Псевдориманово многообразие

Дифференцируемое многообразие с невырожденным метрическим тензором

В дифференциальной геометрии псевдориманово многообразие , [ ^{1] [2]} также называемое полуримановым многообразием , представляет собой дифференцируемое многообразие с метрическим тензором , который всюду невырожден . Это обобщение риманова многообразия , в котором требование положительной определенности ослаблено.

Каждое касательное пространство псевдориманова многообразия является псевдоевклидовым векторным пространством .

Особым случаем, используемым в общей теории относительности , является четырехмерное лоренцево многообразие для моделирования пространства-времени , где касательные векторы можно классифицировать как времениподобные, нулевые и пространственноподобные .

Введение

Коллекторы

В дифференциальной геометрии дифференцируемое многообразие — это пространство, локально подобное евклидову пространству . В n -мерном евклидовом пространстве любая точка может быть задана n действительными числами. Они называются координатами точки.

n - мерное дифференцируемое многообразие является обобщением n -мерного евклидова пространства. В многообразии координаты можно определить только локально . Это достигается путем определения участков координат : подмножеств многообразия, которые можно отобразить в n -мерное евклидово пространство.

См. «Манифолд» , «Дифференцируемое многообразие », «Координатный участок» для получения более подробной информации.

Касательные пространства и метрические тензоры

С каждой точкой в ​​-мерном дифференцируемом многообразии связано касательное пространство (обозначенное ). Это -мерное векторное пространство , элементы которого можно рассматривать как классы эквивалентности кривых, проходящих через точку . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$

Метрический тензор — это невырожденное , гладкое, симметричное, билинейное отображение , которое ставит в соответствие действительное число парам касательных векторов в каждом касательном пространстве многообразия. Обозначая метрический тензор через, мы можем выразить это как ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} .}$

Карта симметрична и билинейна, поэтому, если это касательные векторы в точке к многообразию, то мы имеем ${\displaystyle X,Y,Z\in T_{p}M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle \,g(X,Y)=g(Y,X)}$
• ${\displaystyle \,g(aX+Y,Z)=ag(X,Z)+g(Y,Z)}$

для любого действительного числа . ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

Это невырожденное означает , что не существует ненулевого такого, что для всех . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X\in T_{p}M}$ ${\displaystyle \,g(X,Y)=0}$ ${\displaystyle Y\in T_{p}M}$

Метрические подписи

Учитывая метрический тензор g на n -мерном вещественном многообразии, квадратичная форма q ( x ) = g ( x , x ) , связанная с метрическим тензором, примененным к каждому вектору любого ортогонального базиса, дает n действительных значений. Согласно закону инерции Сильвестра , количество каждых положительных, отрицательных и нулевых значений, полученных таким образом, является инвариантами метрического тензора, независимо от выбора ортогонального базиса. Сигнатура ( p , q , r ) метрического тензора дает эти числа, показанные в том же порядке . Невырожденный метрический тензор имеет r = 0 , и сигнатуру можно обозначить ( p , q ), где p + q = n .

Определение

Псевдориманово многообразие — это дифференцируемое многообразие, снабженное всюду невырожденным гладким симметричным метрическим тензором . ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$

Такая метрика называется псевдоримановой метрикой . Применительно к векторному полю результирующее значение скалярного поля в любой точке многообразия может быть положительным, отрицательным или нулевым.

Сигнатура псевдоримановой метрики — ( p ,  q ) , где p и q неотрицательны. Условие невырожденности вместе с непрерывностью означает, что p и q остаются неизменными во всем многообразии (при условии, что оно связно).

Свойства псевдоримановых многообразий

Точно так же, как евклидово пространство можно рассматривать как модельное риманово многообразие , пространство Минковского с плоской метрикой Минковского является модельным лоренцевым многообразием. Аналогично, модельное пространство псевдориманова многообразия сигнатуры ( p ,  q ) имеет метрику ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1,1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$

${\displaystyle g=dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\cdots -dx_{p+q}^{2}}$

Некоторые основные теоремы римановой геометрии можно обобщить на псевдориманов случай. В частности, основная теорема римановой геометрии справедлива и для псевдоримановых многообразий. Это позволяет говорить о связности Леви-Чивита на псевдоримановом многообразии вместе с соответствующим тензором кривизны . С другой стороны, в римановой геометрии существует множество теорем, которые не выполняются в обобщенном случае. Например, неверно , что каждое гладкое многообразие допускает псевдориманову метрику заданной сигнатуры; существуют определенные топологические препятствия. Более того, подмногообразие не всегда наследует структуру псевдориманова многообразия; например, метрический тензор обращается в ноль на любой светоподобной кривой . Тор Клифтона –Поля представляет собой пример псевдориманова многообразия, которое является компактным, но не полным, комбинацией свойств, которые теорема Хопфа–Ринова запрещает для римановых многообразий. ^[3]

Лоренцево многообразие

Лоренцево многообразие — это важный частный случай псевдориманова многообразия, в котором сигнатура метрики равна (1,  n −1) (эквивалентно ( n −1,1) ; см. Соглашение о знаках ). Такие метрики называются лоренцевыми метриками . Они названы в честь голландского физика Хендрика Лоренца .

Приложения в физике

После римановых многообразий лоренцевы многообразия образуют наиболее важный подкласс псевдоримановых многообразий. Они важны в приложениях общей теории относительности .

Основная предпосылка общей теории относительности состоит в том, что пространство-время можно смоделировать как 4-мерное лоренцево многообразие сигнатуры (3, 1) или, что то же самое, (1, 3) . В отличие от римановых многообразий с положительно определенной метрикой, неопределенная сигнатура позволяет классифицировать касательные векторы на времениподобные , нулевые или пространственноподобные . С сигнатурой ( p , 1) или (1,  q ) многообразие также локально (и, возможно, глобально) ориентируемо по времени (см. Причинная структура ).

Смотрите также

• Условия причинности
• Глобально гиперболическое многообразие
• Гиперболическое уравнение в частных производных
• Ориентируемое многообразие
• Пространство-время

Примечания

1. Бенн и Такер (1987), с. 172.
2. Бишоп и Голдберг (1968), с. 208
3. О'Нил (1983), с. 193.

Рекомендации

• Бенн, ИМ; Такер, Р.В. (1987), Введение в спиноры и геометрию с приложениями в физике (впервые опубликовано в 1987 году), Адам Хилгер, ISBN 0-85274-169-3
• Бишоп, Ричард Л .; Гольдберг, Сэмюэл И. (1968), Тензорный анализ многообразий (первое изд. Дувра, 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Чен, Банг-Йен (2011), Псевдориманова геометрия, [дельта]-инварианты и приложения , World Scientific Publisher, ISBN 978-981-4329-63-7
• О'Нил, Барретт (1983), Полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности, Чистая и прикладная математика, том. 103, Академическое издательство, ISBN 9780080570570
• Вранчану, Г.; Рошка, Р. (1976), Введение в теорию относительности и псевдориманову геометрию , Бухарест: Editura Academiei Republicii Socialiste România..

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с лоренцевыми многообразиями, на Викискладе?