Локально конечная коллекция

Топологическая концепция

Говорят, что набор подмножеств топологического пространства локально конечен, если каждая точка в пространстве имеет окрестность , пересекающую только конечное число множеств в наборе. ^[1] ${\displaystyle X}$

В математической области топологии локальная конечность является свойством наборов подмножеств топологического пространства . Она является основополагающей при изучении паракомпактности и топологической размерности .

Обратите внимание, что термин «локально конечный» имеет разные значения в других областях математики.

Примеры и свойства

Конечная совокупность подмножеств топологического пространства локально конечна. ^[2] Бесконечные совокупности также могут быть локально конечны: например, совокупность подмножеств вида для целого числа . ^[1] Счетная совокупность подмножеств не обязательно должна быть локально конечной, как показано совокупностью всех подмножеств вида для натурального числа n . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (n,n+2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (-n,n)}$

Каждый локально конечный набор множеств является точечно конечным , что означает, что каждая точка пространства принадлежит только конечному числу множеств в наборе. Точечная конечность является строго более слабым понятием, как показано на примере набора интервалов в , который является точечно конечным, но не локально конечным в точке . Эти два понятия используются в определениях паракомпактного пространства и метакомпактного пространства , и это причина, по которой каждое паракомпактное пространство является метакомпактным. ${\displaystyle (0,1/n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$

Если набор множеств локально конечен, набор замыканий этих множеств также локально конечен. ^[3] Причина этого в том, что если открытое множество , содержащее точку, пересекает замыкание множества, оно обязательно пересекает само множество, следовательно, окрестность может пересекать не более того же числа замыканий (она может пересекать меньшее число, поскольку два различных, действительно непересекающихся множества могут иметь одно и то же замыкание). Обратное, однако, может быть неверным, если замыкания множеств не различны. Например, в топологии конечного дополнения на набор всех открытых множеств локально не конечен, но набор всех замыканий этих множеств локально конечен (поскольку единственными замыканиями являются и пустое множество ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Произвольное объединение замкнутых множеств в общем случае не замкнуто. Однако объединение локально конечного набора замкнутых множеств замкнуто. ^[4] Чтобы увидеть это, заметим, что если — точка вне объединения этого локально конечного набора замкнутых множеств, мы просто выбираем окрестность , пересекающую этот набор только по конечному числу этих множеств. Определим биективное отображение из набора множеств, которое пересекается с , тем самым задавая индекс каждому из этих множеств. Затем для каждого набора выберем открытое множество, содержащее , которое не пересекает его. Пересечение всех таких для пересекающихся с , является окрестностью , которая не пересекает объединение этого набора замкнутых множеств. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {1,\dots ,k}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$

В компактных помещениях

Любая локально конечная совокупность множеств в компактном пространстве конечна. Действительно, пусть будет локально конечной совокупностью подмножеств компактного пространства . Для каждой точки выберем открытую окрестность , которая пересекает конечное число подмножеств в . Очевидно, что совокупность множеств: является открытым покрытием , и, следовательно, имеет конечное подпокрытие : . Поскольку каждое пересекает только конечное число подмножеств в , объединение всех таких пересекает только конечное число подмножеств в . Поскольку это объединение является всем пространством , следует, что пересекает только конечное число подмножеств в совокупности . И поскольку состоит из подмножеств каждого члена из должно пересекать , таким образом, является конечным. ${\displaystyle G=\{G_{a}|a\in A\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U_{x}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{U_{x}|x\in X\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U_{k_{n}}|n\in 1\dots n\}}$ ${\displaystyle U_{k_{i}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U_{k_{i}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

В пространствах Линделёфа

Любая локально конечная совокупность множеств в пространстве Линделёфа , в частности, в пространстве со счетной функцией второго порядка , счетна. ^[5] Это доказывается аналогичным рассуждением, как в результате выше для компактных пространств.

Счетно локально конечные коллекции

Совокупность подмножеств топологического пространства называетсяσ-локально конечный ^[6][7]илисчетно локально конечным ^[8],если оно является счетным объединением локально конечных наборов.

Понятие σ-локальной конечности является ключевым элементом теоремы о метризации Нагаты–Смирнова , которая утверждает, что топологическое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно , хаусдорфово и имеет σ-локально конечную базу . ^{[9] [10]}

В пространстве Линделёфа , в частности, в пространстве со счетной функцией второго порядка , любая σ-локально конечная совокупность множеств счетна.

Цитаты

1. Munkres 2000, стр. 244.
2. Манкрес 2000, стр. 245 Лемма 39.1.
3. Энгелькинг 1989, Теорема 1.1.13.
4. Энгелькинг 1989, Следствие 1.1.12.
5. Энгелькинг 1989, Лемма 5.1.24.
6. Уиллард 2004, Определение 20.2.
7. Энгелькинг 1989, стр. 280.
8. Манкрес 2000, стр. 245.
9. Энгелькинг 1989, Теорема 4.4.7.
10. Мункрес 2000, с. 250 Теорема 40.3.

Ссылки

• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Берлин: Хелдерманн Верлаг. ISBN 3-88538-006-4.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000), Топология (2-е изд.), Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.