Логарифмическое уравнение Шредингера

В теоретической физике логарифмическое уравнение Шредингера (иногда сокращенно LNSE или LogSE ) является одной из нелинейных модификаций уравнения Шредингера , впервые предложенного Джеральдом Х. Розеном в его релятивистской версии (с даламбертианом вместо лапласиана и производной по времени первого порядка) в 1969 году. ^[1] Это уравнение имеет приложения к расширениям квантовой механики , ^{[2] [3] [4]} квантовой оптике , ^[5] ядерной физике , ^{[6] [7]} явлениям переноса и диффузии , ^{[8] [9]} открытым квантовым системам и теории информации , ^{[10] [11] [12] [13] [14] [15]} эффективным моделям квантовой гравитации и физического вакуума ^{[16] [17] [18] [19]} и теории сверхтекучести и конденсации Бозе–Эйнштейна . ^{[20] [21]} Это пример интегрируемой модели .

Уравнение

Логарифмическое уравнение Шредингера является частным дифференциальным уравнением . В математике и математической физике часто используют его безразмерную форму: для комплекснозначной функции ψ = ψ ( x , t ) вектора положения частиц x = ( x , y , z ) в момент времени t , и является лапласианом ψ в декартовых координатах . Было показано, что логарифмический член незаменим при определении масштабов скорости звука как кубического корня давления для гелия-4 при очень низких температурах. ^[22] Этот логарифмический член также необходим для холодных атомов натрия. ^[23] Несмотря на логарифмический член, было показано в случае центральных потенциалов, что даже для ненулевого углового момента LogSE сохраняет определенные симметрии, подобные тем, которые обнаружены в его линейном аналоге, что делает его потенциально применимым к атомным и ядерным системам. ^[24] $${\displaystyle i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\nabla ^{2}\psi +2\psi \ln |\psi |=0.}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}}$$ ${\displaystyle \psi \ln |\psi |}$

Релятивистскую версию этого уравнения можно получить, заменив оператор производной на Д'Аламбертиан , аналогично уравнению Клейна–Гордона . Солитоноподобные решения, известные как Гауссоны, играют видную роль в качестве аналитических решений этого уравнения для ряда случаев.

Смотрите также

• Кривая вращения галактики
• Нелинейное уравнение Шредингера
• Сверхтекучий гелий-4
• Теория сверхтекучего вакуума

Ссылки

1. Розен, Джеральд (1969). «Ковариация дилатации и точные решения в локальных релятивистских теориях поля». Physical Review . 183 (5): 1186–1188. Bibcode : 1969PhRv..183.1186R. doi : 10.1103/PhysRev.183.1186. ISSN  0031-899X.
2. Бялыницкий-Бируля, Иво; Мычельский, Ежи (1976). «Нелинейная волновая механика». Annals of Physics . 100 (1–2): 62–93. Bibcode : 1976AnPhy.100...62B. doi : 10.1016/0003-4916(76)90057-9. ISSN  0003-4916.
3. Бялыницкий-Бируля, Иво; Мычельский, Ежи (1975). «Соотношения неопределенности для информационной энтропии в волновой механике». Communications in Mathematical Physics . 44 (2): 129–132. Bibcode : 1975CMaPh..44..129B. doi : 10.1007/BF01608825. ISSN  0010-3616. S2CID  122277352.
4. Бялыницкий-Бируля, Иво; Мычельский, Ежи (1979). «Гауссоны: солитоны логарифмического уравнения Шредингера». Physica Scripta . 20 (3–4): 539–544. Bibcode : 1979PhyS...20..539B. doi : 10.1088/0031-8949/20/3-4/033. ISSN  0031-8949. S2CID  250833292.
5. Бульян, Х.; Шибер, А.; Солячич, М.; Шварц, Т.; Сегев, М.; Христодулидес, Д. Н. (2003). «Некогерентные солитоны белого света в логарифмически насыщаемых немгновенных нелинейных средах». Physical Review E. 68 ( 3): 036607. Bibcode : 2003PhRvE..68c6607B. doi : 10.1103/PhysRevE.68.036607. ISSN  1063-651X. PMID  14524912. S2CID  831827.
6. Хефтер, Эрнст Ф. (1985). «Применение нелинейного уравнения Шредингера с логарифмическим неоднородным членом к ядерной физике». Physical Review A. 32 ( 2): 1201–1204. Bibcode : 1985PhRvA..32.1201H. doi : 10.1103/PhysRevA.32.1201. ISSN  0556-2791. PMID  9896178.
7. Картавенко, В.Г.; Гриднев, КА; Грейнер, В. (1998). «Нелинейные эффекты в проблеме ядерных кластеров». International Journal of Modern Physics E . 07 (2): 287–299. arXiv : nucl-th/9907015 . Bibcode :1998IJMPE...7..287K. doi :10.1142/S0218301398000129. ISSN  0218-3013. S2CID  19009168.
8. Мартино, С. Де; Фаланга, М; Годано, К; Лауро, Г (2003). «Логарифмическое уравнение типа уравнения Шредингера как модель для транспортировки магмы». Europhysics Letters (EPL) . 63 (3): 472–475. Bibcode : 2003EL.....63..472D. doi : 10.1209/epl/i2003-00547-6. ISSN  0295-5075. S2CID  250736155.
9. Ханссон, Т.; Андерсон, Д.; Лисак, М. (2009). «Распространение частично когерентных солитонов в насыщаемых логарифмических средах: сравнительный анализ». Physical Review A. 80 ( 3): 033819. Bibcode : 2009PhRvA..80c3819H. doi : 10.1103/PhysRevA.80.033819. ISSN  1050-2947.
10. Ясуэ, Кунио (1978). «Квантовая механика неконсервативных систем». Annals of Physics . 114 (1–2): 479–496. Bibcode : 1978AnPhy.114..479Y. doi : 10.1016/0003-4916(78)90279-8. ISSN  0003-4916.
11. Лемос, Нивальдо А. (1980). «Диссипативные силы и алгебра операторов в стохастической квантовой механике». Physics Letters A. 78 ( 3): 239–241. Bibcode :1980PhLA...78..239L. doi :10.1016/0375-9601(80)90080-8. ISSN  0375-9601.
12. Brasher, James D. (1991). «Нелинейная волновая механика, теория информации и термодинамика». International Journal of Theoretical Physics . 30 (7): 979–984. Bibcode : 1991IJTP...30..979B. doi : 10.1007/BF00673990. ISSN  0020-7748. S2CID  120250281.
13. Шух, Дитер (1997). «Неунитарная связь между явно зависящими от времени и нелинейными подходами для описания диссипативных квантовых систем». Physical Review A. 55 ( 2): 935–940. Bibcode : 1997PhRvA..55..935S. doi : 10.1103/PhysRevA.55.935. ISSN  1050-2947.
14. MP Davidson, Nuov. Cim. B 116 (2001) 1291.
15. Лопес, Хосе Л. (2004). «Нелинейный подход типа Гинзбурга-Ландау к квантовой диссипации». Physical Review E. 69 ( 2): 026110. Bibcode : 2004PhRvE..69b6110L. doi : 10.1103/PhysRevE.69.026110. ISSN  1539-3755. PMID  14995523.
16. Злощастьев, КГ (2010). «Логарифмическая нелинейность в теориях квантовой гравитации: происхождение времени и наблюдательные последствия». Гравитация и космология . 16 (4): 288–297. arXiv : 0906.4282 . Bibcode :2010GrCo...16..288Z. doi :10.1134/S0202289310040067. ISSN  0202-2893. S2CID  119187916.
17. Злощастьев, Константин Г. (2011). «Вакуумный эффект Черенкова в логарифмической нелинейной квантовой теории». Physics Letters A . 375 (24): 2305–2308. arXiv : 1003.0657 . Bibcode :2011PhLA..375.2305Z. doi :10.1016/j.physleta.2011.05.012. ISSN  0375-9601. S2CID  118152360.
18. Злощастьев, КГ (2011). «Спонтанное нарушение симметрии и генерация массы как встроенные явления в логарифмической нелинейной квантовой теории». Acta Physica Polonica B. 42 ( 2): 261–292. arXiv : 0912.4139 . Bibcode : 2011AcPPB..42..261Z. doi : 10.5506/APhysPolB.42.261. ISSN  0587-4254. S2CID  118152708.
19. Скотт, TC; Чжан, Сяндун; Манн, Роберт; Фи, GJ (2016). «Каноническая редукция для дилатонной гравитации в 3 + 1 измерениях». Physical Review D. 93 ( 8): 084017. arXiv : 1605.03431 . Bibcode : 2016PhRvD..93h4017S. doi : 10.1103/PhysRevD.93.084017.
20. Авдеенков, Александр В; Злощастьев, Константин Г (2011). «Квантовые бозе-жидкости с логарифмической нелинейностью: самоподдерживающаяся способность и возникновение пространственной протяженности». Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics . 44 (19): 195303. arXiv : 1108.0847 . Bibcode :2011JPhB...44s5303A. doi :10.1088/0953-4075/44/19/195303. ISSN  0953-4075. S2CID  119248001.
21. Злощастьев, Константин Г. (2019). "Температурно-управляемая динамика квантовых жидкостей: логарифмическая нелинейность, фазовая структура и растущая сила". Int. J. Mod. Phys. B . 33 (17): 1950184. arXiv : 2001.04688 . Bibcode :2019IJMPB..3350184Z. doi :10.1142/S0217979219501844. S2CID  199674799.
22. Скотт, TC; Злощастьев, KG (2019). «Решение загадки распространения звука в жидком гелии при низких температурах». Low Temperature Physics . 45 (12): 1231–1236. arXiv : 2006.08981 . Bibcode : 2019LTP....45.1231S. doi : 10.1063/10.0000200. S2CID  213962795.
23. Злощастьев, Константин (2022). «Решение загадки распространения звука в разбавленном конденсате Бозе–Эйнштейна». International Journal of Modern Physics B . 36 (20): 2250121. arXiv : 2211.10570 . Bibcode :2022IJMPB..3650121Z. doi :10.1142/S0217979222501211. S2CID  249262506.
24. Shertzer, J. ; Scott, TC (2020). «Решение трехмерного логарифмического уравнения Шредингера с центральным потенциалом». J. Phys. Commun . . 4 (6): 065004. Bibcode :2020JPhCo...4f5004S. doi : 10.1088/2399-6528/ab941d .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Шрёдингера». Математический мир .