Проективное Гильбертово пространство

В математике и основах квантовой механики проективное гильбертово пространство или лучевое пространство комплексного гильбертова пространства — это множество классов эквивалентности ненулевых векторов для отношения эквивалентности на , заданного формулой ${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle [v]}$ ${\displaystyle v\in H}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle w\sim v}$тогда и только тогда, когда для некоторого ненулевого комплексного числа . ${\displaystyle v=\lambda w}$ ${\displaystyle \lambda }$

Это обычная конструкция проективизации , применяемая к комплексному гильбертову пространству. ^[1] В квантовой механике классы эквивалентности также называются лучами или проективными лучами . ${\displaystyle [v]}$

Обзор

Физическое значение проективного гильбертова пространства заключается в том, что в квантовой теории волновые функции и представляют одно и то же физическое состояние для любого . Правило Борна требует, чтобы если система физическая и измеримая, ее волновая функция имела единичную норму , , в этом случае она называется нормализованной волновой функцией . Ограничение единичной нормы не полностью определяет внутри луча, поскольку может быть умножено на любое с абсолютным значением 1 ( действие группы окружности ) и сохранить свою нормировку. Такое можно записать как с называемой глобальной фазой . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \lambda \psi }$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =e^{i\phi }}$ ${\displaystyle \phi }$

Лучи, которые отличаются таким , соответствуют одному и тому же состоянию (ср. квантовое состояние (алгебраическое определение) , заданное C*-алгеброй наблюдаемых и представлением на ). Никакое измерение не может восстановить фазу луча; он не наблюдаем. Говорят, что это калибровочная группа первого рода. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U(1)}$

Если — неприводимое представление алгебры наблюдаемых, то лучи индуцируют чистые состояния . Выпуклые линейные комбинации лучей естественным образом приводят к матрице плотности, которая (все еще в случае неприводимого представления) соответствует смешанным состояниям. ${\displaystyle H}$

В случае конечномерности, т. е. , гильбертово пространство сводится к конечномерному пространству скалярного произведения , а множество проективных лучей можно рассматривать как комплексное проективное пространство ; это однородное пространство для унитарной группы . То есть, ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H=H_{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$

${\displaystyle \mathbf {P} (H_{n})=\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}}$,

которая несет метрику Кэлера , называемую метрикой Фубини–Штуди , выведенную из нормы пространства Гильберта. ^{[2] [3]}

Таким образом, проективизация, например, двумерного комплексного гильбертова пространства (пространства, описывающего один кубит ) является комплексной проективной прямой . Это известно как сфера Блоха или, что эквивалентно, сфера Римана . Подробности конструкции проективизации в этом случае см. в разделе Расслоение Хопфа . ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$

Продукт

Декартово произведение проективных гильбертовых пространств не является проективным пространством. Отображение Сегре представляет собой вложение декартового произведения двух проективных пространств в проективное пространство, связанное с тензорным произведением двух гильбертовых пространств, заданное как . В квантовой теории оно описывает, как создавать состояния составной системы из состояний ее составляющих. Это всего лишь вложение , а не сюръекция; большая часть пространства тензорного произведения не лежит в его диапазоне и представляет собой запутанные состояния . ${\displaystyle \mathbf {P} (H)\times \mathbf {P} (H')\to \mathbf {P} (H\otimes H'),([x],[y])\mapsto [x\otimes y]}$

Смотрите также

• Комплексное проективное пространство
• Проективное представление
• Проективное пространство , для концепции в целом

Примечания

1. Миранда 1995, стр. 94.
2. Кун и Лю 2021, стр. 9.
3. Чирелли, Ланзавеккья и Мания 1983.

Ссылки

• Аштекар, Абхай; Шиллинг, Трой А. (1999). «Геометрическая формулировка квантовой механики». На пути Эйнштейна . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. arXiv : gr-qc/9706069 . doi :10.1007/978-1-4612-1422-9_3. ISBN 978-1-4612-7137-6.
• Cirelli, R; Lanzavecchia, P; Mania, A (1983). "Нормальные чистые состояния алгебры фон Неймана ограниченных операторов как кэлерово многообразие". Journal of Physics A: Mathematical and General . 16 (16). IOP Publishing: 3829–3835. Bibcode : 1983JPhA...16.3829C. doi : 10.1088/0305-4470/16/16/020. ISSN  0305-4470.
• Kong, Otto CW; Liu, Wei-Yin (2021). «Некоммутативная координатная картина квантового фазового пространства». Chinese Journal of Physics . 71 . Elsevier BV: 418. arXiv : 1903.11962 . Bibcode :2021ChJPh..71..418K. doi :10.1016/j.cjph.2021.03.014. S2CID  85543324.
• Миранда, Рик (1995). Алгебраические кривые и римановы поверхности . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0268-2.