Логическое следствие

Отношения, в которых одно утверждение следует из другого

Логическое следствие (также вывод ) — это фундаментальное понятие в логике , которое описывает связь между утверждениями , которые остаются истинными, когда одно утверждение логически следует из одного или нескольких утверждений. Действительный логический аргумент — это тот, в котором вывод следует из посылок , потому что вывод является следствием посылок. Философский анализ логического следствия включает в себя вопросы: В каком смысле вывод следует из своих посылок? и Что означает для вывода быть следствием посылок? ^[1] Вся философская логика призвана предоставлять объяснения природы логического следствия и природы логической истины . ^[2]

Логическое следствие необходимо и формально , посредством примеров, которые объясняют с помощью формальных доказательств и моделей интерпретации . ^[1] Предложение считается логическим следствием набора предложений для данного языка , если и только если , используя только логику (т.е. без учета каких-либо личных интерпретаций предложений), предложение должно быть истинным, если каждое предложение в наборе истинно. ^[3]

Логики делают точные отчеты о логическом следствии относительно данного языка , либо путем построения дедуктивной системы для, либо с помощью формальной предполагаемой семантики для языка . Польский логик Альфред Тарский выделил три черты адекватной характеристики вывода: (1) Отношение логического следствия опирается на логическую форму предложений: (2) Отношение является априорным , т. е. его можно определить с учетом или без учета эмпирических данных (чувственного опыта); и (3) Отношение логического следствия имеет модальный компонент. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Официальные счета

Наиболее распространенная точка зрения на то, как лучше всего объяснить логическое следствие, — это обращение к формальности. Это означает, что то, вытекают ли утверждения друг из друга логически, зависит от структуры или логической формы утверждений, независимо от содержания этой формы.

Синтаксические описания логического следствия опираются на схемы, использующие правила вывода . Например, мы можем выразить логическую форму допустимого аргумента как:

Все X есть Y

Все Y есть Z

Следовательно , все X являются Z.

Этот аргумент формально действителен, поскольку каждый пример аргументов, построенных с использованием этой схемы, действителен.

Это контрастирует с аргументом типа «Фред — сын брата Майка. Следовательно, Фред — племянник Майка». Поскольку этот аргумент зависит от значений слов «брат», «сын» и «племянник», утверждение «Фред — племянник Майка» является так называемым материальным следствием «Фред — сын брата Майка», а не формальным следствием. Формальное следствие должно быть истинным во всех случаях , однако это неполное определение формального следствия, поскольку даже аргумент « P — сын брата Q , следовательно, P — племянник Q » действителен во всех случаях, но не является формальным аргументом. ^[1]

Априорное свойство логического следствия

Если известно, что логически следует из , то никакая информация о возможных интерпретациях или не повлияет на это знание. На наше знание, которое является логическим следствием , не может повлиять эмпирическое знание . ^[1] Дедуктивно обоснованные аргументы могут быть известны как таковые без обращения к опыту, поэтому они должны быть познаваемы априори. ^[1] Однако формальность сама по себе не гарантирует, что логическое следствие не подвержено влиянию эмпирического знания. Поэтому априорное свойство логического следствия считается независимым от формальности. ^[1] ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Доказательства и модели

Два преобладающих метода предоставления отчетов о логическом следствии включают выражение концепции в терминах доказательств и через модели . Изучение синтаксического следствия (логики) называется (ее) теорией доказательств , тогда как изучение (ее) семантического следствия называется (ее) теорией моделей . ^[4]

Синтаксическое следствие

Формула является синтаксическим следствием ^{[5] [6] [7] [8] [9]} в рамках некоторой формальной системы набора формул, если существует формальное доказательство в из набора . Это обозначается . Символ турникета был первоначально введен Фреге в 1879 году, но его современное использование восходит только к Россеру и Клини (1934–1935). ^[9] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma \vdash _{\mathcal {FS}}A}$ ${\displaystyle \vdash }$

Синтаксическая последовательность не зависит от какой-либо интерпретации формальной системы. ^[10]

Семантическое следствие

Формула является семантическим следствием в рамках некоторой формальной системы набора утверждений тогда и только тогда, когда не существует модели , в которой все члены истинны, а является ложным. ^[11] Это обозначается . Или, другими словами, набор интерпретаций, которые делают все члены истинными, является подмножеством набора интерпретаций, которые делают истинными. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma \models _{\mathcal {FS}}A}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$

Модальные счета

Модальные описания логического следования представляют собой вариации следующей базовой идеи:

${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle A}$является истинным тогда и только тогда, когда необходимо , чтобы если все элементы являются истинными, то является истинным. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$

Альтернативно (и, как сказали бы многие, эквивалентно):

${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle A}$является истинным тогда и только тогда, когда невозможно, чтобы все элементы были истинными и ложными. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$

Такие описания называются «модальными», поскольку они апеллируют к модальным понятиям логической необходимости и логической возможности . «Необходимо, чтобы» часто выражается как универсальный квантификатор возможных миров , так что приведенные выше описания переводятся как:

${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle A}$является истинным тогда и только тогда, когда не существует возможного мира, в котором все элементы являются истинными, а является ложным (неистинным). ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$

Рассмотрим модальный отчет с точки зрения аргумента, приведенного в качестве примера выше:

Все лягушки зеленые.

Кермит — лягушка.

Следовательно, Кермит зеленый.

Вывод является логическим следствием посылок, поскольку мы не можем представить себе возможный мир, в котором (a) все лягушки зеленые; (b) Кермит — лягушка; и (c) Кермит не зеленый.

Модально-формальные счета

Модально-формальные описания логического следования объединяют модальные и формальные описания, представленные выше, что приводит к вариациям на тему следующей базовой идеи:

${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle A}$тогда и только тогда, когда невозможно, чтобы аргумент с той же логической формой, что и /, имел истинные посылки и ложное заключение. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$

Счета на основе ордеров

Все рассмотренные выше описания являются «сохраняющими истину», поскольку все они предполагают, что характерной чертой хорошего вывода является то, что он никогда не позволяет перейти от истинных предпосылок к ложному заключению. В качестве альтернативы некоторые предложили « сохраняющие обоснование » описания, согласно которым характерной чертой хорошего вывода является то, что он никогда не позволяет перейти от обоснованно утверждаемых предпосылок к заключению, которое не является обоснованно утверждаемым. Это (приблизительно) описание, которому отдают предпочтение интуиционисты, такие как Майкл Дамметт .

Немонотонное логическое следствие

Все рассмотренные выше отчеты дают монотонные следственные отношения, то есть такие, что если является следствием , то является следствием любого надмножества . Также можно указать немонотонные следственные отношения, чтобы передать идею, что, например, «Твити может летать» является логическим следствием ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma }$

{Птицы обычно умеют летать, Твити — птица}

но не из

{Птицы обычно умеют летать, Твити — птица, Твити — пингвин}.

Смотрите также

• Абстрактная алгебраическая логика
• Ампек
• Булева алгебра (логика)
• Булев домен
• Булева функция
• Булева логика
• Причинность
• Дедуктивное рассуждение
• Логический вентиль
• Логический граф
• Закон Пирса
• Вероятностная логика
• Пропозициональное исчисление
• Единственный достаточный оператор
• Стросоновское импликация
• Строгое условное
• Тавтология (логика)
• Тавтологическое следствие
• Поэтому подпишите
• Турникет (символ)
• Двойной турникет
• Действительность

Примечания

1. Билл, Дж. К. и Рестолл, Грег, Логическое следствие. Стэнфордская энциклопедия философии (издание осень 2009 г.), Эдвард Н. Залта (ред.).
2. Куайн, Уиллард Ван Орман , Философия логики .
3. МакКеон, Мэтью, Логическое следствие Интернет-энциклопедия философии.
4. Коста Досен (1996). "Логическое следствие: поворот в стиле". В Maria Luisa Dalla Chiara ; Kees Doets; Daniele Mundici; Johan van Benthem (ред.). Логика и научные методы: Том первый Десятого международного конгресса по логике, методологии и философии науки, Флоренция, август 1995 г. Springer. стр. 292. ISBN 978-0-7923-4383-7.
5. Дамметт, Майкл (1993) философия языка Издательство Гарвардского университета, стр. 82 и далее
6. Лир, Джонатан (1986) и Логическая теория Издательство Кембриджского университета, 136 стр.
7. Крит, Ричард и Фридман, Майкл (2007) Кембриджский компаньон Carnap Cambridge University Press, 371 стр.
8. FOLDOC: "синтаксическое следствие" Архивировано 2013-04-03 на Wayback Machine
9. SC Kleene, Введение в метаматематику (1952), Van Nostrand Publishing. стр. 88.
10. Хантер, Джеффри , Металогика: Введение в метатеорию стандартной логики первого порядка, Издательство Калифорнийского университета, 1971, стр. 75.
11. Этчеменди, Джон , Логическое следствие , Кембриджский философский словарь

Ресурсы

• Андерсон, AR; Белнап, ND Jr. (1975), Entailment , т. 1, Принстон, Нью-Джерси: Принстон.
• Аугусто, Луис М. (2017), Логические следствия. Теория и приложения: Введение.Лондон: College Publications. Серия: Математическая логика и основы.
• Барвайз, Джон ; Этчеменди, Джон (2008), Язык, доказательство и логика , Стэнфорд: CSLI Publications.
• Браун, Фрэнк Маркхэм (2003), Булевы рассуждения: логика булевых уравнений1-е издание, Kluwer Academic Publishers, Норвелл, Массачусетс. 2-е издание, Dover Publications, Минеола, Нью-Йорк, 2003.
• Дэвис, Мартин, ред. (1965), Неразрешимое, Основные статьи о неразрешимых предложениях, неразрешимых проблемах и вычислимых функциях, Нью-Йорк: Raven Press, ISBN 9780486432281. Среди статей есть работы Гёделя , Чёрча , Россера , Клини и Поста .
• Дамметт, Майкл (1991), Логическая основа метафизики, Издательство Гарвардского университета, ISBN 9780674537866.
• Эджингтон, Дороти (2001), Условные предложения , Блэквеллв Лу Гобл (ред.), «Руководство по философской логике Блэквелла» .
• Эджингтон, Дороти (2006), «Изъявительные условные предложения», Условные предложения , Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университетв Эдварде Н. Залте (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии .
• Этчеменди, Джон (1990), Концепция логического следствия , Издательство Гарвардского университета.
• Гобл, Лу, ред. (2001), Блэквеллское руководство по философской логике , Блэквелл.
• Хансон, Уильям Х. (1997), «Концепция логического следствия», The Philosophical Review , 106 (3): 365–409, doi :10.2307/2998398, JSTOR  2998398365–409.
• Хендрикс, Винсент Ф. (2005), Thought 2 Talk: A Crash Course in Reflection and Expression , Нью-Йорк: Automatic Press / VIP, ISBN 978-87-991013-7-5
• Планшетт, Пенсильвания (2001), Логическое следствиев книге «Руководство по философской логике» под ред. Гобла Лу. Блэквелл.
• Куайн, У. В. (1982), Методы логики , Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета(1-е изд. 1950 г.), (2-е изд. 1959 г.), (3-е изд. 1972 г.), (4-е изд., 1982 г.).
• Шапиро, Стюарт (2002), Необходимость, смысл и рациональность: понятие логического следствияв D. Jacquette, A Companion to Philosophical Logic . Блэквелл.
• Тарский, Альфред (1936), О концепции логического следованияПерепечатано в Tarski, A., 1983. Logic, Semantics, Metamathematics , 2nd ed. Oxford University Press . Первоначально опубликовано на польском и немецком языках .
• Рышард Вуйчицкий (1988). Теория логических исчислений: Базовая теория операций следствия . Springer. ISBN 978-90-277-2785-5.
• Статья о «импликации» с math.niu.edu, Импликация. Архивировано 21 октября 2014 г. на Wayback Machine
• Определение «подразумеваемого» AllWords

Внешние ссылки

• Beall, Jc ; Restall, Greg (2013-11-19). «Логическое следствие». В Zalta, Edward N. (ред.). Stanford Encyclopedia of Philosophy (зима 2016 г.).
• «Логическое следствие». Интернет-энциклопедия философии .
• Логическое следствие в проекте онтологии философии Индианы
• Логическое следствие в PhilPapers
• «Импликация», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]