Луна (геометрия)

Форма полумесяца, ограниченная двумя дугами окружности

В планарной геометрии луна (от лат. luna  'луна') — это вогнуто-выпуклая область, ограниченная двумя дугами окружности . [ 1 ^] Она имеет одну граничную часть, для которой соединительный отрезок любых двух соседних точек выходит за пределы области, и другую граничную часть, для которой соединительный отрезок любых двух соседних точек полностью лежит внутри области. Выпукло-выпуклая область называется линзой . [ ^2]

Формально, лунка — это относительное дополнение одного диска в другом (где они пересекаются, но ни один из них не является подмножеством другого). В качестве альтернативы, если и являются дисками, то — лунка. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\smallsetminus A\cap B}$

Квадратура луны

В V веке до нашей эры Гиппократ Хиосский показал, что луночка Гиппократа и две другие луночки могут быть точно возведены в квадрат (преобразованы в квадрат, имеющий ту же площадь) с помощью линейки и циркуля . В 1766 году финский математик Даниэль Вейнквист, цитируя Даниэля Бернулли , перечислил все пять геометрических квадрируемых луночек, добавив к тем, которые были известны Гиппократу. В 1771 году Леонард Эйлер дал общий подход и получил определенное уравнение для этой задачи. В 1933 и 1947 годах Николаем Чеботаревым и его учеником Анатолием Дородновым было доказано, что эти пять являются единственными квадрируемыми луночками. ^{[3] [1]}

Область

Площадь луночки, образованной окружностями радиусов a и b ( b>a ) с расстоянием c между их центрами, равна ^[3]

${\displaystyle A=2\Delta +a^{2}\sec ^{-1}\left({\frac {2ac}{b^{2}-a^{2}-c^{2}}}\right)-b^{2}\sec ^{-1}\left({\frac {2bc}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}}\right),}$

где - обратная функция секущей функции , а где ${\displaystyle {\text{sec}}^{-1}}$

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}$

площадь треугольника со сторонами a, b и c .

Смотрите также

• Арбелос
• Полумесяц
• Теорема Гаусса–Бонне
• Линза

Ссылки

1. История анализа. HN Jahnke. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. 2003. стр. 17. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC  51607350.{{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка )
2. "Google Groups" . Получено 27.12.2015 .
3. Вайсштейн, Эрик В. «Лун». Математический мир .

Внешние ссылки

• Пять квадратурных лун на MathPages