Критерий Эйзенштейна

В математике критерий Эйзенштейна дает достаточное условие для того, чтобы многочлен с целыми коэффициентами был неприводимым над рациональными числами , то есть чтобы он не разлагался на множители, представляющие собой произведение непостоянных многочленов с рациональными коэффициентами.

Этот критерий не применим ко всем многочленам с целыми коэффициентами, которые неприводимы над рациональными числами, но он позволяет в некоторых важных случаях доказать неприводимость с очень небольшими усилиями. Он может применяться либо напрямую, либо после преобразования исходного многочлена.

Этот критерий назван в честь Готхольда Эйзенштейна . В начале 20-го века он был также известен как теорема Шенемана–Эйзенштейна, поскольку Теодор Шенеман был первым, кто опубликовал его. ^[1]^[2]

Критерий

Предположим, что у нас есть следующий многочлен с целыми коэффициентами : $Q(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}.$

Если существует простое число $p,$ такое, что выполняются все три условия:

$p$ делит каждое $a i$ для $0 \leq i < n$ ,
$p$ не делит a $n,$ и
$p 2$ неделит $a$ $0$ ,

тогда $Q$ неприводим над рациональными числами. Он также будет неприводим над целыми числами, если только все его коэффициенты не имеют общего нетривиального множителя (в этом случае $Q$ как целочисленный многочлен будет иметь некоторое простое число, обязательно отличное от $p$ , в качестве неприводимого множителя). Последней возможности можно избежать, сначала сделав $Q$ примитивным , разделив его на наибольший общий делитель его коэффициентов ( содержимое Q ). Это деление не меняет того, является ли $Q$ приводимым или нет над рациональными числами (см. раздел Факторизация примитивной части–содержимого для получения подробной информации) $,$ и не сделает недействительными гипотезы критерия для $p$ (напротив, оно может сделать критерий справедливым для некоторого простого числа, даже если он не был справедлив до деления).

Примеры

Критерий Эйзенштейна может применяться либо напрямую (т.е. с использованием исходного полинома), либо после преобразования исходного полинома.

Прямой (без преобразования)

Рассмотрим многочлен $Q (x) = 3 x 4 + 15 x 2 + 10$ . Для того чтобы критерий Эйзенштейна был применим к простому числу $p ,$ он должен делить оба нестарших коэффициента $15$ и $10$ , что означает, что может работать только $p = 5 , и это действительно так, поскольку$ $5$ не делит старший коэффициент $3$ , а его квадрат $25$ не делит постоянный коэффициент $10$ . Следовательно, можно заключить, что $Q$ неприводим над $Q$ (и, поскольку он примитивен, также и над $Z$ $). Обратите внимание, что поскольку Q$ имеет степень 4, этот вывод не мог быть установлен только проверкой того, что $Q$ не имеет рациональных корней (что исключает возможные множители степени 1), поскольку разложение на два квадратичных множителя также может быть возможным.

Косвенный (после преобразования)

Часто критерий Эйзенштейна не применим ни к одному простому числу. Однако может быть, что он применим (для некоторого простого числа) к многочлену, полученному после подстановки (для некоторого целого числа $a$ ) числа $x + a$ вместо $x$ . Тот факт, что многочлен после подстановки является неприводимым, позволяет сделать вывод, что исходный многочлен также является неприводимым. Эта процедура известна как применение сдвига .

Например, рассмотрим $H = x 2 + x + 2$ , в котором коэффициент 1 при $x$ не делится ни на какое простое число, критерий Эйзенштейна не применим к $H$ . Но если подставить $x$ вместо $x + 3$ в $H$ , то получим многочлен $x 2 + 7 x + 14$ , который удовлетворяет критерию Эйзенштейна для простого числа $7$ . Поскольку подстановка является автоморфизмом кольца $Q [x]$ , тот факт, что мы получаем неприводимый многочлен после подстановки, подразумевает, что изначально у нас был неприводимый многочлен. В этом конкретном примере было бы проще утверждать, что $H$ (будучи моническим со степенью 2) может быть приводимым, только если у него есть целый корень, чего, очевидно, нет; однако общий принцип попытки подстановок для того, чтобы применить критерий Эйзенштейна, является полезным способом расширить его область действия.

Другая возможность преобразовать многочлен так, чтобы он удовлетворял критерию, которую можно объединить с применением сдвига, — это изменение порядка его коэффициентов на обратный, при условии, что его постоянный член не равен нулю (без чего он в любом случае делился бы на $x$ ). Это так, потому что такие многочлены приводимы в $R [x]$ тогда и только тогда, когда они приводимы в $R [x, x -1]$ (для любой целостной области $R$ ), и в этом кольце замена $x$ на $x$ $-1$ меняет порядок коэффициентов на обратный (симметричным относительно постоянного коэффициента образом, но последующий сдвиг в показателе степени равен умножению на единицу). Например, $2 x 5 - 4 x 2 - 3$ удовлетворяет критерию для $p = 2$ после изменения его коэффициентов на обратный и (будучи примитивным) поэтому неприводим в $Z [x]$ .

Циклотомические многочлены

Важным классом многочленов, неприводимость которых может быть установлена с помощью критерия Эйзенштейна, являются циклотомические многочлены для простых чисел $p$ . Такой многочлен получается путем деления многочлена $x p - 1$ на линейный множитель $x - 1$ , соответствующий его очевидному корню $1$ (который является его единственным рациональным корнем, если $p > 2$ ): ${\frac {x^{p}-1}{x-1}}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +x+1.$

Здесь, как и в предыдущем примере $H$ , коэффициенты $1$ не позволяют применить критерий Эйзенштейна напрямую. Однако многочлен будет удовлетворять критерию для $p$ после подстановки $x + 1$ вместо $x$ : это дает все из , чьи нестаршие коэффициенты делятся на $p$ по свойствам биномиальных коэффициентов , и чей постоянный коэффициент равен $p$ , и, следовательно, не делится на $p$ $2$ . Альтернативный способ прийти к этому выводу — использовать тождество $($ $a$ $+$ $b$ $)$ $p$ $=$ $a$ $p$ $+$ $b$ $p ,$ которое справедливо в характеристике $p$ (и которое основано на тех же свойствах биномиальных коэффициентов и приводит к эндоморфизму Фробениуса ), для вычисления редукции по модулю $p$ частного многочленов: это означает, что все нестаршие коэффициенты частного делятся на $p$ ; Оставшуюся проверку того, что постоянный член частного равен $p,$ можно выполнить, подставив $1$ (вместо $x$ $+ 1$ ) вместо $x$ в развернутую форму $x$ $p$ $-1$ $+ ... +$ $x$ $+ 1$ . ${\frac {(x+1)^{p}-1}{x}}=x^{p-1}+{\binom {p}{p-1}}x^{p-2}+\cdots +{\binom {p}{2}}x+{\binom {p}{1}},$ ${\frac {(x+1)^{p}-1}{x}}\equiv {\frac {x^{p}+1^{p}-1}{x}}={\frac {x^{p}}{x}}=x^{p-1}{\pmod {p}},$

История

Теодор Шенеманн был первым, кто опубликовал версию критерия ^[1] в 1846 году в журнале Крелле ^[3] , который в переводе звучит так:

Что $(x - a) n + pF (x)$ будет неприводимым к модулю $p 2$ , когда $F (x)$ по модулю $p$ не содержит множителя $x - a$ .

Эта формулировка уже включает сдвиг к $a$ вместо $0$ ; условие на $F (x)$ означает, что $F (a)$ не делится на $p$ , и поэтому $pF (a)$ делится на $p$ , но не на $p 2$ . Как указано, это не совсем правильно, поскольку не делает никаких предположений о степени многочлена $F (x)$ , так что рассматриваемый многочлен не обязательно должен иметь степень $n$ , которую предполагает его выражение; пример $x 2 + p (x 3 + 1) \equiv (x 2 + p)(px + 1) mod p 2$ показывает, что заключение недействительно без такой гипотезы. Однако, если предположить, что степень $F (x)$ не превосходит $n$ , то критерий верен и несколько сильнее приведенной выше формулировки, поскольку если $(x - a) n + pF (x)$ неприводимо по модулю $p 2$ , то оно, безусловно, не может разлагаться в $Z [x]$ на непостоянные множители.

Впоследствии Эйзенштейн опубликовал несколько иную версию в 1850 году, также в журнале Крелле. ^[4] Эта версия в переводе звучит так:

Когда в многочлене $F (x)$ от $x$ произвольной степени коэффициент при старшем члене равен $1$ , а все последующие коэффициенты — целые (действительные, комплексные) числа, на которые делится некоторое (действительное, соответственно, комплексное) простое число $m$ , и когда при этом последний коэффициент равен $εm$ , где $ε$ обозначает число, не делящееся на $m$ : то невозможно привести $F (x)$ к виду , где $μ$ $,$ $ν$ $\geq 1$ , $μ$ $+$ $ν$ $= deg($ $F$ $($ $x$ $))$ , а все $a$ и $b$ — целые (действительные, соответственно, комплексные) числа; поэтому уравнение $F$ $($ $x$ $) = 0$ неприводимо. $\left(x^{\mu }+a_{1}x^{\mu -1}+\cdots +a_{\mu }\right)\left(x^{\nu }+b_{1}x^{\nu -1}+\cdots +b_{\nu }\right)$

Здесь «целые действительные числа» — это обычные целые числа , а «целые комплексные числа » — это гауссовы целые числа ; аналогично следует интерпретировать «действительные и комплексные простые числа». Приложение, для которого Эйзенштейн разработал свой критерий, заключалось в установлении неприводимости некоторых многочленов с коэффициентами в гауссовых целых числах, которые возникают при изучении деления лемнискаты на части равной длины дуги.

Примечательно, что Шёнеман и Эйзенштейн, как только сформулировали свои критерии неприводимости, оба немедленно применяют их, чтобы дать элементарное доказательство неприводимости циклотомических многочленов для простых чисел, результат, который Гаусс получил в своих Disquisitiones Arithmeticae с гораздо более сложным доказательством. Фактически, Эйзенштейн добавляет в сноске, что единственное известное ему доказательство этой неприводимости, помимо доказательства Гаусса, — это доказательство, данное Кронекером в 1845 году. Это показывает, что он не знал о двух различных доказательствах этого утверждения, которые Шёнеман дал в своей статье 1846 года, где второе доказательство основывалось на вышеупомянутом критерии. Это тем более удивительно, учитывая тот факт, что двумя страницами дальше Эйзенштейн фактически ссылается (по другому поводу) на первую часть статьи Шёнемана. В заметке («Notiz»), появившейся в следующем номере журнала ^[5] , Шёнеман указывает на это Эйзенштейну и указывает, что метод последнего по сути не отличается от того, который он использовал во втором доказательстве.

Основное доказательство

Чтобы доказать справедливость критерия, предположим, $что Q$ удовлетворяет критерию для простого числа $p$ , но тем не менее является приводимым в $Q [x]$ , из чего мы хотим получить противоречие. Из леммы Гаусса следует, что $Q$ также приводим в $Z [x]$ , и на самом деле может быть записан как произведение $Q = GH$ двух непостоянных многочленов $G, H$ (в случае, если $Q$ не является примитивным, лемму применяют к примитивному многочлену $Q / c$ (где целое число $c$ является содержимым $Q$ ), чтобы получить его разложение, и умножают $c$ на один из множителей, чтобы получить разложение для $Q$ ). Теперь приведем $Q = GH$ по модулю $p$ , чтобы получить разложение в $(Z / p Z)[x]$ . Но по условию это приведение для $Q$ оставляет его ведущий член, имеющий вид $ax n$ для ненулевой константы $a \in Z / p Z$ , в качестве единственного ненулевого члена. Но тогда обязательно сокращения по модулю $p$ для $G$ и $H$ также заставят все неглавные члены исчезнуть (и не могут заставить их главные члены исчезнуть), поскольку никакие другие разложения $ax n$ невозможны в $(Z / p Z)[x]$ , что является уникальной областью факторизации . В частности, постоянные члены $G$ и $H$ исчезают в сокращении, поэтому они делятся на $p$ , но тогда постоянный член $Q$ , который является их произведением, делится на $p 2$ , вопреки гипотезе, и мы получаем противоречие.

Второе доказательство критерия Эйзенштейна также начинается с предположения о приводимости многочлена $Q (x)$ . Показано, что это предположение влечет за собой противоречие.

Предположение о том, что является приводимым, означает, что существуют многочлены Такие, что Коэффициент $a$ $0$ многочлена $Q$ $($ $x$ $)$ можно разделить на простое число $p ,$ но не на $p$ $2$ . Поскольку $a$ $0$ $=$ $c$ $0$ $d$ $0$ , можно разделить $c$ $0$ или $d$ $0$ на $p$ , но не оба. Можно без потери общности продолжить $Q(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ ${\begin{align}G(x)&=c_{r}x^{r}+c_{r-1}x^{r-1}+\cdots +c_{0}&&r\geq 1\\H(x)&=d_{s}x^{s}+d_{s-1}x^{s-1}+\cdots +d_{0}&&s\geq 1\end{align}}$ $Q(x)=G(x)\cdot H(x),\qquad n=r+s.$

с коэффициентом $c 0$ , который можно разделить на $p$ и
с коэффициентом $d 0$ , который нельзя разделить на $p$ .

По предположению, не делит . Поскольку $a$ $n$ $=$ $c$ $r$ $ds$ , ни $c$ $r ,$ ни $d$ $s$ не могут делиться на $p . Таким$ $образом$ , если - -й коэффициент приводимого многочлена , то (возможно, с в случае ) где не может делиться на , поскольку ни ни не может делиться на . $p$ $а_{н}$ $a_{r}$ $r$ $Q$ $d_{t}=0$ $т>с$ $a_{r}=c_{r}d_{0}+c_{r-1}d_{1}+\cdots +c_{0}d_{r}$ $c_{r}d_{0}$ $p$ $d_{0}$ $c_{r}$ $p$

Мы докажем, что все делятся на $p$ . Поскольку также делится на $p$ (по условию критерия), это означает, что делится на $p$ , противоречие, доказывающее критерий. $c_{0},c_{1},\ldots ,c_{r-1}$ $a_{r}$ $c_{r}d_{0}=a_{r}-\left(c_{r-1}d_{1}+\cdots +c_{0}d_{r}\right)$

Можно разделить на , так как можно разделить на . $c_{0}d_{r}$ $p$ $c_{0}$ $p$

По начальному предположению, можно разделить коэффициент $a 1$ многочлена $Q (x)$ на $p$ . Поскольку и поскольку $d$ $0$ не кратно $p ,$ то должно быть возможно разделить $c$ $1$ на $p$ . Аналогично, по индукции, является кратным для всех , что завершает доказательство. $a_{1}=c_{0}d_{1}+c_{1}d_{0}$ $c_{i}$ $p$ $я<р$

Расширенное объяснение

Применяя теорию многоугольника Ньютона для поля $p$ -адических чисел , для многочлена Эйзенштейна мы должны взять нижнюю выпуклую оболочку точек

(0, 1), (1, v 1), (2, v 2), ..., (n - 1, v n -1), (n, 0)

где $v i$ - это $p$ -адическая оценка a $i$ (т. е. наивысшая степень $p,$ делящая ее). Теперь данные, которые нам даны по $v i$ для $0 <$ $i$ $<$ $n , а именно, что они равны по крайней мере единице, - это как раз то, что нам нужно, чтобы$ $заключить$ , что нижняя выпуклая оболочка - это в точности один отрезок прямой от $(0, 1)$ до $(n, 0)$ , наклон которого равен $-1/ n$ .

Это говорит нам о том, что каждый корень $Q$ имеет $p$ -адическую оценку $1/ n$ и, следовательно, $Q$ неприводимо над $p$ -адическим полем (поскольку, например, ни одно произведение любого собственного подмножества корней не имеет целочисленной оценки); и тем более над полем рациональных чисел.

Этот аргумент гораздо сложнее прямого аргумента по приведению mod $p$ . Однако он позволяет увидеть, в терминах алгебраической теории чисел , как часто может применяться критерий Эйзенштейна после некоторой замены переменной; и, таким образом, существенно ограничить возможные варианты выбора $p,$ относительно которых многочлен мог бы иметь эйзенштейнов трансляцию (то есть стать эйзенштейновским после аддитивной замены переменных, как в случае $p$ -го циклотомического многочлена).

Фактически, только простые числа $p,$ разветвляющиеся в расширении $Q$ $,$ порожденном корнем $Q,$ имеют какие-либо шансы на работу. Их можно найти в терминах дискриминанта Q. Например, в случае $x$ $2$ $+$ $x$ $+ 2,$ приведенном выше, дискриминант равен $-7,$ так что $7$ — единственное простое число, которое имеет шанс заставить его удовлетворять критерию. По модулю $7$ оно становится $($ $x$ $- 3)$ $2$ — повторный корень неизбежен, поскольку дискриминант равен $0 mod 7.$ Поэтому сдвиг переменной на самом деле является чем-то предсказуемым.

Опять же, для циклотомического полинома это становится

(x - 1) p -1 mod p

;

Методами линейной алгебры можно показать, что дискриминант равен (с точностью до знака) $p p -2$ .

Точнее, только полностью разветвленные простые числа имеют шанс быть простыми числами Эйзенштейна для многочлена. (В квадратичных полях ветвление всегда полное, поэтому различие не видно в квадратичном случае, таком как $x 2 + x + 2$ выше.) Фактически, многочлены Эйзенштейна напрямую связаны с полностью разветвленными простыми числами следующим образом: если расширение поля рациональных чисел порождается корнем многочлена, который является многочленом Эйзенштейна в точке $p$ , то $p$ полностью разветвлено в расширении, и наоборот, если $p$ полностью разветвлено в числовом поле, то поле порождается корнем многочлена Эйзенштейна в точке $p$ . ^[6]

Обобщение

Обобщенный критерий

Пусть задана область целостности $D$ , и пусть будет элементом $D$ $[$ $x$ $]$ , кольца многочленов с коэффициентами в $D.$ $Q=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$

Предположим, что существует простой идеал $p$ из $D,$ такой что

$a i \in p$ для каждого $i \neq n$ ,
$а н \notin р$ , и
$a 0 \notin p 2$ , где $p 2$ — идеальное произведение p $на себя$ .

Тогда $Q$ не может быть записан как произведение двух непостоянных многочленов в $D [x]$ . Если вдобавок $Q$ примитивен (т. е. не имеет нетривиальных постоянных делителей ) , то он неприводим в $D$ $[$ $x$ $]$ . Если $D$ — уникальная факторизационная область с полем дробей $F$ , то по лемме Гаусса $Q$ неприводим в $F$ $[$ $x$ $]$ , независимо от того, примитивен он или нет (так как постоянные множители обратимы в $F$ $[$ $x$ $]$ ); в этом случае возможный выбор простого идеала — это главный идеал, порожденный любым неприводимым элементом $D$ . Последнее утверждение дает исходную теорему для $D$ $=$ $Z$ или (в формулировке Эйзенштейна) для $D$ $=$ $Z$ $[$ $i$ $]$ .

Доказательство

Доказательство этого обобщения аналогично доказательству исходного утверждения, рассматривающему сокращение коэффициентов по модулю $p$ ; существенным моментом является то, что одночленный многочлен над областью целостности $D / p$ не может быть разложен в произведение, в котором хотя бы один из множителей имеет более одного члена (поскольку в таком произведении не может быть сокращения в коэффициенте ни наивысшей, ни наименьшей возможной степени).

Пример

После $Z$ одним из основных примеров области целостности является кольцо многочленов $D = k [u]$ от переменной $u$ над полем $k$ . В этом случае главный идеал, порожденный $u,$ является простым идеалом. Критерий Эйзенштейна затем может быть использован для доказательства неприводимости многочлена, такого как $Q (x) = x 3 + ux + u$ в $D [x]$ . Действительно, $u$ не делит $a 3$ , $u 2$ не делит $a 0$ , и $u$ делит $a 0, a 1$ и $a 2$ . Это показывает, что этот многочлен удовлетворяет гипотезам обобщения критерия Эйзенштейна для простого идеала $p = (u) ,$ поскольку для главного идеала $(u)$ быть элементом $(u)$ эквивалентно делимости на $u$ .

Смотрите также

Примечания

^ ab Cox (2011).
^ Дорварт (1935).
↑ Шёнеманн (1846), стр. 100.
↑ Эйзенштейн (1850), стр. 166.
↑ Шёнеманн (1850), стр. 188.
^ Кассельс и Фрелих (1967), стр. 22–23, «Местные поля».

Ссылки

Кассельс, JWS; Фрелих, Альберт, ред. (1967), Алгебраическая теория чисел.
Кокс, Дэвид А. (2011), «Почему Эйзенштейн доказал критерий Эйзенштейна и почему Шенеманн открыл его первым», American Mathematical Monthly , 118 (1): 3–31, CiteSeerX 10.1.1.398.3440 , doi :10.4169/amer.math.monthly.118.01.003, S2CID 15978494.
Дорварт, HL (1935), «Неприводимость многочленов», American Mathematical Monthly , 42 (6): 369–381, doi :10.2307/2301357, JSTOR 2301357.
Eisenstein, Gotthold (1850), "Über die Irreductibilität und einige andere Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Theilung der ganzen Lemniscate abhängt", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1850 (39): 160–179, doi :10.1515/crll .1850.39.160, S2CID 122322672.
Гарлинг, DJH (1986), Курс теории Галуа , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-31249-3.
«Алгебраическое уравнение», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994].
Шенеман, Теодор (1846), «Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1846 (32): 93–118, doi : 10.1515/crll.1846.32.93, S2CID 120510090.
Шенеманн, Теодор (1850), «Über einige von Herrn Dr. Eisenstein aufgestellte Lehrsätze, неприводимый Congruenzen betreffend (S.182 Bd. 39 dieses Journals)», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1850 (40): 185–188, doi : 10.1515/crll.1850.40.185, S2CID 199547075.