Купол (геометрия)

Твердое тело, полученное путем соединения n- и 2n-угольников треугольниками и квадратами.

В геометрии купол представляет собой твердое тело , образованное путем соединения двух многоугольников , один (основание) с вдвое большим количеством ребер , чем другой, чередующейся полосой равнобедренных треугольников и прямоугольников . Если треугольники равносторонние , а прямоугольники — квадраты, а основание и противоположная ему грань — правильные многоугольники, то треугольные , квадратные и пятиугольные купола относятся к телам Джонсона и могут быть образованы, взяв сечения кубооктаэдра , ромбокубооктаэдра , и ромбокододекаэдр соответственно.

Купол можно рассматривать как призму , в которой один из многоугольников сложен пополам путем слияния альтернативных вершин.

Куполу можно присвоить расширенный символ Шлефли { n } || t{ n }, представляющий правильный многоугольник { n } , соединенный параллелью его усечения t { n } или {2 n }.

Купола — подкласс призматоидов .

Его двойник содержит форму, которая представляет собой своего рода сварной шов между половиной n -стороннего трапецоэдра и 2 n -сторонней пирамидой .

Примеры

Плоские « шестиугольные купола» в ромбо-шестиугольной черепице

Упомянутые выше три многогранника — единственные нетривиальные выпуклые купола с правильными гранями: « Шестиугольный купол» — плоская фигура, а треугольную призму можно считать «куполом» 2-й степени (купол отрезка и квадрат). Однако купола многоугольников более высокой степени могут быть построены с неправильными треугольными и прямоугольными гранями.

Координаты вершин

40-гранный купол имеет:

  40 равнобедренных треугольников ;

  40 прямоугольников;

  Верхний обычный 40-угольник ;

и нижний обычный 80-угольник (скрытый).

Определение купола не требует, чтобы основание (или сторона, противоположная основанию, которую можно назвать вершиной) была правильным многоугольником, но удобно рассмотреть случай, когда купол имеет максимальную симметрию C _{n v} . В этом случае вершиной является правильный n -угольник, а основанием является либо правильный 2n - угольник, либо 2n - угольник, у которого две разные длины сторон чередуются и те же углы, что и у правильного 2n - угольника. Удобно зафиксировать систему координат так, чтобы основание лежало в плоскости xy , а вершина - в плоскости, параллельной плоскости xy . Ось z является осью n -кратности, а плоскости зеркала проходят через ось z и делят стороны основания пополам. Они также делят пополам стороны или углы верхнего многоугольника, или и то, и другое. (Если n четное, половина зеркальных плоскостей делит пополам стороны верхнего многоугольника и половина пополам углов, а если n нечетное, каждая зеркальная плоскость делит пополам одну сторону и один угол верхнего многоугольника.) Вершины основания можно обозначить через , а вершины верхнего многоугольника можно обозначить через . С помощью этих соглашений координаты вершин можно записать как: ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2n},}$ ${\displaystyle V_{2n+1}}$ ${\displaystyle V_{3n}.}$

$${\displaystyle {\begin{array}{rllcc}V_{2j-1}:&{\biggl (}r_{b}\cos \left({\frac {2\pi (j-1)}{n}}+\alpha \right),&r_{b}\sin \left({\frac {2\pi (j-1)}{n}}+\alpha \right),&0{\biggr )}\\[2pt]V_{2j}:&{\biggl (}r_{b}\cos \left({\frac {2\pi j}{n}}-\alpha \right),&r_{b}\sin \left({\frac {2\pi j}{n}}-\alpha \right),&0{\biggr )}\\[2pt]V_{2n+j}:&{\biggl (}r_{t}\cos {\frac {\pi j}{n}},&r_{t}\sin {\frac {\pi j}{n}},&h{\biggr )}\end{array}}}$$

где j = 1, 2, ..., n .

Поскольку многоугольники и т. д. являются прямоугольниками, это накладывает ограничение на значения. Расстояние равно ${\displaystyle V_{1}V_{2}V_{2n+2}V_{2n+1},}$ ${\displaystyle r_{b},r_{t},\alpha .}$ ${\displaystyle {\bigl |}V_{1}V_{2}{\bigr |}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{b}{\sqrt {\left[\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-\cos \alpha \right]^{2}+\left[\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-\sin \alpha \right]^{2}}}\\=\ &r_{b}{\sqrt {\left[\cos ^{2}\left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-2\cos \left({\tfrac {2pi}{n}}-\alpha \right)\cos \alpha +\cos ^{2}\alpha \right]+\left[\sin ^{2}\left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-2\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)\sin \alpha +\sin ^{2}\alpha \right]}}\\=\ &r_{b}{\sqrt {2\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)\cos \alpha -\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)\sin \alpha \right]}}\\=\ &r_{b}{\sqrt {2\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-2\alpha \right)\right]}}\end{aligned}}}$$

а расстояние равно ${\displaystyle {\bigl |}V_{2n+1}V_{2n+2}{\bigr |}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{t}{\sqrt {\left[\cos {\tfrac {\pi }{n}}-1\right]^{2}+\sin ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}}}\\=\ &r_{t}{\sqrt {\left[\cos ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}-2\cos {\tfrac {\pi }{n}}+1\right]+\sin ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}}}\\=\ &r_{t}{\sqrt {2\left[1-\cos {\tfrac {\pi }{n}}\right]}}\end{aligned}}}$$

Они должны быть равны, и если это общее ребро обозначено s ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{b}&={\frac {s}{\sqrt {2\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-2\alpha \right)\right]}}}\\[4pt]r_{t}&={\frac {s}{\sqrt {2\left[1-\cos {\tfrac {\pi }{n}}\right]}}}\end{aligned}}}$$

Эти значения необходимо подставить в приведенные ранее выражения для координат вершин.

Звезды-купола

Звездные купола существуют для всех оснований { n / d } , где 6/5 < n / d < 6 и d нечетно. На границах купола схлопываются в плоские фигуры: за пределами треугольники и квадраты больше не могут охватывать расстояние между двумя многоугольниками (это все еще можно сделать, если треугольники или квадраты неправильные). Когда d четно, нижнее основание {2 n / d } становится вырожденным: мы можем сформировать купол или полукупол , убрав эту вырожденную грань и вместо этого позволив треугольникам и квадратам соединяться здесь друг с другом. В частности, тетрагемигексаэдр можно рассматривать как {3/2}-куполоид. Все купола ориентируемые , а куполоиды неориентируемые. При n / d > 2 в куполоиде треугольники и квадраты не покрывают все основание, и в основании остается небольшая мембрана, которая просто закрывает пустое пространство. Следовательно, куполоиды {5/2} и {7/2}, изображенные выше, имеют мембраны (не заполнены), а куполоиды {5/4} и {7/4}, изображенные выше, - нет.

Высота h { n / d } -купола или купола определяется по формуле

$${\displaystyle h={\sqrt {1-{\frac {1}{4\sin ^{2}{\frac {\pi d}{n}}}}}}}$$

h = 0n / d = 6n / d = 6/5hn / d = 2^{[1] [2]}

На изображениях выше куполам звезд присвоена последовательная цветовая схема, чтобы облегчить идентификацию их лиц: основание { n / d } -угольника — красного цвета, основание { 2n / d } -угольника — желтого, квадраты — синего цвета. и треугольники зеленые. У куполоидов основание { n / d } -красный угольник, квадраты жёлтые, а треугольники синие, так как другое основание убрано.

Антикупола

n -угольный антикупол состоит из правильного 2 n -угольного основания, 3 n треугольников двух типов и правильной n -угольной вершины. Для n = 2 верхняя грань двуугольника сводится к одному ребру. Вершины верхнего многоугольника совпадают с вершинами нижнего многоугольника. Симметрия C _{n v} порядка  2 n .

Антикупол не может быть построен со всеми правильными гранями, ^{хотя некоторые из} них можно сделать правильными. Если верхний n -угольник и треугольники правильные, то основание 2 n -угольника не может быть плоским и правильным. В таком случае n = 6 порождает правильный шестиугольник и окружающие его равносторонние треугольники плосконосой шестиугольной мозаики , которую можно замкнуть в многоугольник нулевого объема с основанием в виде симметричного 12-угольника, имеющего форму большего шестиугольника, имеющего смежные пары коллинеарных края.

Два антикупола можно соединить на основании в биантикупол.

Гиперкуполы

Гиперкуполы или многогранные купола представляют собой семейство выпуклых неоднородных полихор (здесь четырехмерных фигур), аналогичных куполам. Основаниями каждого из них являются Платоново тело и его расширение . ^[3]

Смотрите также

• Ортобикупола
• Гиробикупола
• Ротонда

Рекомендации

1. "Купола". www.orchidpalms.com . Проверено 21 апреля 2018 г.
2. "полукупола". www.orchidpalms.com . Проверено 21 апреля 2018 г.
3. Выпуклая сегментохора Доктор Ричард Клитцинг, Симметрия: культура и наука, Vol. 11, № 1-4, 139-181, 2000 г.

• Джонсон, С.В. Выпуклые многогранники с правильными гранями. Может. Дж. Математика. 18, 169–200, 1966.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Купол». Математический мир .
• Сегментотопы