Кусочно-линейная функция

Тип математической функции

В математике и статистике кусочно -линейная , PL или сегментированная функция — это вещественнозначная функция действительной переменной, график которой состоит из отрезков прямых. ^[1]

Определение

Кусочно-линейная функция — это функция, определенная на (возможно, неограниченном) интервале действительных чисел , так что существует набор интервалов, на каждом из которых функция является аффинной функцией . (Таким образом, «кусочно-линейный» на самом деле означает «кусочно- аффинный ».) Если область определения функции компактна , должен существовать конечный набор таких интервалов; если область некомпактна, может потребоваться, чтобы она была конечной или локально конечной в действительных числах.

Примеры

Непрерывная кусочно-линейная функция

Функция, определенная

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-x-3&{\text{if }}x\leq -3\\x+3&{\text{if }}-3<x<0\\-2x+3&{\text{if }}0\leq x<3\\0.5x-4.5&{\text{if }}x\geq 3\end{cases}}}$

кусочно-линейная, состоящая из четырех частей. График этой функции показан справа. Поскольку график affine(*) функции представляет собой прямую , график кусочно-линейной функции состоит из отрезков и лучей . Значения x (в приведенном выше примере -3, 0 и 3), при которых изменяется наклон, обычно называются точками останова, точками изменения, пороговыми значениями или узлами. Как и во многих приложениях, эта функция также непрерывна. График непрерывной кусочно-линейной функции на компактном отрезке представляет собой ломаную цепь .

Другие примеры кусочно-линейных функций включают функцию абсолютного значения , пилообразную функцию и функцию пола .

(*) Линейная функция удовлетворяет по определению и, следовательно, в частности ; Функции, график которых представляет собой прямую линию, являются аффинными , а не линейными . ${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda f(x)}$ ${\displaystyle f(0)=0}$

Подгонка к кривой

Функция (синий) и ее кусочно-линейное приближение (красный)

Приближение известной кривой можно найти путем выборки кривой и линейной интерполяции между точками. Опубликован алгоритм расчета наиболее значимых точек с учетом заданной погрешности. ^[2]

Подгонка к данным

Если разделы, а затем точки останова уже известны, линейную регрессию можно выполнить независимо для этих разделов. Однако в этом случае не сохраняется непрерывность, а также нет единой эталонной модели, лежащей в основе наблюдаемых данных. Получен устойчивый алгоритм для этого случая. ^[3]

Если разбиения неизвестны, остаточную сумму квадратов можно использовать для выбора оптимальных точек разделения. ^[4] Однако эффективное вычисление и совместная оценка всех параметров модели (включая точки останова) могут быть получены с помощью итерационной процедуры ^[5] , которая в настоящее время реализована в пакете segmented^[6] для языка R.

Вариант обучения дерева решений , называемый деревьями моделей, изучает кусочно-линейные функции. ^[7]

Обозначения

Кусочно-линейная функция в двух измерениях (вверху) и выпуклые многогранники, на которых она линейна (внизу)

Понятие кусочно-линейной функции имеет смысл в нескольких различных контекстах. Кусочно-линейные функции могут быть определены в n -мерном евклидовом пространстве или, в более общем смысле, в любом векторном или аффинном пространстве , а также на кусочно-линейных многообразиях и симплициальных комплексах (см. симплициальное отображение ). В каждом случае функция может быть вещественной или принимать значения из векторного пространства, аффинного пространства, кусочно-линейного многообразия или симплициального комплекса. (В этих контекстах термин «линейный» относится не только к линейным преобразованиям , но и к более общим аффинным линейным функциям.)

В размерностях больше единицы обычно требуется, чтобы домен каждой части был многоугольником или многогранником . Это гарантирует, что график функции будет состоять из многоугольных или многогранных частей.

Важные подклассы кусочно-линейных функций включают непрерывные кусочно-линейные функции и выпуклые кусочно-линейные функции. В общем случае для каждой n -мерной непрерывной кусочно-линейной функции существует ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \Pi \in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n+1}))}$

такой, что

${\displaystyle f({\vec {x}})=\min _{\Sigma \in \Pi }\max _{({\vec {a}},b)\in \Sigma }{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}+b.}$^[8]

Если выпукло и непрерывно, то существует ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \Sigma \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n+1})}$

такой, что

${\displaystyle f({\vec {x}})=\max _{({\vec {a}},b)\in \Sigma }{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}+b.}$

Сплайны обобщают кусочно-линейные функции до полиномов более высокого порядка, которые, в свою очередь, содержатся в категории кусочно-дифференцируемых функций PDIFF .

Приложения

Реакция растений на глубину грунтовых вод ^[9]

Пример реакции сельскохозяйственных культур на засоление почвы ^[10]

В сельском хозяйстве кусочный регрессионный анализ измеренных данных используется для определения диапазона, в котором факторы роста влияют на урожайность, и диапазона, в котором культура не чувствительна к изменениям этих факторов.

На изображении слева показано, что при неглубоких грунтовых водах урожайность снижается, тогда как при более глубоких (> 7 дм) урожайность не меняется. График построен с использованием метода наименьших квадратов , чтобы найти два сегмента с наилучшим соответствием .

График справа показывает, что урожайность сельскохозяйственных культур выдерживает засоление почвы до ECe = 8 дСм/м (ECe — электропроводность экстракта насыщенного образца почвы), а за пределами этого значения урожайность сельскохозяйственных культур снижается. График построен методом частичной регрессии для определения самого длинного диапазона «отсутствия эффекта», т.е. там, где линия горизонтальна. Два сегмента не обязательно должны соединяться в одной точке. Только для второго отрезка используется метод наименьших квадратов.

Смотрите также

• Кусочно-постоянная функция
• Линейная интерполяция
• Сплайн-интерполяция
• Тропическая геометрия
• Полигональная цепочка

дальнейшее чтение

• Аппс П., Лонг Н. и Рис Р. (2014). Оптимальное кусочно-линейное налогообложение прибыли. Журнал государственной экономической теории , 16 (4), 523–545.

Рекомендации

1. Стэнли, Уильям Д. (2004). Технический анализ и приложения с Matlab . Cengage Обучение. п. 143. ИСБН 978-1401864811.
2. Хаманн, Б.; Чен, JL (1994). «Выбор точки данных для аппроксимации кусочно-линейной кривой» (PDF) . Компьютерное геометрическое проектирование . 11 (3): 289. дои : 10.1016/0167-8396(94)90004-3.
3. Головченко, Николай. «Аппликация непрерывной кусочно-линейной функции методом наименьших квадратов» . Проверено 6 декабря 2012 г.
4. Вит, Э. (1989). «Подбор функций кусочно-линейной регрессии к биологическим реакциям». Журнал прикладной физиологии . 67 (1): 390–396. дои : 10.1152/яп.1989.67.1.390. ПМИД  2759968.
5. Муггео, VMR (2003). «Оценка моделей регрессии с неизвестными точками излома». Статистика в медицине . 22 (19): 3055–3071. дои : 10.1002/сим.1545. PMID  12973787. S2CID  36264047.
6. Муггео, VMR (2008). «Сегментированный: пакет R для соответствия моделям регрессии с ломаными связями» (PDF) . Р Новости . 8 : 20–25.
7. Ландвер, Н.; Холл, М.; Франк, Э. (2005). «Деревья логистических моделей» (PDF) . Машинное обучение . 59 (1–2): 161–205. дои : 10.1007/s10994-005-0466-3 . S2CID  6306536.
8. Овчинников, Сергей (2002). «Макс-мин представление кусочно-линейных функций». Beiträge zur Algebra und Geometry . 43 (1): 297–302. arXiv : math/0009026 . МР  1913786.
9. Калькулятор кусочной регрессии.
10. Калькулятор частичной регрессии.