Уравнения телеграфиста

Математическое описание напряжения и тока линии электропередачи

Уравнения телеграфиста ( или просто уравнения телеграфа ) представляют собой набор из двух связанных линейных уравнений, которые предсказывают распределение напряжения и тока на линейной линии электропередачи . Уравнения важны, поскольку они позволяют анализировать линии передачи с использованием теории цепей . ^[1] Уравнения и их решения применимы от 0 Гц (т. е. постоянного тока) до частот, на которых структура линии передачи может поддерживать более высокие порядки не-TEM моды . ^{[2] : 282–286} Уравнения могут быть выражены как во временной, так и в частотной области . Во временной области независимыми переменными являются расстояние и время. Результирующие уравнения временной области являются частными дифференциальными уравнениями как времени, так и расстояния. В частотной области независимыми переменными являются расстояние и либо частота , , либо комплексная частота , . Переменные частотной области могут быть взяты как преобразование Лапласа или преобразование Фурье переменных временной области, или они могут быть взяты как векторы . Результирующие уравнения частотной области являются обыкновенными дифференциальными уравнениями расстояния. Преимущество подхода в частотной области заключается в том, что дифференциальные операторы во временной области становятся алгебраическими операциями в частотной области. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle s}$

Уравнения исходят от Оливера Хевисайда , который разработал модель линии передачи , начиная с статьи в августе 1876 года « О дополнительном токе» . ^[3] Модель демонстрирует, что электромагнитные волны могут отражаться от провода, и что волновые узоры могут формироваться вдоль линии. Первоначально разработанная для описания телеграфных проводов, теория может также применяться к радиочастотным проводникам , звуковой частоте (например, телефонным линиям ), низкой частоте (например, линиям электропередач) и импульсам постоянного тока .

Распределенные компоненты

Схематическое изображение элементарных компонентов линии электропередачи

Уравнения телеграфиста, как и все другие уравнения, описывающие электрические явления, являются результатом уравнений Максвелла . В более практическом подходе предполагается, что проводники состоят из бесконечного ряда двухполюсных элементарных компонентов, каждый из которых представляет собой бесконечно короткий сегмент линии передачи:

• Распределенное сопротивление проводников представлено последовательным резистором (выражено в омах на единицу длины). В практических проводниках на более высоких частотах увеличивается приблизительно пропорционально квадратному корню частоты из-за скин-эффекта . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$
• Распределенная индуктивность (обусловленная магнитным полем вокруг проводов, самоиндукцией и т. д.) представлена ​​последовательной катушкой индуктивности ( генри на единицу длины). ${\displaystyle L}$
• Емкость между двумя проводниками представлена ​​шунтирующим конденсатором ( фарад на единицу длины). ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$
• Проводимость диэлектрического материала , разделяющего два проводника, представлена ​​шунтирующим резистором между сигнальным проводом и обратным проводом ( сименс на единицу длины). Этот резистор в модели имеет сопротивление . учитывает как объемную проводимость диэлектрика, так и диэлектрические потери . Если диэлектрик представляет собой идеальный вакуум, то . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R_{\text{shunt}}={\frac {1}{G}}\,\mathrm {ohms} }$ ${\displaystyle \ G\ }$ ${\displaystyle G\equiv 0\,}$

Модель состоит из бесконечного ряда бесконечно малых элементов, показанных на рисунке, и что значения компонентов указаны на единицу длины , поэтому изображение компонента может ввести в заблуждение. Альтернативное обозначение — использовать , , , и , чтобы подчеркнуть, что значения являются производными по отношению к длине, и что единицы измерения сочетаются правильно. Эти величины также могут быть известны как константы первичной линии, чтобы отличать их от констант вторичной линии, полученных из них, которые являются характеристическим импедансом , постоянной распространения , постоянной затухания и фазовой постоянной . Все эти константы постоянны по отношению ко времени, напряжению и току. Они могут быть непостоянными функциями частоты. ${\displaystyle R'}$ ${\displaystyle L'}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle G'}$

Роль различных компонентов

Схема, показывающая волну, текущую вправо по линии передачи без потерь. Черные точки представляют электроны , а стрелки показывают электрическое поле.

Роль различных компонентов можно наглядно представить с помощью анимации справа.

Индуктивность L

Индуктивность связывает ток с энергией, запасенной в магнитном поле. Это создает впечатление, что ток имеет инерцию – т. е. при большой индуктивности трудно увеличить или уменьшить ток в любой заданной точке. Большая индуктивность L заставляет волну двигаться медленнее, так же как волны распространяются медленнее по тяжелой веревке, чем по легкой струне. Большая индуктивность также увеличивает волновое сопротивление линии ( больше напряжения, необходимого для проталкивания того же переменного тока через линию).

Емкость С

Емкость связывает напряжение с энергией, запасенной в электрическом поле. Она контролирует, насколько сгруппированные электроны внутри каждого проводника отталкивают, притягивают или отклоняют электроны в другом проводнике. Отклоняя некоторые из этих сгруппированных электронов, скорость волны и ее сила (напряжение) уменьшаются. При большей емкости, C , отталкивание меньше, потому что другая линия (которая всегда имеет противоположный заряд) частично нейтрализует эти отталкивающие силы внутри каждого проводника. Большая емкость равна более слабым восстанавливающим силам , заставляя волну двигаться немного медленнее, а также придает линии передачи меньшее волновое сопротивление ( меньшее напряжение, необходимое для проталкивания того же переменного тока через линию).

Сопротивление R

Сопротивление соответствует внутреннему сопротивлению двух линий, объединенных вместе. Это сопротивление R связывает ток с омическими потерями , которые немного снижают напряжение вдоль линии, поскольку тепло откладывается в проводнике, оставляя ток неизменным. Как правило, сопротивление линии очень мало по сравнению с индуктивным сопротивлением ωL на радиочастотах и ​​для простоты рассматривается как равное нулю, при этом любое рассеивание напряжения или нагрев провода учитываются как поправки к расчету «линии без потерь» или просто игнорируются.

Проводимость G

Проводимость между линиями показывает, насколько хорошо ток может «просачиваться» из одной линии в другую. Проводимость связывает напряжение с диэлектрическими потерями, отложенными в виде тепла в то, что служит изоляцией между двумя проводниками. G уменьшает распространяющийся ток, шунтируя его между проводниками. Как правило, изоляция проводов (включая воздух) довольно хороша, а проводимость почти ничто по сравнению с емкостной проводимостью ωC и для простоты рассматривается как равная нулю.

Все четыре параметра L , C , R , и G зависят от материала, используемого для изготовления кабеля или фидерной линии. Все четыре изменяются с частотой: R , и G имеют тенденцию к увеличению для более высоких частот, а L и C имеют тенденцию к снижению с ростом частоты. На рисунке справа показана линия передачи без потерь, где и R , и G равны нулю, что является простейшей и, безусловно, наиболее распространенной формой используемых уравнений телеграфиста, но немного нереалистично (особенно относительно R ).

Значения основных параметров телефонного кабеля

Типичные данные параметров для телефонного кабеля с полиэтиленовой изоляцией (PIC) калибра 24 при 70 °F (294 К)

Эти данные взяты из работы Рива (1995). ^[4] Изменение и в основном обусловлено скин-эффектом и эффектом близости . Постоянство емкости является следствием преднамеренного дизайна. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$

Изменение G можно вывести из Термана: «Коэффициент мощности ... имеет тенденцию быть независимым от частоты, поскольку доля энергии, теряемая в течение каждого цикла ... существенно независима от числа циклов в секунду в широких диапазонах частот». ^[5] Функция формы с близким к 1,0 соответствовала бы утверждению Термана. Чен ^[6] дает уравнение похожей формы. Тогда как G (·) является проводимостью как функцией частоты, , и являются действительными константами. $${\displaystyle G(f)=G_{1}\cdot \left({\frac {f}{f_{1}}}\right)^{g_{\mathrm {e} }}}$$ ${\displaystyle g_{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle G_{1},\,f_{1}}$ ${\displaystyle g_{e}}$

Обычно резистивные потери растут пропорционально , а диэлектрические потери растут пропорционально с , поэтому на достаточно высокой частоте диэлектрические потери превысят резистивные потери. На практике, до того как эта точка будет достигнута, используется линия передачи с лучшим диэлектриком. В жестком коаксиальном кабеле большой протяженности , чтобы получить очень низкие диэлектрические потери, твердый диэлектрик может быть заменен воздухом с пластиковыми прокладками через определенные интервалы, чтобы удерживать центральный проводник на оси. ${\displaystyle f^{1/2}}$ ${\displaystyle f^{g_{\mathrm {e} }}}$ ${\displaystyle g_{\mathrm {e} }\approx 1}$

Уравнения

Временная область

Уравнения телеграфиста во временной области следующие: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)&=-L\,{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-RI(x,t)\\[1ex]{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)&=-C\,{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)-GV(x,t)\end{aligned}}}$$

Их можно объединить, чтобы получить два уравнения в частных производных, каждое из которых имеет только одну зависимую переменную, либо , либо : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V(x,t)-LC\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}V(x,t)&=\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)+GR\,V(x,t)\\[1ex]{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}I(x,t)-LC\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}I(x,t)&=\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)+GR\,I(x,t)\end{aligned}}}$$

За исключением зависимой переменной ( или ) формулы идентичны. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$

Частотная область

Уравнения телеграфиста в частотной области разработаны в схожих формах в следующих источниках: Kraus, ^[7] Hayt, ^[1] Marshall, ^{[8] : 59–378} Sadiku, ^{[9] : 497–505} Harrington, ^[10] Karakash, ^[11] Metzger. ^[12] Первое уравнение означает, что , распространяющееся напряжение в точке , уменьшается на потерю напряжения, производимую , током в этой точке, проходящим через последовательное сопротивление . Второе уравнение означает, что , распространяющийся ток в точке , уменьшается на потерю тока, производимую , напряжением в этой точке, появляющимся через шунтирующую проводимость . $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {V} _{\omega }(x)&=-\left(j\omega L_{\omega }+R_{\omega }\right)\mathbf {I} _{\omega }(x),\\[1ex]{\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {I} _{\omega }(x)&=-\left(j\omega C_{\omega }+G_{\omega }\right)\mathbf {V} _{\omega }(x).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {V} _{\omega }(x)\,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{\omega }(x)\,}$ ${\displaystyle R+j\omega L}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{\omega }(x)\,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {V} _{\omega }(x)\,}$ ${\displaystyle G+j\omega C\,}$

Нижний индекс ω указывает на возможную частотную зависимость. и являются векторами . ${\displaystyle \mathbf {I} _{\omega }(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {V} _{\omega }(x)}$

Эти уравнения можно объединить для получения двух дифференциальных уравнений в частных производных с одной переменной . где ^{[1] : 385} называется константой затухания , а называется фазовой константой . $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\mathbf {V} _{\omega }(x)&=\gamma ^{2}\mathbf {V} _{\omega }(x)\\[1ex]{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\mathbf {I} _{\omega }(x)&=\gamma ^{2}\mathbf {I} _{\omega }(x)\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \gamma \equiv \alpha +j\beta \equiv {\sqrt {\left(R_{\omega }+j\omega L_{\omega }\right)\left(G_{\omega }+j\omega C_{\omega }\right)}}}$
${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Однородные растворы

Каждое из предыдущих уравнений в частных производных имеет два однородных решения в бесконечной линии передачи.

Для уравнения напряжения $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {V} _{\omega ,F}(x)=\mathbf {V} _{\omega ,F}(a)\,e^{+\gamma (a-x)}\,;\\[1ex]\mathbf {V} _{\omega ,R}(x)=\mathbf {V} _{\omega ,R}(b)\,e^{-\gamma (b-x)}\,;\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {V} _{\omega }(x)=\mathbf {V} _{\omega ,F}(x)+\mathbf {V} _{\omega ,R}(x)\,.}$$

Для текущего уравнения $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {I} _{\omega ,F}(x)=\mathbf {I} _{\omega ,F}(a)\,e^{+\gamma (a-x)}\,;\\\mathbf {I} _{\omega ,R}(x)=\mathbf {I} _{\omega ,R}(b)\,e^{-\gamma (b-x)}\,;\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {I} _{\omega }(x)=\mathbf {I} _{\omega ,F}(x)-\mathbf {I} _{\omega ,R}(x)\,.}$$

Отрицательный знак в предыдущем уравнении указывает на то, что ток в обратной волне движется в противоположном направлении.

Примечание: применяются следующие определения символов: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {V} _{\omega ,F}(x)=\mathbf {Z} _{c}\,\mathbf {I} _{\omega ,F}(x),\\[0.4ex]\mathbf {V} _{\omega ,R}(x)=\mathbf {Z} _{c}\,\mathbf {I} _{\omega ,R}(x),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {Z} _{c}={\sqrt {\frac {R_{\omega }+j\omega L_{\omega }}{G_{\omega }+j\omega C_{\omega }}}}\,,}$$

Конечная длина

Коаксиальная линия передачи с одним источником и одной нагрузкой

Джонсон дает следующее решение ^{[2] : 739–741} , где и — длина линии передачи. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {V} _{\mathsf {L}}}{\mathbf {V} _{\mathsf {S}}}}&=\left[\left({\frac {\mathbf {H} ^{-1}+\mathbf {H} }{2}}\right)\left(1+{\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}}{\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}}}\right)+\left({\frac {\mathbf {H} ^{-1}-\mathbf {H} }{2}}\right)\left({\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}}{\mathbf {\mathbf {Z} } _{\mathsf {C}}}}+{\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {C}}}{\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}}}\right)\right]^{-1}\\[2ex]&={\frac {\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}\mathbf {Z} _{\mathsf {C}}}{\mathbf {Z} _{\mathsf {C}}\left(\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}+\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}\right)\cosh \left({\boldsymbol {\gamma }}x\right)+\left(\mathbf {Z} _{\mathsf {L}}\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}+\mathbf {Z} _{\mathsf {C}}^{2}\right)\sinh \left({\boldsymbol {\gamma }}x\right)}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {H} \equiv e^{-{\boldsymbol {\gamma }}x},}$ ${\displaystyle x}$

В частном случае, когда все импедансы равны, решение сводится к . ${\displaystyle \mathbf {Z} _{\mathsf {L}}=\mathbf {Z} _{\mathsf {S}}=\mathbf {Z} _{\mathsf {C}},}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbf {V} _{\mathsf {L}}}{\mathbf {V} _{\mathsf {S}}}}={\frac {1}{2}}e^{-{\boldsymbol {\gamma }}x}\,}$

Передача без потерь

При и сопротивлением провода и проводимостью изоляции можно пренебречь, и линия передачи рассматривается как идеальная структура без потерь. В этом случае модель зависит только от элементов L и C. Уравнения телеграфиста тогда описывают соотношение между напряжением V и током I вдоль линии передачи, каждое из которых является функцией положения x и времени t : ${\displaystyle \omega L\gg R}$ ${\displaystyle \omega C\gg G}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V(x,t)\\[.5ex]I&=I(x,t)\end{aligned}}}$$

Уравнения для линий передачи без потерь

Сами уравнения состоят из пары связанных уравнений в частных производных первого порядка . Первое уравнение показывает, что индуцированное напряжение связано со скоростью изменения тока через индуктивность кабеля, тогда как второе уравнение показывает, что ток, потребляемый емкостью кабеля, связан со скоростью изменения напряжения во времени. $${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial x}}=-L{\frac {\partial I}{\partial t}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial x}}=-C{\frac {\partial V}{\partial t}}}$$

Эти уравнения можно объединить, чтобы сформировать два точных волновых уравнения , одно для напряжения , другое для тока : где — скорость распространения волн, проходящих через линию передачи. Для линий передачи, изготовленных из параллельных идеальных проводников с вакуумом между ними, эта скорость равна скорости света. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}-{\tilde {v}}^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}&=0\\[1ex]{\frac {\partial ^{2}I}{\partial t^{2}}}-{\tilde {v}}^{2}{\frac {\partial ^{2}I}{\partial x^{2}}}&=0\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\tilde {v}}\equiv {\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$$

Синусоидальный установившийся режим

В случае синусоидального установившегося состояния (т.е. когда подано чистое синусоидальное напряжение и переходные процессы прекратились), напряжение и ток принимают форму однотональных синусоидальных волн: где - угловая частота установившейся волны. В этом случае уравнения телеграфиста сводятся к $${\displaystyle {\begin{aligned}V(x,t)&={\mathcal {R_{e}}}{\bigl \{}V(x)\,e^{j\omega t}{\bigr \}}\,,\\[1ex]I(x,t)&={\mathcal {R_{e}}}{\bigl \{}I(x)\,e^{j\omega t}{\bigr \}}\,,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dV}{dx}}=-j\omega LI=-L{\frac {dI}{dt}}\\[1ex]{\frac {dI}{dx}}=-j\omega CV=-C{\frac {dV}{dt}}\end{aligned}}}$$

Аналогично волновые уравнения сводятся к виду, где k — волновое число: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}V}{dx^{2}}}+k^{2}V&=0\\[1ex]{\frac {d^{2}I}{dx^{2}}}+k^{2}I&=0\\[1ex]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle k\equiv \omega {\sqrt {LC}}={\frac {\omega }{\tilde {v}}}.}$$

Каждое из этих двух уравнений имеет форму одномерного уравнения Гельмгольца .

В случае без потерь можно показать, что и где в этом частном случае — действительная величина, которая может зависеть от частоты, а — характеристическое сопротивление линии передачи, которое для линии без потерь определяется как и , а — произвольные константы интегрирования, определяемые двумя граничными условиями (по одному для каждого конца линии передачи). $${\displaystyle V(x)=V_{1}\,e^{-jkx}+V_{2}\,e^{+jkx}}$$ $${\displaystyle I(x)={\frac {V_{1}}{Z_{\mathsf {o}}}}\,e^{-jkx}-{\frac {V_{2}}{Z_{\mathsf {o}}}}\,e^{+jkx}}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Z_{\mathsf {o}}}$ $${\displaystyle Z_{\mathsf {o}}={\sqrt {\frac {L}{C}}}}$$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$

Это сопротивление не меняется по длине линии, поскольку L и C постоянны в любой точке линии, при условии, что геометрия поперечного сечения линии остается постоянной.

Линия без потерь и линия без искажений обсуждаются в работах Садику (1989) ^{[9] : 501–503} и Маршалла (1987) . ^{[8] : 369–372} harvp error: no target: CITEREFMarshall1987 (help)

Случай без потерь, общее решение

В случае отсутствия потерь ( ) ${\displaystyle R=G=0}$ наиболее общее решение волнового уравнения для напряжения представляет собой сумму прямой бегущей волны и обратной бегущей волны: где $${\displaystyle V(x,t)=f_{1}(x-{\tilde {v}}t)+f_{2}(x+{\tilde {v}}t)}$$

• ${\displaystyle f_{1}}$и могут быть любыми двумя аналитическими функциями , и ${\displaystyle f_{2}}$
• ${\displaystyle {\tilde {v}}\equiv {\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$— скорость распространения волны (также известная как фазовая скорость ).

Здесь представляет собой амплитудный профиль волны, движущейся слева направо – в положительном направлении – в то время как представляет собой амплитудный профиль волны, движущейся справа налево. Видно, что мгновенное напряжение в любой точке линии является суммой напряжений, обусловленных обеими волнами. ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle x}$

Используя соотношения тока и напряжения , заданные уравнениями телеграфа, мы можем записать ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle I(x,t)={\frac {1}{Z_{\mathsf {o}}}}{\Bigl [}f_{1}(x-{\tilde {v}}t)-f_{2}(x+{\tilde {v}}t){\Bigr ]}\,.}$$

Линия передачи с потерями

При наличии потерь решение телеграфного уравнения имеет как затухание, так и дисперсию, что видно при сравнении с решением волнового уравнения без потерь.

Когда элементы потерь и слишком существенны, чтобы их игнорировать, дифференциальные уравнения, описывающие элементарный сегмент линии, имеют вид ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)&=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-R\,I(x,t)\,,\\[6pt]{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)&=-C{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)-G\,V(x,t)\,.\end{aligned}}}$$

Дифференцируя оба уравнения по x и применяя некоторую алгебру, мы получаем пару гиперболических уравнений в частных производных, каждое из которых содержит только одно неизвестное: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V&=LC{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}V+\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}V+GRV,\\[6pt]{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}I&=LC{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}I+\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}I+GRI.\end{aligned}}}$$

Эти уравнения напоминают однородное волновое уравнение с дополнительными членами в V и I и их первыми производными. Эти дополнительные члены вызывают затухание сигнала и его распространение со временем и расстоянием. Если линия передачи имеет лишь незначительные потери ( ${\displaystyle R\ll \omega L}$ и ), сила сигнала будет затухать с расстоянием, как , где . ^[13] ${\displaystyle G\ll \omega C}$ ${\displaystyle e^{-\alpha x}}$ ${\displaystyle \alpha \approx {\frac {R}{2Z_{0}}}+{\frac {GZ_{0}}{2}}~}$

Решения уравнений телеграфиста как компоненты цепи

Эквивалентная схема несбалансированной линии передачи (например, коаксиального кабеля), где: 2/ Z _o — проводимость источника тока, управляемого напряжением (VCCS), x — длина линии передачи, Z ( s ) ≡ Z _o ( s ) — характеристическое сопротивление, T ( s ) — функция распространения, γ ( s ) — «константа» распространения, s ≡ j ω , а j ² ≡ −1 .

Решения уравнений телеграфиста могут быть вставлены непосредственно в схему в качестве компонентов. Схема на рисунке реализует решения уравнений телеграфиста. ^[14]

Решение уравнений телеграфиста можно выразить как двухполюсник ABCD со следующими определяющими уравнениями ^{[11] : 5–14, 44} где и так же, как в предыдущих разделах. Параметры линии R _ω , L _ω , G _ω и C _ω имеют нижний индекс ω, чтобы подчеркнуть, что они могут быть функциями частоты. $${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}&=V_{2}\cosh(\gamma x)+I_{2}Z_{\mathsf {o}}\sinh(\gamma x)\,,\\[1ex]I_{1}&={\frac {V_{2}}{Z_{\mathsf {o}}}}\sinh(\gamma x)+I_{2}\cosh(\gamma x)\,.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle Z_{\mathsf {o}}\equiv {\sqrt {\frac {R_{\omega }+j\omega L_{\omega }}{G_{\omega }+j\omega C_{\omega }}}},}$$ $${\displaystyle \gamma \equiv {\sqrt {\left(R_{\omega }+j\omega L_{\omega }\right)\left(G_{\omega }+j\omega C_{\omega }\right)}},}$$

Четырехполюсник типа ABCD дает и как функции от и . Соотношения напряжения и тока симметричны: оба уравнения, показанные выше, при решении относительно и как функций от и дают точно такие же соотношения, просто с обратными индексами "1" и "2", а знаки членов сделаны отрицательными (направление "1"→"2" меняется на "1"←"2", отсюда и смена знака). ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle I_{2}\,}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle \sinh }$

Каждая двухпроводная или сбалансированная линия передачи имеет неявный (или в некоторых случаях явный) третий провод, который называется экраном , оболочкой, общим, землей или заземлением. Таким образом, каждая двухпроводная сбалансированная линия передачи имеет два режима, которые номинально называются дифференциальным режимом и общим режимом . Схема, показанная на нижней диаграмме, может моделировать только дифференциальный режим.

В верхней схеме удвоители напряжения, дифференциальные усилители и импедансы Z _o ( s ) отвечают за взаимодействие линии передачи с внешней цепью. Эта схема является полезным эквивалентом для несимметричной линии передачи, такой как коаксиальный кабель .

Они не являются уникальными: возможны и другие эквивалентные схемы.

Смотрите также

• Отражения сигналов на проводящих линиях
• Закон квадратов , предварительная работа лорда Кельвина по этому вопросу

Ссылки

1. Hayt, William H. (1989). Engineering Electromagnetics (5-е изд.). McGraw-Hill. стр. 381–392. ISBN 0070274061– через Интернет-архив (archive.org).
2. Джонсон, Ховард; Грэм, Мартин (2003). Высокоскоростное распространение сигнала (1-е изд.). Prentice-Hall. ISBN 0-13-084408-X.
3. Хант, Брюс Дж. (2005). Максвеллианцы . Итака, Нью-Йорк, США: Cornell University Press . стр. 66–67. ISBN 0-80148234-8.
4. Рив, Уитман Д. (1995). Справочник по сигнализации и передаче абонентского контура. IEEE Press . стр. 558. ISBN 0-7803-0440-3.
5. Терман, Фредерик Эммонс (1943). Справочник радиоинженера (1-е изд.). McGraw-Hill . стр. 112.
6. Чен, Уолтер Ю. (2004). Основы домашних сетей . Prentice Hall . стр. 26. ISBN 0-13-016511-5.
7. Краус, Джон Д. (1984). Электромагнетизм (3-е изд.). McGraw-Hill. С. 380–419. ISBN 0-07-035423-5.
8. Маршалл, Стэнли В.; Скитек, Габриэль Г. (1987). Электромагнитные концепции и приложения (2-е изд.). Prentice-Hall. ISBN 0-13-249004-8.
9. Садику, Мэтью НО (1989). Элементы электромагнетизма (1-е изд.). Saunders College Publishing. ISBN 0-03-013484-6.
10. Харрингтон, Роджер Ф. (1961). Time-Harmonic Electromagnetic Fields (1-е изд.). McGraw-Hill. стр. 61–65. ISBN 0-07-026745-6.
11. Каракаш, Джон Дж. (1950). Линии передачи и фильтрующие сети (1-е изд.). Macmillan. С. 5–14.
12. Мецгер, Жорж; Вабр, Жан-Поль (1969). Линии передачи с импульсным возбуждением (1-е изд.). Academic Press. С. 1–10. LCCN  69-18342.
13. Миано, Джованни; Маффуччи, Антонио (2001). Линии передачи и сосредоточенные цепи . Academic Press . стр. 130. ISBN 0-12-189710-9.В книге вместо α используется символ μ .
14. Маккаммон, Рой (июнь 2010 г.). "SPICE-моделирование линий передачи методом телеграфиста" (PDF) . cmpnet.com . RF Design Line . Получено 22.10.2010 ;также "Часть 1 из 3". SPICE-симуляция линий передачи телеграфным методом . Проектирование СВЧ и ВЧ – через EE Times .