаметра.

В Международной системе величин угол определяется как безразмерная величина, в частности, безразмерной является единица радиан. Это соглашение влияет на то, как углы обрабатываются при анализе размеров .

В следующей таблице перечислены некоторые единицы измерения углов.

Размерный анализ

Плоский угол можно определить как θ = s / r , где θ — стянутый угол в радианах, s — длина дуги, а r — радиус. Один радиан соответствует углу, для которого s = r , следовательно, 1 радиан = 1 м/м . ^[28] Однако рад следует использовать только для выражения углов, а не для выражения отношений длин в целом. ^[29] Аналогичный расчет с использованием площади кругового сектора θ = 2 A / r ² дает 1 радиан как 1 м ² /м ² . ^[30] Ключевым фактом является то, что радиан является безразмерной единицей, равной 1 . В СИ 2019 года радиан определяется соответственно как 1 рад = 1 . ^[31] Использование рад = 1 является давней практикой в ​​математике и во всех областях науки . ^{[32] [33]}

Джакомо Прандо пишет, что «текущее положение дел неизбежно приводит к призрачным появлениям и исчезновениям радиана в размерном анализе физических уравнений». ^[34] Например, объект, подвешенный на веревке на шкиве, поднимется или опустится на y = rθ сантиметров, где r — радиус шкива в сантиметрах, а θ — угол поворота шкива в радианах. При умножении r на θ из результата исчезает единица радиан. Аналогично в формуле для угловой скорости катящегося колеса ω = v / r радианы появляются в единицах ω , но не в правой части. ^[35] Энтони Френч называет это явление «вечной проблемой преподавания механики». ^[36] Оберхофер говорит, что типичный совет игнорировать радианы во время размерного анализа и добавлять или удалять радианы в единицах в соответствии с соглашением и контекстуальными знаниями «педагогически неудовлетворителен». ^[37]

В 1993 году Метрический комитет Американской ассоциации учителей физики уточнил, что радиан должен явно указываться в количествах только в том случае, если при использовании других угловых мер будут получены разные числовые значения, например, в величинах угловой меры (рад), угловой скорости (рад). /с), угловое ускорение (рад/с ² ) и крутильную жесткость (Н⋅м/рад), а не в величинах крутящего момента (Н⋅м) и углового момента (кг⋅м ² /с). ^[38]

По крайней мере дюжина ученых в период с 1936 по 2022 год внесли предложения рассматривать радиан как базовую единицу измерения базовой величины (и измерения) «плоского угла». ^{[39] [40] [41]} Обзор предложений Куинси выделяет два класса предложений. Первый вариант меняет единицу измерения радиуса на метры на радиан, но это несовместимо с анализом размеров площади круга π r ² . Другой вариант — ввести размерную константу. По словам Куинси, этот подход «логически строг» по сравнению с SI, но требует «модификации многих знакомых математических и физических уравнений». ^[42] Размерная константа для угла является «довольно странной», и сложность изменения уравнений для добавления размерной константы, вероятно, помешает широкому использованию. ^[41]

В частности, Куинси идентифицирует предложение Торренса ввести константу η , равную 1 обратному радиану (1 рад ^-1 ), аналогично введению константы ε ₀ . ^{[42] [a]} С этим изменением формула для угла, образуемого в центре круга, s = rθ , изменяется и становится s = ηrθ , а ряд Тейлора для синуса угла θ становится: ^{[41] [43]} где . Функция Sin , написанная с заглавной буквы , является «полной» функцией, которая принимает аргумент размером в угол и не зависит от выраженных единиц измерения, ^[43] тогда как sin _rad — это традиционная функция для чистых чисел , которая предполагает, что ее аргумент выражен в радианах. ^[44] можно обозначить, если ясно, что имеется в виду полная форма. ^{[41] [45]} $${\displaystyle \operatorname {Sin} \theta =\sin _{\text{rad}}x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\eta \theta -{\frac {(\eta \theta )^{3}}{3!}}+{\frac {(\eta \theta )^{5}}{5!}}-{\frac {(\eta \theta )^{7}}{7!}}+\cdots ,}$$ ${\displaystyle x=\eta \theta =\theta /{\text{rad}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sin} }$ ${\displaystyle \sin }$

Текущую СИ можно рассматривать относительно этой структуры как естественную систему единиц , в которой предполагается, что уравнение η = 1 выполняется, или, аналогично, 1 рад = 1 . Это соглашение о радианах позволяет опускать η в математических формулах. ^[46]

Определение радиана как базовой единицы может быть полезно для программного обеспечения, где недостаток более длинных уравнений минимален. ^[47] Например, библиотека единиц Boost определяет угловые единицы с plane_angleразмером, ^[48] и система единиц Mathematica аналогичным образом считает, что углы имеют угловое измерение. ^{[49] [50]}

Знаковые углы

При измерении от оси X углы единичного круга считаются положительными в направлении против часовой стрелки и отрицательными в направлении по часовой стрелке .

Часто бывает полезно ввести соглашение, которое позволяет положительным и отрицательным угловым значениям представлять ориентацию и/или вращение в противоположных направлениях или «направление» относительно некоторой ссылки.

В двумерной декартовой системе координат угол обычно определяется двумя сторонами с вершиной в начале координат. Начальная сторона находится на положительной оси X , тогда как другая сторона или конечная сторона определяется размером от начальной стороны в радианах, градусах или оборотах, причем положительные углы представляют собой повороты в сторону положительной оси Y , а отрицательные углы представляют собой вращения в сторону отрицательной оси Y. Когда декартовы координаты представлены стандартной позицией , определяемой осью X вправо и осью Y вверх, положительные вращения выполняются против часовой стрелки , а отрицательные циклы — по часовой стрелке .

Во многих контекстах угол − θ фактически эквивалентен углу «один полный оборот минус θ ». Например, ориентация, представленная как -45°, фактически равна ориентации, определенной как 360° - 45° или 315°. Хотя конечное положение одинаковое, физическое вращение (движение) на −45° — это не то же самое, что вращение на 315° (например, вращение человека, держащего метлу, лежащего на пыльном полу, оставило бы визуально разные следы). заметенных участков на полу).

В трехмерной геометрии «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки» не имеют абсолютного значения, поэтому направление положительных и отрицательных углов должно определяться с точки зрения ориентации , которая обычно определяется вектором нормали , проходящим через вершину угла и перпендикуляром. к плоскости, в которой лежат лучи угла.

В навигации пеленги или азимут измеряются относительно севера . По соглашению, если смотреть сверху, углы азимута положительны по часовой стрелке, поэтому азимут 45 ° соответствует ориентации на северо-восток. Отрицательные пеленги в навигации не используются, поэтому ориентация на северо-запад соответствует пеленгу 315°.

Эквивалентные углы

• Углы, имеющие одинаковую меру (т.е. одинаковую величину), называются равными или конгруэнтными . Угол определяется своей мерой и не зависит от длин сторон угла (например, все прямые углы равны по мере).
• Два угла, имеющие общие конечные стороны, но различающиеся по размеру на целое число, кратное повороту, называются коконцевыми углами .
• Базовый угол (иногда называемый смежным углом ) для любого угла θ в стандартном положении — это положительный острый угол между конечной стороной θ и осью X (положительный или отрицательный). ^{[51] [52]} Процедурно величина опорного угла для данного угла может быть определена путем взятия величины угла по модулю ⁠1/2⁠ поворот, 180 ° или π радиан, затем остановка, если угол острый, в противном случае принимается дополнительный угол, 180 ° минус уменьшенная величина. Например, угол в 30 градусов уже является опорным углом, а угол в 150 градусов также имеет опорный угол 30 градусов (180° − 150°). Углы 210° и 510° также соответствуют базовому углу в 30 градусов (210° по модулю 180° = 30°, 510° по модулю 180° = 150°, дополнительный угол которого равен 30°).

Сопутствующие количества

Для угловой единицы определяющим является постулат сложения углов . Некоторые величины, связанные с углами, для которых постулат сложения углов не выполняется, включают:

• Наклон или уклон равен тангенсу угла ; градиент часто выражается в процентах. Для очень малых значений (менее 5%) наклон линии примерно равен ее углу в радианах с горизонтальным направлением.
• Разброс между двумя линиями определяется в рациональной геометрии как квадрат синуса угла между линиями. Поскольку синус угла и синус дополнительного угла одинаковы, любой угол поворота, который отображает одну из линий в другую, приводит к одному и тому же значению разброса между линиями.
• Хотя это делается редко, можно сообщить о прямых результатах тригонометрических функций , таких как синус угла.

Углы между кривыми

Угол между двумя кривыми в точке P определяется как угол между касательными A и B в точке P.

Угол между линией и кривой (смешанный угол) или между двумя пересекающимися кривыми (криволинейный угол) определяется как угол между касательными в точке пересечения. Частным случаям давались различные названия (ныне редко, если вообще когда-либо употреблявшиеся): — амфициртический (греч. ἀμφί , с обеих сторон, κυρτός, выпуклый) или циссоидальный (греч. κισσός, плющ), двояковыпуклый; ксистроидный или систроидный (греч. ξυστρίς, инструмент для соскабливания), вокаво-выпуклый; амфикоэлический (греч. κοίλη, полость) или angulus lunularis , двояковогнутый. ^[53]

Биссектрисы и трисекции углов.

Древнегреческие математики знали, как разделить угол пополам (разделить его на два равных угла), используя только циркуль и линейку, но могли разделить только три угла. В 1837 году Пьер Ванцель показал, что эту конструкцию невозможно выполнить для большинства углов.

Скалярное произведение и обобщения

В евклидовом пространстве угол θ между двумя евклидовыми векторами u и v связан с их скалярным произведением и их длинами по формуле

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

Эта формула предоставляет простой метод определения угла между двумя плоскостями (или изогнутыми поверхностями) по их нормальным векторам и между наклонными линиями по их векторным уравнениям.

Внутренний продукт

Чтобы определить углы в абстрактном реальном пространстве внутреннего продукта , мы заменяем евклидово скалярное произведение ( · ) внутренним произведением , т.е. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

$${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

В сложном пространстве внутреннего произведения выражение для косинуса, приведенное выше, может давать недействительные значения, поэтому оно заменяется на

$${\displaystyle \operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

или, чаще, используя абсолютное значение, с

$${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$$

Последнее определение игнорирует направление векторов. Таким образом, он описывает угол между одномерными подпространствами и натянутыми векторами и соответственно. ${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Углы между подпространствами

Определение угла между одномерными подпространствами и данное выражением ${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {u} )}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} )}$

$${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|}$$

в гильбертовом пространстве можно расширить до подпространств конечной размерности. Учитывая два подпространства с , это приводит к определению углов, называемых каноническими или главными углами между подпространствами. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle \dim({\mathcal {U}}):=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=l}$ ${\displaystyle k}$

Углы в римановой геометрии

В римановой геометрии метрический тензор используется для определения угла между двумя касательными . Где U и V — касательные векторы, а g _ij — компоненты метрического тензора G ,

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.}$$

Гиперболический угол

Гиперболический угол является аргументом гиперболической функции точно так же, как круговой угол является аргументом круговой функции . Сравнение можно представить как размер отверстий гиперболического сектора и кругового сектора , поскольку площади этих секторов в каждом случае соответствуют величинам углов. ^[54] В отличие от кругового угла, гиперболический угол не ограничен. Когда круговые и гиперболические функции рассматриваются как бесконечные ряды по их угловому аргументу, круговые функции представляют собой просто чередующиеся формы серий гиперболических функций. Это сравнение двух рядов, соответствующих функциям углов, было описано Леонардом Эйлером во «Введении в анализ бесконечного» (1748 г.).

Углы в географии и астрономии

В географии местоположение любой точки на Земле можно определить с помощью географической системы координат . Эта система определяет широту и долготу любого места в виде углов, образующих центр Земли, используя в качестве ориентиров экватор и (обычно) Гринвичский меридиан .

В астрономии данная точка на небесной сфере (то есть видимое положение астрономического объекта) может быть идентифицирована с использованием любой из нескольких астрономических систем координат , где ссылки различаются в зависимости от конкретной системы. Астрономы измеряют угловое расстояние между двумя звездами , представляя две линии, проходящие через центр Земли , каждая из которых пересекает одну из звезд. Угол между этими линиями и угловое расстояние между двумя звездами можно измерить.

Как в географии, так и в астрономии направление визирования можно указать с помощью вертикального угла , например, высоты / подъёма относительно горизонта , а также азимута относительно севера .

Астрономы также измеряют видимый размер объектов как угловой диаметр . Например, полная Луна имеет угловой диаметр примерно 0,5°, если смотреть с Земли. Можно было бы сказать: «Диаметр Луны составляет угол в полградуса». Формула малого угла может преобразовать такое угловое измерение в отношение расстояния к размеру.

Другие астрономические приближения включают:

• 0,5° — приблизительный диаметр Солнца и Луны, если смотреть с Земли.
• 1° — это примерная ширина мизинца на расстоянии вытянутой руки.
• 10° — это примерная ширина сжатого кулака на расстоянии вытянутой руки.
• 20° — это приблизительная ширина размаха рук на расстоянии вытянутой руки.

Эти измерения зависят от конкретного субъекта, и приведенное выше следует рассматривать только как грубые приближения .

В астрономии прямое восхождение и склонение обычно измеряются в угловых единицах, выраженных во времени, исходя из 24-часовых суток.

Смотрите также

• Угловой измерительный прибор
• Углы между плоскостями
• Угловая статистика ( среднее значение , стандартное отклонение )
• Биссектриса угла
• Угловое ускорение
• Угловой диаметр
• Угловая скорость
• Аргумент (комплексный анализ)
• Астрологический аспект
• Центральный угол
• Проблема с углом часов
• Десятичные градусы
• Двугранный угол
• Теорема о внешнем угле
• Золотой угол
• Большое расстояние круга
• Угол рупора
• Вписанный угол
• Иррациональный угол
• Фаза (волны)
• Транспортир
• Телесный угол
• Сферический угол
• Трансцендентный угол
• Трисекция
• Зенитный угол

Примечания

1. Однако этот подход требует дополнительного доказательства того, что мера угла не меняется с изменением радиуса r , в дополнение к вопросу «выбранных единиц измерения». Более плавный подход — измерить угол по длине соответствующей единичной дуги окружности. Здесь «единицу» можно выбрать безразмерной в том смысле, что это действительное число 1, связанное с единичным сегментом на действительной линии. См., например, Радослава М. Димитрича. ^[21]

1. Другие предложения включают аббревиатуру «рад» (Бринсмейд, 1936), обозначения (Ромен, 1962) и константы ם (Браунштейн, 1997), ◁ (Леви-Леблон, 1998), k (Фостер, 2010), θ _C (Квинси, 2021). и (Мор и др., 2022). ${\displaystyle \langle \theta \rangle }$ ${\displaystyle {\cal {C}}={\frac {2\pi }{\Theta }}}$

Рекомендации

1. Сидоров 2001.
2. Слокам 2007
3. Чисхолм 1911; Хейберг 1908, стр. 177–178.
4. Обильный 2010, с. 18.
5. Мозер 1971, с. 41.
6. Годфри и Сиддонс 1919, с. 9.
7. Мозер 1971, с. 71.
8. Вонг и Вонг 2009, стр. 161–163.
9. Евклид . Элементы .Предложение I:13.
10. Shute, Shirk & Porter 1960, стр. 25–27.
11. Джейкобс 1974, с. 255.
12. «Дополнительные углы». www.mathsisfun.com . Проверено 17 августа 2020 г.
13. Чисхолм 1911 г.
14. «Дополнительные углы». www.mathsisfun.com . Проверено 17 августа 2020 г.
15. Джейкобс 1974, с. 97.
16. Уиллис, Кларенс Аддисон (1922). Плоская геометрия. Сын Блэкистона. п. 8.
17. Хендерсон и Таймина 2005, с. 104.
18. Джонсон, Роджер А. Расширенная евклидова геометрия , Dover Publications, 2007.
19. Д. Цвиллингер, изд. (1995), Стандартные математические таблицы и формулы CRC , Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, стр. 270как цитируется в книге Вайсштейна Эрика В. «Внешний угол». Математический мир .
20. Международное бюро мер и весов (20 мая 2019 г.), Международная система единиц (СИ) (PDF) (9-е изд.), ISBN 978-92-822-2272-0, заархивировано из оригинала 18 октября 2021 г.
21. Димитрич, Радослав М. (2012). «Об углах и угловых измерениях» (PDF) . Преподавание математики . XV (2): 133–140. Архивировано (PDF) из оригинала 17 января 2019 г. Проверено 6 августа 2019 г.
22. «Угловая единица». TheFreeDictionary.com . Проверено 31 августа 2020 г.
23. «Руководство программиста ooPIC — Глава 15: URCP» . Руководство и технические характеристики ooPIC — компилятор ooPIC, версия 6.0 . Саваж Инновации, ООО. 2007 [1997]. Архивировано из оригинала 28 июня 2008 г. Проверено 5 августа 2019 г.
24. Харгривз, Шон [на польском языке] . «Углы, целые числа и арифметика по модулю». blogs.msdn.com. Архивировано из оригинала 30 июня 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
25. Бонин, Уолтер (11 января 2016 г.). «RE: WP-32S в 2016 году?». Музей HP . Архивировано из оригинала 6 августа 2019 г. Проверено 5 августа 2019 г.
26. Джинсы, Джеймс Хопвуд (1947). Рост физической науки. Архив Кубка. п. 7.
27. Мурнаган, Фрэнсис Доминик (1946). Аналитическая геометрия . п. 2.
28. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 151: «Один радиан соответствует углу, для которого s = r »
29. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 151.
30. Куинси 2016, с. 844: «Кроме того, как упоминалось в Mohr & Phillips 2015, радиан можно определить через площадь A сектора ( A = ⁠1/2⁠ θ r ² ), и в этом случае он имеет единицы m ² ⋅m ⁻² ».
31. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 151: «Один радиан соответствует углу, для которого s = r , таким образом, 1 рад = 1 ».
32. Международное бюро мер и весов 2019, стр. 137.
33. Бриджмен, Перси Уильямс (1922). Размерный анализ. Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. Угловая амплитуда качания [...] Размеры отсутствуют.
34. Прандо, Джакомо (август 2020 г.). «Спектральная единица». Физика природы . 16 (8): 888. Бибкод : 2020NatPh..16..888P. дои : 10.1038/s41567-020-0997-3 . S2CID  225445454.
35. Леонард, Уильям Дж. (1999). Minds-on Physics: Продвинутые темы в механике. Кендалл Хант. п. 262. ИСБН 978-0-7872-5412-4.
36. Френч, Энтони П. (май 1992 г.). «Что происходит с радианами? (комментарий)». Учитель физики . 30 (5): 260–261. дои : 10.1119/1.2343535.
37. Оберхофер, ES (март 1992 г.). «Что происходит с радианами?». Учитель физики . 30 (3): 170–171. Бибкод : 1992PhTea..30..170O. дои : 10.1119/1.2343500.
38. Обрехт, Гордон Дж.; Френч, Энтони П.; Иона, Марио; Уэлч, Дэниел В. (февраль 1993 г.). «Радиан — эта неприятная единица». Учитель физики . 31 (2): 84–87. Бибкод : 1993PhTea..31...84A. дои : 10.1119/1.2343667.
39. Бринсмэйд, 1936 г.; Ромен 1962; Эдер 1982 г.; Торренс 1986; Браунштейн 1997; Леви-Леблон, 1998 г.; Фостер 2010; Миллс 2016; Квинси 2021; Леонард 2021; Мор и др. 2022 год
40. Мор и Филлипс 2015.
41. Куинси, Пол; Браун, Ричард Дж. К. (1 июня 2016 г.). «Последствия принятия плоского угла в качестве базовой величины в системе СИ». Метрология . 53 (3): 998–1002. arXiv : 1604.02373 . Бибкод : 2016Метро..53..998Q. дои : 10.1088/0026-1394/53/3/998. S2CID  119294905.
42. Куинси, 2016.
43. Торренс 1986.
44. Мор и др. 2022, с. 6.
45. Мор и др. 2022, стр. 8–9.
46. Куинси 2021.
47. Куинси, Пол; Браун, Ричард Дж.К. (1 августа 2017 г.). «Более четкий подход к определению систем единиц». Метрология . 54 (4): 454–460. arXiv : 1705.03765 . Бибкод : 2017Metro..54..454Q. дои : 10.1088/1681-7575/aa7160. S2CID  119418270.
48. Шабель, Матиас К.; Ватанабэ, Стивен. «Часто задаваемые вопросы по Boost.Units – 1.79.0». www.boost.org . Проверено 5 мая 2022 г. Углы рассматриваются как единицы
49. Мор и др. 2022, с. 3.
50. «UnityDimensions — Документация по языку Wolfram». ссылка.wolfram.com . Проверено 1 июля 2022 г.
51. «Математические слова: опорный угол» . www.mathwords.com . Архивировано из оригинала 23 октября 2017 года . Проверено 26 апреля 2018 г.
52. МакКег, Чарльз П. (2008). Тригонометрия (6-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Томсон Брукс/Коул. п. 110. ИСБН 978-0495382607.
53. Чисхолм 1911; Хейберг 1908, с. 178
54. Роберт Болдуин Хейворд (1892) Алгебра копланарных векторов и тригонометрия, глава шестая

Библиография

• Абугантус, Чарльз Х. (2010), Первый курс евклидовой плоской геометрии в средней школе, Universal Publishers, ISBN 978-1-59942-822-2
• Бринсмэйд, Дж. Б. (декабрь 1936 г.). «Плоские и телесные углы. Их педагогическое значение при явном представлении». Американский журнал физики . 4 (4): 175–179. Бибкод : 1936AmJPh...4..175B. дои : 10.1119/1.1999110.
• Браунштейн, КР (июль 1997 г.). «Углы — давайте относиться к ним честно». Американский журнал физики . 65 (7): 605–614. Бибкод : 1997AmJPh..65..605B. дои : 10.1119/1.18616 .
• Эдер, МЫ (январь 1982 г.). «Точка зрения на величину «плоского угла»". Metrologia . 18 (1): 1–12. Бибкод : 1982Metro..18....1E. doi : 10.1088/0026-1394/18/1/002. S2CID  250750831.
• Фостер, Маркус П. (1 декабря 2010 г.). «Следующие 50 лет SI: обзор возможностей эпохи электронной науки». Метрология . 47 (6): Р41–Р51. дои : 10.1088/0026-1394/47/6/R01. S2CID  117711734.
• Годфри, Чарльз; Сиддонс, AW (1919), Элементарная геометрия: практическая и теоретическая (3-е изд.), Cambridge University Press
• Хендерсон, Дэвид В.; Таймина, Дайна (2005), Опыт геометрии / Евклидово и неевклидово с историей (3-е изд.), Пирсон Прентис Холл, стр. 104, ISBN 978-0-13-143748-7
• Хейберг, Йохан Людвиг (1908), Хит, TL (редактор), Евклид, Тринадцать книг элементов Евклида, том. 1, Кембридж : Издательство Кембриджского университета.
• Джейкобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия , WH Freeman, стр. 97, 255, ISBN 978-0-7167-0456-0
• Леонард, BP (1 октября 2021 г.). «Предложение о согласованной по размерам обработке угла и телесного угла в Международной системе единиц (СИ)». Метрология . 58 (5): 052001. Бибкод : 2021Metro..58e2001L. дои : 10.1088/1681-7575/abe0fc. S2CID  234036217.
• Леви-Леблон, Жан-Марк (сентябрь 1998 г.). «Размерные углы и универсальные константы». Американский журнал физики . 66 (9): 814–815. Бибкод : 1998AmJPh..66..814L. дои : 10.1119/1.18964.
• Миллс, Ян (1 июня 2016 г.). «О единицах радиан и цикл для величины плоского угла». Метрология . 53 (3): 991–997. Бибкод : 2016Метро..53..991М. дои : 10.1088/0026-1394/53/3/991. S2CID  126032642.
• Мор, Питер Дж; Филлипс, Уильям Д. (1 февраля 2015 г.). «Безразмерные единицы в системе СИ». Метрология . 52 (1): 40–47. arXiv : 1409.2794 . Бибкод : 2015Метро..52...40М. дои : 10.1088/0026-1394/52/1/40 .
• Мор, Питер Дж; Ширли, Эрик Л; Филлипс, Уильям Д.; Тротт, Майкл (23 июня 2022 г.). «О размерности углов и их единиц». Метрология . 59 (5): 053001. arXiv : 2203.12392 . Бибкод : 2022Метро..59e3001M. дои : 10.1088/1681-7575/ac7bc2 .
• Мозер, Джеймс М. (1971), Современная элементарная геометрия, Прентис-Холл
• Куинси, Пол (1 апреля 2016 г.). «Диапазон возможностей обработки плоского угла и телесного угла в системе единиц». Метрология . 53 (2): 840–845. Бибкод : 2016Metro..53..840Q. дои : 10.1088/0026-1394/53/2/840. S2CID  125438811.
• Куинси, Пол (1 октября 2021 г.). «Углы в СИ: подробное предложение решения проблемы». Метрология . 58 (5): 053002. arXiv : 2108.05704 . Бибкод : 2021Metro..58e3002Q. дои : 10.1088/1681-7575/ac023f. S2CID  236547235.
• Ромен, Жак Э. (июль 1962 г.). «Угол как четвертая фундаментальная величина». Журнал исследований Национального бюро стандартов . Раздел B. 66B (3): 97. doi : 10.6028/jres.066B.012 .
• Сидоров Л.А. (2001) [1994], «Угол», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Слокум, Джонатан (2007), Предварительный индоевропейский лексикон - данные Pokorny PIE, Исследовательский отдел Техасского университета: центр лингвистических исследований , заархивировано из оригинала 27 июня 2010 г. , получено 2 февраля 2010 г.
• Шут, Уильям Г.; Ширк, Уильям В.; Портер, Джордж Ф. (1960), Плоская и объемная геометрия , Американская книжная компания, стр. 25–27.
• Торренс, AB (1 января 1986 г.). «Об углах и угловых величинах». Метрология . 22 (1): 1–7. Бибкод : 1986Метро..22....1Т. дои : 10.1088/0026-1394/22/1/002. S2CID  250801509.
• Вонг, Так-ва; Вонг, Минг-сим (2009), «Углы в пересекающихся и параллельных линиях», New Century Mathematics , vol. 1B (1-е изд.), Гонконг: Oxford University Press, стр. 161–163, ISBN. 978-0-19-800177-5

 В эту статью включен текст из публикации, которая сейчас находится в свободном доступе :  Чисхолм, Хью , изд. (1911), «Угол», Британская энциклопедия , том. 2 (11-е изд.), Издательство Кембриджского университета, стр. 2. 14

Внешние ссылки

• «Угол»  , Британская энциклопедия , том. 2 (9-е изд.), 1878 г., стр. 29–30.